苑一祥 周文祥 孔振文 祝向陽

摘 要：高速動(dòng)車組運(yùn)動(dòng)模型車穿越制動(dòng)裝置時(shí)，其鋁合金側(cè)板與固定的 Halbach 永磁陣列發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)并產(chǎn)生渦流制動(dòng)力，從而使車輛快速制動(dòng)。文章建立渦流制動(dòng)系統(tǒng)二維模型，推導(dǎo)制動(dòng)力和法向力解析表達(dá)式;根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)計(jì)算出制動(dòng)力和法向力隨速度變化的特性曲線，并用 Maxwell 有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì);采用制動(dòng)曲線擬合方法，得到忽略摩擦力及風(fēng)阻時(shí)運(yùn)動(dòng)模型制動(dòng)距離的解析式和算例;用有限元仿真結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，大幅度提高渦流制動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)校核、氣隙調(diào)整計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞：高速動(dòng)車組;運(yùn)動(dòng)模型;Halbach 永磁陣列;渦流制動(dòng);有限元分析

中圖分類號(hào)：U260.357

1 引言

西南交通大學(xué)采用縮尺比為1 ： 10的3節(jié)編組模型車進(jìn)行動(dòng)車組空氣動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)。試驗(yàn)臺(tái)線路長(zhǎng)146 m，包括加速、測(cè)試及制動(dòng)區(qū)段。鑒于渦流制動(dòng)有高減速、短距離、無磨損特點(diǎn)，在法國(guó)、德國(guó)及日本的高速動(dòng)車組均有應(yīng)用[1]。Halbach永磁陣列體積小、簡(jiǎn)單可靠，雙邊布置還可利用法向排斥力導(dǎo)向，因此，速度高達(dá)100m/s的運(yùn)動(dòng)模型車采用了永磁渦流制動(dòng)。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)模型車渦流制動(dòng)力及導(dǎo)向力不足，或制動(dòng)力、法向擠壓力過大時(shí)，其有撞毀或損壞危險(xiǎn)。因此，必須對(duì)運(yùn)動(dòng)模型車與固定的永磁陣列構(gòu)成的渦流制動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行可靠設(shè)計(jì)校核、優(yōu)化分析，分析渦流制動(dòng)力及加速度、渦流法向力隨速度而變的特性曲線，以及進(jìn)入初速與制動(dòng)距離的關(guān)系。

目前，永磁渦流制動(dòng)的工程設(shè)計(jì)還依靠對(duì)具體電磁場(chǎng)的分析。Aldo Canova為得到永磁渦流制動(dòng)力隨速度變化的特性曲線，采用了解析和有限元方法[3];文獻(xiàn)[4]探討了混合勵(lì)磁的直線渦流制動(dòng)（包括氣隙在內(nèi)的參數(shù)）對(duì)制動(dòng)性能的影響;文獻(xiàn)[5]利用有限元計(jì)算，按需要設(shè)計(jì)制動(dòng)裝置長(zhǎng)度，但模型制動(dòng)距離僅2 m。當(dāng)1 ： 10動(dòng)車模型制動(dòng)距離超過10 m后，有限元方法所需計(jì)算時(shí)間很長(zhǎng)，效率不高。

本文針對(duì)1：10運(yùn)動(dòng)模型試驗(yàn)臺(tái)特定的Halbach永磁陣列渦流制動(dòng)系統(tǒng)建立簡(jiǎn)化模型，推導(dǎo)了制動(dòng)力和法向力解析表達(dá)式;按實(shí)際參數(shù)得到制動(dòng)和法向力隨速度變化的特性曲線，并用Maxwell軟件結(jié)果進(jìn)行比對(duì);用擬合制動(dòng)特性曲線方法得到運(yùn)動(dòng)模型制動(dòng)距離解析式，并通過仿真驗(yàn)證了制動(dòng)距離解析計(jì)算結(jié)果。

2 永磁渦流制動(dòng)系統(tǒng)物理模型

縮比為1 ： 10，總重約190 kg、全長(zhǎng)約8 m的3節(jié)模型車采用的永磁陣列渦流制動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示。圖1中龍門架兩側(cè)均固定3行磁化強(qiáng)度相同、尺寸相同的永磁體，每1行永磁體呈Halbach陣列布置，磁化方向如圖2所示。永磁渦流制動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

模型車兩側(cè)的非導(dǎo)磁鋁合金板在制動(dòng)過程中產(chǎn)生渦流和電磁力，且車體其他部分不產(chǎn)生電磁力。因此，只需分析1行永磁陣列及其對(duì)應(yīng)鋁合金板的磁場(chǎng)和受力分布，即可得知整個(gè)模型車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，進(jìn)行如下假設(shè)[6]：氣隙的磁感應(yīng)強(qiáng)度在z方向上為0，忽略端部效應(yīng);非導(dǎo)磁鋁合金板與Halbach陣列均為無限長(zhǎng);忽略摩擦阻力和氣動(dòng)阻力。

通過以上假設(shè)和簡(jiǎn)化，可以將復(fù)雜的三維電磁場(chǎng)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為二維，簡(jiǎn)化后的物理模型如圖2所示，其中黑色箭頭為永磁體磁化方向。

3 永磁渦流電磁力解析

3.1 磁場(chǎng)與電磁力

根據(jù)材料電磁特性的不同，可以將計(jì)算區(qū)域劃分為5個(gè)部分[7]，如圖3所示。

設(shè)μ0為真空磁導(dǎo)率，i為虛數(shù)單位，Br為永磁材料中的剩磁，τ為極距，ω = π / τ，以圖2所示位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)圖2中永磁體的磁化方向，對(duì)永磁體中磁化強(qiáng)度M的x軸分量Mx，y軸分量My進(jìn)行傅里葉變換，可得：

圖3中區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ、區(qū)域Ⅳ、區(qū)域Ⅴ中的矢量磁位A方程為：

式（5）中，μⅣ為區(qū)域Ⅳ介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率;σ為鋁合金板電導(dǎo)率，v為鋁合金板運(yùn)動(dòng)速度。

邊界條件為[4]：

式（6）、（7）中，n為方向垂直邊界的單位向量;Bj、Bk為磁感應(yīng)強(qiáng)度;Hj、 Hk 為磁場(chǎng)強(qiáng)度;j，k為相鄰2個(gè)區(qū)域的編號(hào)。

由分離變量法，可將矢量磁位A表示為：

將邊界條件公式（6）、（7）帶入公式（9）～（13），解得待定系數(shù)C和D，即可得各區(qū)域內(nèi)的矢量磁位A，從而求得各個(gè)區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)[8]。

由麥克斯韋應(yīng)力張量法可得，長(zhǎng)度為2τ的非導(dǎo)磁鋁合金板所受渦流切向制動(dòng)力和法向擠壓力為[9]：

式（15）、（16）中，w為永磁體的寬度;BIVyn、BIVxn分別為計(jì)算區(qū)域Ⅳ磁感應(yīng)強(qiáng)度在x、y向n次諧波分量。

3.2 制動(dòng)力和法向力的算例與比對(duì)

（1）將表1的具體參數(shù)代入式（15）、（16），通過MATLAB編程計(jì)算得到不同氣隙下的渦流制動(dòng)力及渦流法向力曲線，如圖4和圖5所示。制動(dòng)力隨速度的降低而增加，在15m/s時(shí)達(dá)到峰值，約為90m/s時(shí)的3 倍，隨后減小至0;渦流法向力隨速度降低緩慢減小，并在速度降至小于30m/s時(shí)加速減小。最大制動(dòng)力約為最大法向力的0.6倍。

（2）為比對(duì)解析計(jì)算結(jié)果，按圖2建立Maxwell2D有限元計(jì)算模型。設(shè)鋁合金板以100m/s的初速度運(yùn)動(dòng)，記錄不同速度的渦流制動(dòng)力和法向力，其結(jié)果繪制于圖4和圖5中。整體而言，渦流制動(dòng)力解析計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果一致。因此，可在解析計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，對(duì)渦流制動(dòng)距離進(jìn)行計(jì)算。

（3）作為工程項(xiàng)目，調(diào)整氣隙是調(diào)整渦流制動(dòng)力及渦流法向力的主要手段。為此，圖4和圖5也列出了當(dāng)氣隙為6 m、8 m、10 m、12mm時(shí)的渦流制動(dòng)力及渦流法向力與速度的關(guān)系曲線，可以看出，隨著氣隙的增大，電磁力逐漸減小，且變化幅度逐漸減小。

（4）計(jì)算氣隙6 mm、8 mm、10 mm和12 mm時(shí)的渦流制動(dòng)力與氣隙6 mm時(shí)的渦流制動(dòng)力之比，計(jì)算氣隙6 mm、8 mm、10 mm和12 mm時(shí)的渦流法向力與氣隙6 mm時(shí)的渦流法向力之比，可得到電磁力隨氣隙變化的規(guī)律，如表2所示。這可為通過氣隙調(diào)整制動(dòng)加速度及法向力提供依據(jù)。表2表明，氣隙從6 mm開始，逐漸增大到8 mm、10 mm、12 mm過程中，氣隙每增大2mm，制動(dòng)力減小約10%，法向力減小約9%。

（5）圖4、圖5是單行永磁體對(duì)2倍極距（2τ）長(zhǎng)度的鋁合金板產(chǎn)生的電磁力。實(shí)驗(yàn)裝置兩側(cè)永磁陣列共6行，3節(jié)模型車質(zhì)量為190 kg，側(cè)面鋁合金板總長(zhǎng)度為5 752 mm，不計(jì)空氣阻力及摩擦力，最大的制動(dòng)加速度將達(dá)到950 m/s2。如果在適當(dāng)?shù)闹苿?dòng)區(qū)段將氣隙增加到12 mm，則最大加速度降低到約700? m/s2，降低約 27%。

4 渦流制動(dòng)距離研究

4.1 制動(dòng)距離計(jì)算方法

制動(dòng)力的解析計(jì)算公式較為復(fù)雜，不利于計(jì)算制動(dòng)距離，因此對(duì)制動(dòng)力-速度曲線通過公式（17）進(jìn)行擬合：

式（17）中，q1，q2，q3為待定系數(shù)。

設(shè)鋁合金板總長(zhǎng)為L(zhǎng)，單節(jié)模型車質(zhì)量的1/6為m0，制動(dòng)裝置最左端為原點(diǎn)，x為鋁合金板位移，v0為初速度，其分析模型如圖6所示。

當(dāng)0

當(dāng)初速度較小時(shí)，鋁合金板全部進(jìn)入制動(dòng)區(qū)域前速度已經(jīng)減為0，將公式（17）代入公式（18）并對(duì)兩邊積分，可得 時(shí)制動(dòng)距離x0表達(dá)式為：

4.2 制動(dòng)距離算例與比對(duì)

（1）將氣隙為6 mm的制動(dòng)力數(shù)據(jù)代入公式（17），用最小二乘法算出待定參數(shù)q的值，得到制動(dòng)力-速度擬合曲線的均方根誤差為4.95，測(cè)定系數(shù)R-square為0.999 8，表明擬合效果良好。

（2）根據(jù)公式（19）和（23）可求出不同氣隙的不同初速度v0下的制動(dòng)距離，如圖7所示。由于采用有限元法計(jì)算不同氣隙下的制動(dòng)距離需要大量的計(jì)算，本文僅對(duì)鋁合金板長(zhǎng)度為2476mm的單節(jié)模型車、氣隙為6mm時(shí)的制動(dòng)距離進(jìn)行比對(duì)。結(jié)果表明，隨著氣隙的增大，所需制動(dòng)距離迅速增大;對(duì)初速度為100m/s的單節(jié)模型車，氣隙為6mm時(shí)所需制動(dòng)距離為10.66m，氣隙為12mm時(shí)所需制動(dòng)距離為13.91m。

（3）以上為單節(jié)模型車的計(jì)算結(jié)果，實(shí)際試驗(yàn)中采用的3節(jié)模型車，鋁合金側(cè)板總長(zhǎng)約5.7m，總重約190kg，初速度為100m/s。根據(jù)公式（23）可以算出，氣隙為6mm時(shí)所需的制動(dòng)距離為15.14 m，如果氣隙整體調(diào)整到12mm，制動(dòng)距離則增加到19.3m，現(xiàn)有的制動(dòng)單元長(zhǎng)度為26m，能夠滿足試驗(yàn)需求。

5 結(jié)論

（1）永磁Halbach渦流制動(dòng)的解析方法可以解決有限元計(jì)算量過大的困難。

（2）氣隙不變的情況下，渦流制動(dòng)力是速度的有理函數(shù)，制動(dòng)距離是初速度的三次曲線。

（3）渦流制動(dòng)力和渦流法向力隨著氣隙長(zhǎng)度的增大逐漸減小，氣隙從6 mm開始，氣隙每增大2 mm，渦流制動(dòng)力減少約10%，渦流法向力減小約9%。

（4）速度為100 m/s的3節(jié)模型車試驗(yàn)，現(xiàn)有的制動(dòng)單元數(shù)量能夠滿足需求。

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收稿日期 2020-05-29

責(zé)任編輯 朱開明