求解極值點偏移問題的一種技法

浙江省安吉縣高級中學 (313300) 黃德麗

1.問題提出

極值點(或零點)偏移問題是近年各地模擬試題的一個熱點問題，其最早出現(xiàn)在2010年的全國卷和天津卷中，以考察學生是否具備一定的對稱式構造能力，是以解決變量間的相互關系為主的一種數(shù)學模型問題．

引例已知函數(shù)f(x)=xe-x，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，證明：x1+x2>2.

思考：在上述證明過程中，我們體會到了極值點的偏移，運用導數(shù)工具證出函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，從而得出結論．

盡管這種證明方式可以總結為一種模式加以理解和掌握，但處理起來仍然顯得繁瑣(通法往往如此)，特別是證明構造出來的新函數(shù)的單調(diào)性尤為如此，那么我們在深層挖掘題目內(nèi)涵的基礎上，能不能找到一種更為簡捷的證明方法呢？

2.技法引入

從已經(jīng)學習過基本不等式，可獲取以下重要結論：當a,b為正實數(shù)時，則有

3.回眸一望

實際上，巧妙地利用對數(shù)均值不等式證明某些不等式確實會顯得比較簡便，往往比利用極值點(或零點)偏移思想證明不等式要簡便很多．

4.再戰(zhàn)江湖

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

5.一夜春來

本文從與眾不同的視角，圍繞對數(shù)均值不等式結論的探究、證明及運用，有意回避了利用零點偏移或極值點偏移的思想證明類似不等式組，對于極值點偏移類問題的理解與分析將會大大深入，從另一方面我們也有效地拓展了基本不等式鏈，這對不等式知識也是一種加強，特別是在處理某些不等關系時在方法選擇上又有了一個新臺階，并提供了一種全新的思路．這恰有一種“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”的感覺．