覆蓋Gorenstein AC-平坦維數(shù)

陳 東, 胡 葵

(1. 成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610106； 2. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽 621010)

近年來, 許多學(xué)者研究了Gorenstein平坦模類的擴(kuò)張封閉性。2009年，Bennis[1]稱Gorenstein平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉的環(huán)為GF-閉環(huán)，同時(shí)證明了若R是GF-閉環(huán)，則Gorenstein平坦模類是投射可解的。特別地，凝聚環(huán)、弱整體維數(shù)有限的環(huán)類都是GF-閉環(huán)。2015年，Bouchiba[2]引入了模的覆蓋Gorenstein平坦維數(shù)，證明了對任意R-模M，若M的覆蓋Gorenstein平坦維數(shù)等于Gorenstein平坦維數(shù)，則R也是GF-閉環(huán)。

作為GF-閉環(huán)的應(yīng)用，文獻(xiàn)[3]研究了Gorenstein-平坦模類的穩(wěn)定性，證明了GF-閉環(huán)上Gorenstein-平坦模類都具有穩(wěn)定性。用GF2(R)(或GF(2)(R)) 表示滿足以下條件的模M構(gòu)成的類，如果存在Gorenstein-平坦模Gi、Gi的正合列

…→G1→G0→G0→G1→…

使得M?Ker(G0→G0)，且對每個(gè)Gorenstein內(nèi)射模 (或內(nèi)射模)I，函子I?-使上述正合列保持正合。若上述模類滿足：GF(R)=GF2(R)=GF(2)(R),則稱Gorenstein-平坦模類是穩(wěn)定的。

2018年，Bravo等[4]引入了GorensteinAC-平坦模。稱R-模M為GorensteinAC-坦模，若存在平坦模Fi、Fi的正合列

…→F1→F0→F0→F1→…

受以上思想啟發(fā)，本文定義了模的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)，討論了覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)與余純平坦維數(shù)、GorensteinAC-平坦維數(shù)和平坦維數(shù)之間的關(guān)系，給出了覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)等于GorensteinAC-坦維數(shù)的一個(gè)充分條件，由此證明了在此條件下GorensteinAC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉(投射可解)，進(jìn)而GorensteinAC-平坦模類具有穩(wěn)定性，完善了文獻(xiàn)[4]中對GorensteinAC-平坦模性質(zhì)的討論。值得注意的是，文獻(xiàn)[14]證明了若R是GFAC閉環(huán)，則GorensteinAC-平坦模類具有穩(wěn)定性，但沒有給出具體的環(huán)類。本文給出GFAC閉環(huán)的一個(gè)充分條件，并給出GFAC閉環(huán)一些具體的環(huán)類 (如弱整體維數(shù)有限環(huán))。

設(shè)H是R- 模類，稱H是投射可解類，如果投射模包含在H中，并且對任意X′∈H的正合列0→X″→X→X′→0，X″∈H當(dāng)且僅當(dāng)X∈H。

為便于討論，本文所涉及的環(huán)均是有單位元的交換結(jié)合環(huán)，所涉及的模均是酉模。用GF(R)表示Gorenstein-平坦模類，GFAC(R) 表示GorensteinAC-平坦模類。

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[15]引入了GorensteinAC-內(nèi)射維數(shù)，稱為Gorenstein弱內(nèi)射維數(shù)。R-模M的GorensteinAC-內(nèi)射維數(shù)定義為：GAC-idRM=inf{n∈N|存在正合列0→M→G0…→Gn-1→Gn→0，其中Gi(0≤i≤n)是GorensteinAC-平坦模}。相應(yīng)地，如下定義R-模M的GorensteinAC-平坦維數(shù)。

定義1設(shè)M是R-模，M的GorensteinAC-平坦維數(shù)定義為

GAC-fdRM=inf{n∈N| 存在正合列0→Fn→Fn-1…→F0→M→0，其中Fi(0≤i≤n)是GorensteinAC-平坦模}。

由定義，當(dāng)GAC-fdRM=0 時(shí)，M是GorensteinAC-平坦模；當(dāng)GAC-idRM=0 時(shí)，M是GorensteinAC-內(nèi)射模。容易看到，{平坦模}?{GorensteinAC-平坦模}?{Gorenstein平坦模}，即GorensteinAC-平坦模類是介于平坦模類和Gorenstein平坦模類之間的一種模類。

現(xiàn)定義模M的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)。

定義2設(shè)M是R-模，n是非負(fù)整數(shù)，R-模M的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)定義為CGAC-fdRM=inf{n| 存在R-模的正合列0→M→F→G→0，其中fdRF=n，G是GorensteinAC-平坦模}。如果上述集合為空集，則規(guī)定CGAC-fdRM=∞。

命題1設(shè)M是GorensteinAC-坦模，則M+是GorensteinAC-內(nèi)射模；若R是凝聚環(huán)，則反之也成立。

證明設(shè)M是GorensteinAC-平坦模，則存在平坦模Fi、Fi的正合列

F=…→F1→F0→F0→F1→…

使得M?Ker(F0→F0)，且對任意絕對純模I，I?F是正合的。于是又有

(I?F)+=…→(I?F1)+→(I?F0)+→(I?F0)+→(I?F1)+→…

是正合的。由于(Fi)+、(Fi)+是內(nèi)射模，從而有

F+=…→(F1)+→(F0)+→(F0)+→(F1)+→…

是內(nèi)射模的正合列，且M+?Ker((F0)+→(F0)+)。另一方面，由相伴同構(gòu)定理，有

…→HomR(I,(F1)+)→HomR(I,(F0)+)→HomR(I,(F0)+)→HomR(I,(F1)+)→…

是正合的。因此，M+是GorensteinAC-內(nèi)射模。

反之，設(shè)M+是GorensteinAC-內(nèi)射模，從而也是Gorenstein內(nèi)射模。由于R是凝聚環(huán)，由文獻(xiàn)[16]定理3.6知，M是GorensteinAC-平坦模。證畢。

2 主要結(jié)果及證明

命題2①設(shè)M是R-模，則cfdRM≤G-idRM+≤GAC-idRM+≤GAC-fdRM≤CGAC-fdRM≤fdRM;

②若CGAC-fdRM<∞，則cfdRM=G-idRM+=GAC-idRM+=GAC-fdRM=CGAC-fdRM。

由于GorensteinAC-內(nèi)射模類是Gorenstein內(nèi)射模類，因此，又有:G-idRM+≤GAC-idRM+。另一方面，由命題1知，若M是GorensteinAC-平坦模，則M+是GorensteinAC-內(nèi)射模，故又有GAC-idRM+≤GAC-fdRM。

現(xiàn)設(shè)CGAC-fdRM=n，由定義2知，存在正合列0→M→F→G→0, 其中fdRF=n，G是GorensteinAC-平坦模?？紤]以下行為正合列的交換圖

其中第1列和第3列分別是M和G的部分投射分解，Pi和P′i(0≤i≤n-1) 是投射模。由文獻(xiàn)[4]中引理4.4(3) 知，G′是GorensteinAC-平坦模。由于fdRF=n，故F′ 是平坦模。對第1行正合列，由于G′是GorensteinAC-平坦模，F(xiàn)′是平坦模，故由文獻(xiàn)[4]中引理 4.4(3)知，M′是GorensteinAC-平坦模，于是，由第1列知，GAC-fdRM≤n。

若設(shè)fdRM=n?？紤]正合列0→M→M→0, 由定義2知，CGAC-fdRM≤fdRM。

對于一般環(huán)，無法證明GorensteinAC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉，但可以證明存在如下關(guān)系。

命題3設(shè)0→A→B→C→0 是正合列，若A、C是GorensteinAC-平坦模，則GAC-fdRB≤1。

證明由于C是GorensteinAC-平坦模，由文獻(xiàn)[4]中定義4.1知，存在正合列0→G→F→C→0, 其中F是平坦模，G是GorensteinAC-平坦模。考慮以下正合列的交換圖

由于A是GorensteinAC-平坦模，由文獻(xiàn)[4]中引理4.4知，存在正合列：0→A→P→H→0,其中P是平坦模，H是GorensteinAC-平坦模。于是，又有以下正合列的交換圖

對正合列0→P→L→F→0，由于P、F是平坦模，故L也是平坦模。由文獻(xiàn)[4]中引理4.4知G′是GorensteinAC-平坦模。于是，對正合列0→G→G′→B→0, 由于G、G′是GorensteinAC-平坦模，故GAC-fdRB≤1。證畢。

文獻(xiàn)[1]稱Gorenstein平坦模類封閉的環(huán)為GF-閉環(huán)，文獻(xiàn)[2]引入覆蓋Gorenstein平坦維數(shù)，給出了GF-閉環(huán)的一個(gè)充分條件。本文稱GorensteinAC-平坦模類封閉的環(huán)為GFAC-閉環(huán)，同時(shí)用覆蓋Gorenstein平坦維數(shù)，給出環(huán)R是GFAC-閉環(huán)的一個(gè)充分條件。

定理1設(shè)R是環(huán)，若對任意R-模M，都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM，則R是GFAC-閉環(huán)。

證明設(shè)0→A→B→C→0 是正合列，其中A、C是GorensteinAC-平坦模。由命題3知，GAC-fdRB≤1<∞。故由命題2知，GAC-idRB+=GAC-fdRB。另一方面，又存在正合列0→C+→B+→A+→0，其中A+、C+是GorensteinAC-內(nèi)射模，故由文獻(xiàn)[15]中命題2.11知B+也是GorensteinAC-內(nèi)射模，因此，由上述關(guān)系有GAC-idRB+=GAC-fdRB=0，從而B是GorensteinAC-平坦模。證畢。

…→G1→G0→G0→G1→…

由定理1，容易得到以下2個(gè)推論。

推論1[4]設(shè)R是環(huán)，若對任意R-模M，都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM，則GorensteinAC-平坦模類關(guān)于正向極限封閉，此時(shí)，每個(gè)R-模有GorensteinAC-平坦蓋。

推論2[4]設(shè)R是環(huán)，若對任意R-模M，都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM，則 (GFAC(R),GFAC(R)⊥)是完備的遺傳余撓理論。

定理2[3]若R是GFAC-閉環(huán)，則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。

由定理2，容易得到以下推論3。

推論3[14]設(shè)R是環(huán)，若對任意R-模M，均有CGAC-fdRM=GAC-fdRM，則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。

當(dāng)R是凝聚環(huán)時(shí)，{GorensteinAC-平坦模}={Gorenstein平坦模}，此時(shí)R是GF-閉環(huán)，因而有：設(shè)R是凝聚環(huán)，則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。此結(jié)論是文獻(xiàn)[3]的一個(gè)結(jié)果。

由命題2，對任意R-模M，若fdRM<∞，則GAC-fdRM=CGAC-fdRM，故R是GF-閉環(huán)。于是又有：設(shè)R是環(huán)，且w.gl.dim(R)<∞，則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。