例析判斷函數(shù)零點的四種方法

福建省福安市第一中學(xué) (355000) 鄭仙峰

判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)是高考題中的常見題型，在選擇、填空題和解答題都可能出現(xiàn)，其解題依據(jù)就是函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在的必要條件，而求導(dǎo)函數(shù)、畫函數(shù)圖像是必須具備的兩個解題方法.下面介紹判斷函數(shù)零點的四種手段，供參考．

一、直接求零點

令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．

例1 若函數(shù)f(x)=ax+b有一個零點是2，則函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點是．

評注：通過令f(x)=0，解此方程得實根的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)，這是最基本的方法，但許多情況下此方程無法求出解，此法就無效了．

A．1B．2C．3D．4

解析：由于g(x)=f(1-x)-1=

評注：此處的函數(shù)g(x)是分段函數(shù)，求函數(shù)的零點(即對應(yīng)方程的解)也需要分段討論，解題中要注意驗證分段的條件．

二、用零點存在性定理

利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

例3 已知a

解析：由于a0，f(b)=(b-a)(b-c)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，而二次函數(shù)f(x)是連續(xù)曲線，故f(x)在區(qū)間(a,b)、(b,c)內(nèi)分別有一個零點，即函數(shù)由2個零點．

評注：根據(jù)二分法求近似解的思路及方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)有解的必要條件：由f(a)·f(b)的符號，可判斷方程根的大致范圍，這也是比較常用的判斷方法．

評析：在一些復(fù)雜的函數(shù)求零點個數(shù)時，可以先判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，然后再尋找有關(guān)的特殊值代入，通過判斷函數(shù)值大小的符號，得到函數(shù)零點大概的范圍，確定零點的個數(shù)．

三、利用圖象交點的個數(shù)

將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．

解析：由于f(x)=2(1+cosx)sinx-2sinx-

|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，x>-1，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y1=sin2x(x>-1)與y2=|ln(x+1)|的圖象的交點個數(shù)．分別作出兩個函數(shù)的圖象，如圖1，可知有兩個交點，則f(x)有兩個零點．

圖1

評析：將一個復(fù)雜轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)之間的關(guān)系，然后在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖像，通過觀察兩個圖像的交點個數(shù)，得到原函數(shù)零點個數(shù)．這里對畫函數(shù)圖像的要求是比較高的，特別需注意圖像經(jīng)過的特殊點及臨界點、漸近線等參考元素．

A.7B.8C.9D.10

評析：一般地，如果函數(shù)不是常見的函數(shù)，而是由幾個常見函數(shù)組合形成的，判斷此函數(shù)零點問題用轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題比較多見．

四、構(gòu)造函數(shù)模型

運用構(gòu)造新函數(shù)方法判斷零點個數(shù).可根據(jù)題目不同，直接做差構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)、先求導(dǎo)數(shù)再構(gòu)造函數(shù)、先換元再構(gòu)造函數(shù)等.

評析：對于只有一個參數(shù)問題時，通過分離參數(shù)，建立一個新函數(shù)，可把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，也就是求出參數(shù)的范圍，這樣可從方面確定函數(shù)何時有零點．

例8 已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax2．若a≥0，試討論f(x)的零點個數(shù).

圖3

評析：在解決新函數(shù)的問題時，數(shù)形結(jié)合是經(jīng)常可使用的方法，這是在完成解答題時經(jīng)常運用的，這樣就可以啟發(fā)解題思路，優(yōu)化解題過程，要善于及時運用．