廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 方志平

逆向思維是從異于常規(guī)思維的角度來(lái)看待、分析和解決相關(guān)問(wèn)題，它是與正向思維相反的一種創(chuàng)造性的思維方法.一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題利用逆向思維，構(gòu)造函數(shù)或方程，通常會(huì)有出其不意的效果.構(gòu)造法解題的數(shù)學(xué)思想對(duì)于啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和探索精神，拓寬學(xué)生視野，都大有裨益！本文舉例闡述，利用逆向思維構(gòu)造函數(shù)或方程巧解高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，供讀者參考.

1.逆向思維，構(gòu)造函數(shù)

|t|≤1.

令f(x)=x3+x,則f(sinβ)=f(sinα+t),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+x是R上的單調(diào)函數(shù)，所以sinβ=sinα+t③.

將③代入②得3tsin2α+3t2sinα=0，所以t=0或t=-sinα或sinα=0,即t=0或t=-sinα或t=sinβ.因此|t|≤1.

評(píng)注：依題設(shè)條件不難得到①，②兩式，結(jié)合兩式的結(jié)構(gòu)特征，將其相加，再把sinα,sinβ分離在等號(hào)的兩側(cè)并整理得：sin3β+sinβ=(sinα+t)3+sinα+t,逆向分析，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+x.問(wèn)題則迎刃而解.

例3 (2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽題)設(shè)x+sinxcosx-1=0,2cosy-2y+π+4=0,則sin(2x-y)的值是.

評(píng)注：將x+sinxcosx-1=0,化為2x+sin2x=2的形式，主要是將含有兩個(gè)三角函數(shù)式，化為只含一個(gè)三角函數(shù)式，依①式不難聯(lián)想到將2cosy-2y+π+4=0化為②式，結(jié)合①、②式的特點(diǎn)，利用逆向思維構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+sinx，是求解本題的一個(gè)突破點(diǎn).

例4 (2015年河南省預(yù)賽題)已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x=ln(x+y-1)+ln(x-y-1)+4，則2015x2+2016y3的值是.

評(píng)注：從本題條件的結(jié)構(gòu)特征中，充分挖掘題目的潛在信息，通過(guò)雙換元，將對(duì)數(shù)真數(shù)中兩個(gè)代數(shù)式分別用新變量u,v替換.逆向思考，巧妙構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)f(t)=lnt-t+1(t>0),從而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.本題解法獨(dú)辟蹊徑，很有創(chuàng)意，充分展示了利用逆向思維構(gòu)造函數(shù)解題的神奇魅力！

2.逆向思維，構(gòu)造方程

評(píng)注：逆向思維其實(shí)就是從客觀事物中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì),從事物和相關(guān)事物中找到關(guān)聯(lián)和規(guī)律,從而得出相關(guān)條件和結(jié)論之間的關(guān)系.本題所求式子中的分母含有abc的乘積項(xiàng)，以a、b、c為根逆向分析，構(gòu)造方程(x-a)(x-b)(x-c)=0，從中能得出abc與m的關(guān)系式，這為求解本題創(chuàng)造了條件.

評(píng)注：從本題條件逆向思考，反向分析，容易聯(lián)想到以a、b、c、d為根構(gòu)造出方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0，這是求解本題的一個(gè)切入點(diǎn).

例7 (2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題)已知cos(α+β)=cosα+cosβ,試求cosα的最大值.

評(píng)注:本題求的是cosα的最大值,暗示著β為變量,于是將條件式展開(kāi)并分離變量得:(cosα-1)cosβ-sinαsinβ-cosα=0,視cosβ=x,sinβ=y，反向入手和構(gòu)造直線l的方程:(cosα-1)x-sinα·y-cosα=0及點(diǎn)P(cosβ,sinβ),而點(diǎn)P既在直線l上又在單位圓上，于是有直線與單位圓相切或相交.

例8 (2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽題)設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-bc-2a+10=0,b2+bc+c2-12a-15=0,則a的取值范圍是.

解：由bc=a2-2a+10,(b+c)2=bc+12a+15,得(b+c)2=a2+10a+25=(a+5)2,∴b+c=±(a+5),∴b,c是方程x2?(a+5)x+a2-2a+10=0的兩個(gè)實(shí)根，于是有Δ=(a+5)2-4(a2-2a+10)≥0,即a2-6a+5≤0,求得1≤a≤5.

評(píng)注：觀察題設(shè)條件和所求的結(jié)論，由于求的是a的取值范圍，于是聯(lián)想用變量a表示bc和b+c，利用逆向思維，巧妙構(gòu)造出以b,c為實(shí)根的一元二次方程，從而使得問(wèn)題變得豁然開(kāi)朗！

綜上所述，通過(guò)觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，挖掘題干條件，利用逆向思維，構(gòu)造函數(shù)或方程求解一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.這些方法、思想具有較強(qiáng)的靈活性和創(chuàng)新性，它能有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).