曹艷梅，楊 林，李東偉

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

近年來(lái)，橋梁結(jié)構(gòu)已成為高速鐵路的一種重要結(jié)構(gòu)形式，如我國(guó)廣珠城際鐵路中橋梁占比超過(guò)了90%；京滬鐵路全長(zhǎng)1 318 km，而橋梁總長(zhǎng)達(dá)到1 060 km，約占80%[1]。因此，快速準(zhǔn)確地得到移動(dòng)列車荷載作用下橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)以及作用到承臺(tái)基礎(chǔ)頂面的動(dòng)力荷載對(duì)高速鐵路橋梁的設(shè)計(jì)以及橋梁周圍場(chǎng)地振動(dòng)的預(yù)測(cè)分析具有重要意義。

我國(guó)高速鐵路橋梁中，85%以上采用等跨徑布置的預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋[1]和板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)[2]，這種連續(xù)布置的結(jié)構(gòu)具有一定的周期性，且其縱向沿兩端近似無(wú)限延伸，因此可采用無(wú)限周期理論對(duì)其進(jìn)行分析[3]。劉維寧等[4-5]基于動(dòng)力互等定理并通過(guò)Laplace變換和傳遞矩陣法研究了周期支承軌道對(duì)移動(dòng)荷載的動(dòng)力響應(yīng)。Chebli等[6]利用Fourier變換將周期性結(jié)構(gòu)對(duì)移動(dòng)載荷的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究。馬龍祥[7]將無(wú)限軌道動(dòng)力響應(yīng)的求解問(wèn)題映射于軌道結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本元內(nèi)，利用無(wú)限周期結(jié)構(gòu)理論在頻域內(nèi)推導(dǎo)了移動(dòng)諧振荷載作用下軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。Hoang等[8]首先利用支承反力的周期性條件和Fourier變換建立了移動(dòng)荷載作用下支承反力和梁位移之間的關(guān)系式，進(jìn)而考慮了周期性支承為非線性的情況，并與線性支承下Timoshenko梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了對(duì)比，給出了梁模型的適用情況[9]。在橋梁結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，沙萱[10]建立了移動(dòng)荷載作用下缺陷周期性高架橋的樁-土-結(jié)構(gòu)耦合模型，求解了橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)；陸建飛等[11]基于周期條件利用有限元法和Fourier變換建立了周期性高架橋頻域有限元模型，分析了橋梁結(jié)構(gòu)在單個(gè)移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，在其模型中對(duì)相鄰兩片主梁和橋墩接頭之間的阻尼效應(yīng)考慮的較少，使得中低速移動(dòng)荷載作用下的計(jì)算結(jié)果有一定的誤差；Shi等[12]采用周期性理論分析了板式軌道結(jié)構(gòu)對(duì)橋梁豎向動(dòng)力反應(yīng)的影響[2]，并結(jié)合容積法分析出了高速鐵路高架橋板式軌道引起的地面振動(dòng)特征頻率。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于無(wú)限周期結(jié)構(gòu)理論建立橋梁結(jié)構(gòu)頻域有限元模型，考慮高速列車運(yùn)行時(shí)輪軌動(dòng)力荷載的加載情況，提出先計(jì)算橋梁基本跨等效結(jié)點(diǎn)荷載矢量時(shí)程，再利用Fourier變換得到等效結(jié)點(diǎn)荷載矢量頻譜的方法，進(jìn)而求解了不同加載頻率的移動(dòng)荷載列作用下橋梁結(jié)構(gòu)任意跨的動(dòng)力響應(yīng)和墩底的動(dòng)反力。

1 周期性橋梁結(jié)構(gòu)頻域有限元方法

1.1 周期性橋梁結(jié)構(gòu)分析模型

以高速鐵路中常用的等跨徑布置橋梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，移動(dòng)荷載作用下周期性橋梁結(jié)構(gòu)力學(xué)模型示意見(jiàn)圖1。該結(jié)構(gòu)滿足周期性結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，其周期單元由半跨左梁、半跨右梁和橋墩三個(gè)構(gòu)件以及梁-梁-墩(Beam-Beam-Pier，BBP)接頭組成。該模型中由于考慮了軌道結(jié)構(gòu)對(duì)相鄰簡(jiǎn)支梁的連接約束作用，因此主梁和主梁之間的連接通過(guò)彈簧-阻尼元件進(jìn)行模擬。本文將圖1的一個(gè)周期單元定義為基本跨(長(zhǎng)度記為L(zhǎng))，墩底設(shè)為固端約束，基本跨的兩個(gè)端截面分別為左梁的跨中截面和右梁的跨中截面，端面分別受到相鄰跨梁體對(duì)其產(chǎn)生的軸力N、剪力Q和彎矩M，坐標(biāo)原點(diǎn)定義為基本跨左梁跨中截面的形心位置。設(shè)梁上作用有豎向荷載P(x,t)和水平向荷載F(x,t)，荷載的移動(dòng)速度為V。

圖1 移動(dòng)荷載作用下周期性橋梁結(jié)構(gòu)力學(xué)模型示意

取基本跨為研究對(duì)象，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，可得主梁(或橋墩)在時(shí)域內(nèi)的軸向和平面內(nèi)彎曲振動(dòng)方程分別為[13]

(1)

(2)

式中：u(x,t)、v(x,t)分別為梁(或墩)的軸向、垂向位移；E為梁(或墩)的彈性模量，MPa；A為梁(或墩)的截面面積，m2；I為梁(或墩)的截面慣性矩，m4；ρ為梁(或墩)的密度，kg/m3；F(x,t)和P(x,t)分別為橋梁主梁所承受的水平動(dòng)荷載和豎向動(dòng)荷載。

對(duì)式(1)和式(2)的兩邊同時(shí)做Fourier積分變換，將其從時(shí)域內(nèi)轉(zhuǎn)化到頻域內(nèi)(在物理量上方加“-”表示)，可得

(3)

(4)

式中：E*=E(1+iη)為考慮了梁(或墩)的材料損耗因子η后的復(fù)彈性模量。

1.2 建立基本跨結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程

將基本跨的梁、墩構(gòu)件離散為兩結(jié)點(diǎn)的梁?jiǎn)卧?，若?gòu)件α的單元數(shù)為E(α)，則構(gòu)件α的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(α)=E(α)+1，其中上標(biāo)α=bl、p、br分別表示基本跨中的左梁、橋墩、右梁。若每個(gè)結(jié)點(diǎn)考慮三個(gè)自由度，基于式(3)和式(4)根據(jù)虛功原理，則可推得離散單元在頻域內(nèi)的動(dòng)力方程[14-15]為

(5)

(6)

圖2 主梁和橋墩的單元結(jié)點(diǎn)力正向規(guī)定

對(duì)構(gòu)件的單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣進(jìn)行組裝，可得到梁(或墩)整個(gè)構(gòu)件在頻域內(nèi)的動(dòng)力方程為

(7)

(8)

(9)

圖3 BBP接頭位置處彈簧-阻尼系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)力

式中：Γ為BBP接頭位置處彈簧-阻尼系統(tǒng)的剛度矩陣。

若用k(t)、k(s)、k(b)分別表示BBP連接彈簧-阻尼體系的抗拉、剪切、彎曲剛度，則Γ的各子矩陣的具體表達(dá)式為

(10)

(11)

將式(9)代入到式(11)中可得BBP位置處結(jié)點(diǎn)力向量與結(jié)點(diǎn)位移向量之間的關(guān)系為

(12)

式中：矩陣S為BBP接頭位置截面的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣，可由k(t)、k(s)和k(b)求出。

通過(guò)組裝各個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，可得基本跨整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程為

(13)

1.3 邊界條件的引入及移動(dòng)加載的實(shí)現(xiàn)1.3.1 墩底固結(jié)邊界條件的引入

(14)

(15)

1.3.2 周期性邊界條件的引入

根據(jù)無(wú)限周期結(jié)構(gòu)理論可知[8]，在激振頻率為ωp的簡(jiǎn)諧荷載作用下，橋梁結(jié)構(gòu)基本跨左端截面和右端截面的位移和集中力向量分別為

(16)

將式(16)代入式(15)中，可得

(17)

1.3.3 頻域內(nèi)移動(dòng)加載的實(shí)現(xiàn)

(18)

式中：L0為梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度；x為作用力距離該單元i結(jié)點(diǎn)的距離。

1.4 橋梁結(jié)構(gòu)任意跨的動(dòng)力響應(yīng)求解

在求得橋梁結(jié)構(gòu)基本跨的頻譜、時(shí)程動(dòng)力響應(yīng)后，基于無(wú)限周期結(jié)構(gòu)理論可求解第n跨的動(dòng)力響應(yīng)為

(19)

1.5 橋梁結(jié)構(gòu)特征方程的推導(dǎo)

(20)

對(duì)式(20)進(jìn)行整理，可得

(21)

將式(21)和式(16)進(jìn)行聯(lián)立，可得周期性橋梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的特征方程為

(22)

式中：κe為在周期性橋梁結(jié)構(gòu)中傳播的特征波復(fù)波數(shù)，實(shí)部表示特征波相位的改變，虛部表示特征波的衰減；V為響應(yīng)的特征向量。

2 頻域有限元方法的驗(yàn)證

為驗(yàn)證周期性橋梁結(jié)構(gòu)頻域有限元方法的正確性，采用與文獻(xiàn)[16]相同的橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)和荷載參數(shù)，將本文計(jì)算出的橋梁結(jié)構(gòu)基本跨左端部豎向位移響應(yīng)與該文獻(xiàn)中簡(jiǎn)支梁跨中位移響應(yīng)的解析解進(jìn)行對(duì)比分析。

計(jì)算中，車輛參數(shù)為5節(jié)，每節(jié)車有兩個(gè)軸重，每個(gè)軸重荷載為215.6 kN。荷載列考慮為常力輪軸荷載，每節(jié)車車身長(zhǎng)度為24 m，車身前后兩個(gè)軸重間距為18 m，前后兩車相鄰軸間距為6 m。梁體、橋墩有限元離散單元L0取0.2 m；若分析頻率和采樣點(diǎn)數(shù)分別為fs和N′，則頻率間隔取為df=fs/N′，分析時(shí)間t=1/df；時(shí)域分析中，時(shí)間離散點(diǎn)數(shù)NT=2N′，時(shí)間步長(zhǎng)dt=t/NT。采用Matlab編程進(jìn)行計(jì)算，不同列車速度下橋梁模型數(shù)值解與文獻(xiàn)解析解對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 不同列車速度下橋梁模型數(shù)值解與文獻(xiàn)解析解對(duì)比

由圖4可知，本文模型的數(shù)值解與文獻(xiàn)中解析解在時(shí)程曲線的波形和振幅上基本保持一致，說(shuō)明本文建立的周期性橋梁結(jié)構(gòu)頻域有限元模型在求解橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)是正確且有效的。

3 高速鐵路周期性橋梁結(jié)構(gòu)的能帶特征及墩底動(dòng)反力分析

3.1 模型參數(shù)

以鄭萬(wàn)高速鐵路32 m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁(通橋〔2016〕2322 A)為算例，現(xiàn)澆實(shí)體橋墩高度為14 m，梁體和橋墩的材料與幾何參數(shù)見(jiàn)表1。支座模型中采用鐵路常用跨度簡(jiǎn)支梁球形鋼支座，BBP接頭處的剛度阻尼系數(shù)取值見(jiàn)表2。高速列車采用8輛ICE3動(dòng)車編組，輪軸荷載分布示意見(jiàn)圖5，固定軸距為2a=2.5 m，2b=14.875 m，兩鉤之距為l=24.775 m，靜軸重為P0=160 kN。

3.2 周期性橋梁結(jié)構(gòu)的能帶分析

為了分析周期性橋梁結(jié)構(gòu)的特性，首先根據(jù)1.5節(jié)的內(nèi)容對(duì)其進(jìn)行特征分析。經(jīng)計(jì)算，該橋梁結(jié)構(gòu)的前三階特征波波數(shù)隨頻率的變化見(jiàn)圖6。根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)特征波波數(shù)隨頻率的變化情況，可以觀察其能帶特性，波能傳播的頻帶稱為通帶，即實(shí)部不為零的頻帶，反之稱為禁帶[17]。周期性結(jié)構(gòu)具有一定的隔振性能，當(dāng)具有一定頻率范圍的波動(dòng)傳播至周期性結(jié)構(gòu)時(shí)，只有通帶內(nèi)的頻率可以通過(guò)，而禁帶內(nèi)的頻率將被阻隔。

圖5 ICE3動(dòng)車車輛輪軸荷載分布示意

表1 梁體和橋墩的材料與幾何參數(shù)

表2 接頭彈簧剛度和阻尼參數(shù)[6]

圖6 周期性橋梁結(jié)構(gòu)的前三種特征波

由圖6可見(jiàn)，對(duì)于第一特征波，該周期性橋梁結(jié)構(gòu)的通帶頻率范圍為0～4.3、107.8～111.0、139.4～140 Hz，同時(shí)其虛部隨頻率的增大而不斷增大，表明第一特征波的高頻段通帶衰減快；對(duì)于第二特征波，其通帶頻率范圍為0～4.3、5.2～53、105.6～158.6 Hz，同時(shí)其頻率虛部分布為兩端小中間大，表明那些衰減較慢傳播較遠(yuǎn)的通帶頻率分布在通帶與禁帶界限處；對(duì)于第三特征波，其帶頻率范圍則有多個(gè)，即1.0～21.2、35.2～53.0、53.8～63.4、71.0～75.0、75.4～76.0、128.8～140.0 Hz。因此，若將32 m跨徑的高速鐵路周期性簡(jiǎn)支梁橋作為隔振結(jié)構(gòu)，第一、二、三特征波共有的通帶頻率是1.0～4.3、139.4～140 Hz，而其他頻段的波將會(huì)被阻礙。

3.3 周期性橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)及墩底動(dòng)反力分析

利用本文的理論方法，可以計(jì)算周期性橋梁結(jié)構(gòu)任意跨的動(dòng)力響應(yīng)及墩底產(chǎn)生的動(dòng)反力。

以圖1的基本跨為基準(zhǔn)，取其右側(cè)的第5、7、9跨進(jìn)行橋墩墩底動(dòng)反力的計(jì)算分析，該墩底的動(dòng)作用力可作為場(chǎng)地的輸入激勵(lì)進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)的分析。當(dāng)輪軸荷載以V=300 km/h的速度移動(dòng)時(shí)，橋墩墩底動(dòng)反力力見(jiàn)圖7。 由圖7可見(jiàn)：第5、7、9跨墩底豎向反力、水平反力和反力矩時(shí)程曲線相互間隔0.77 s的時(shí)間差，且曲線幅值、走勢(shì)基本一致；三跨的橋墩墩底豎向反力幅值均為9.5×102kN，墩底水平反力幅值為3 kN，墩底彎矩幅值為12 kN·m，并且墩底水平力時(shí)程、彎矩時(shí)程曲線相對(duì)墩底豎向力時(shí)程變化劇烈；第5跨墩底豎向反力頻譜峰值集中在0～10 Hz，墩底水平反力頻譜峰值分布在5.7、33.7、67.2、104.3、131.5、168.0、198.3 Hz左右，墩底反力矩頻譜峰值分布在5.6、23.5、33.7、67.2 Hz左右，因此墩底豎向力頻譜主要分布在低頻段，而墩底水平反力、反力矩頻譜分布在中、低頻段。

準(zhǔn)靜態(tài)輪軸荷載作用下，基本跨右側(cè)第5跨左端截面的豎向位移、彎矩及剪力的頻譜及時(shí)程曲線見(jiàn)圖8。由圖8可見(jiàn)，第5跨左端部豎向位移、彎矩及左梁接頭剪力頻譜峰值集中在0～10 Hz，即梁體跨中豎向位移、彎矩及梁端剪力頻譜主要分布在低頻段。同時(shí)結(jié)合圖6～圖8的計(jì)算結(jié)果可以看出，周期性橋梁結(jié)構(gòu)的能帶特性主要還是應(yīng)用于周期結(jié)構(gòu)在隔振減振中的分析，而不能直接用來(lái)解釋移動(dòng)荷載作用下周期性橋梁結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力響應(yīng)頻譜分布特征。

圖7 輪軸荷載作用下基本跨右側(cè)第5、7、9跨橋墩的墩底動(dòng)反力(V=300 km/h)

圖8 移動(dòng)輪軸荷載作用下基本跨右側(cè)第5跨左端面的垂向位移、彎矩及剪力

為了能更加明確地分析激振頻率對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響，本文除了考慮移動(dòng)的準(zhǔn)靜態(tài)輪軸荷載，還考慮了單一波長(zhǎng)λ的軌道不平順。軌道不平順引起的激勵(lì)力P(x,t)=P0eiωpt，其中ωp=2πV/λ為軌道不平順引起的加載頻率(λ為軌道不平順的波長(zhǎng)，V為列車運(yùn)行速度)。以基本跨右側(cè)第5跨的左端面(即相應(yīng)的跨中截面)為例，分別計(jì)算列車運(yùn)行速度為300 km/h時(shí)，ωp=6.54、20、30 rad/s三種情況下橋梁結(jié)構(gòu)的豎向位移頻譜圖和時(shí)程曲線，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9。

由圖9可見(jiàn)，外激勵(lì)力頻率對(duì)橋梁跨中位移的影響較大。與準(zhǔn)靜態(tài)輪軸荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比可知，當(dāng)不考慮軌道不平順時(shí)，位移曲線主要是由移動(dòng)的輪軸荷載引起的，截面發(fā)生整體向下的位移，而考慮了軌道不平順后，截面位移出現(xiàn)了明顯的周期性特征，且隨激振頻率的增大而增大。

列車速度為300 km/h時(shí)，不同激振頻率下基本跨右側(cè)第5跨的移動(dòng)輪軸荷載引起的墩底豎向力、水平反力以及反力矩的時(shí)程曲線見(jiàn)圖10。由圖10可見(jiàn)，墩底豎向力、水平力和力矩隨時(shí)間變化的曲線差異比較大；考慮了軌道不平順后，墩底作用力也出現(xiàn)了明顯的周期性特征，且隨激振頻率的增大而增大。因此，墩底動(dòng)反力將會(huì)受到列車軸重準(zhǔn)靜態(tài)激勵(lì)和軌道不平順激勵(lì)的雙重影響，當(dāng)考慮軌道不平順隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，這種影響將會(huì)更加明顯[18]。

圖9 不同激振頻率下基本跨右側(cè)第5跨左端面的垂向位移頻譜和時(shí)程曲線(V=300 km/h)

圖10 不同激振頻率下基本跨右側(cè)第5跨對(duì)應(yīng)橋墩的墩底動(dòng)反力(V=300 km/h)

4 結(jié)論

本文基于無(wú)限周期結(jié)構(gòu)理論和頻域有限元法，建立了高速鐵路周期性橋梁結(jié)構(gòu)的分析模型，提出了基本跨模型等效結(jié)點(diǎn)荷載矢量頻譜的計(jì)算方法，并通過(guò)既有文獻(xiàn)驗(yàn)證了本文模型的正確性，主要結(jié)論如下：

(1)本文所提出的周期性橋梁結(jié)構(gòu)頻域有限元模型及方法，不僅能夠直接從頻域內(nèi)求解橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)以及墩底動(dòng)反力，而且只需要建立基本跨的力學(xué)模型就可以求解橋梁結(jié)構(gòu)任意跨的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，計(jì)算方法高效且穩(wěn)定，為環(huán)境振動(dòng)研究領(lǐng)域中場(chǎng)地振動(dòng)荷載源的求解提供了新的研究思路和計(jì)算方法。

(2)通過(guò)有限單元法求解了周期性橋梁結(jié)構(gòu)的通帶和禁帶曲線，其第一特征波隨頻率增大其衰減也不斷增大，第二、三特征波在通帶與禁帶界限頻率處衰減較慢，且第一、二、三特征波在低頻和高頻段均有共有通帶頻率；其能帶特性可應(yīng)用于周期結(jié)構(gòu)的減振隔振中。

(3)由于軌道不平順的影響，橋梁結(jié)構(gòu)截面位移和墩底動(dòng)反力會(huì)出現(xiàn)明顯的周期性特征，且動(dòng)力響應(yīng)隨激振頻率的增大而增大。

(4)作為橋墩基礎(chǔ)—場(chǎng)地相互作用體系的外激勵(lì)力輸入時(shí)，不應(yīng)該只考慮墩底的豎向作用力，還應(yīng)將水平作用力和力矩作為輸入同時(shí)作用到承臺(tái)基礎(chǔ)的表面，同時(shí)還要考慮由軌道不平順引起的動(dòng)態(tài)作用力。