圖形翻折中的“勾股定理”

文 季黎明

與基本圖形相關(guān)的圖形的翻折變換歷來都是中考熱門，其中直角三角形占有一席之地。與直角三角形息息相關(guān)的是勾股定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解決問題的有力工具。當(dāng)直角三角形“遇上”翻折變換，會發(fā)生什么呢？下面，通過一道中考改編題，我們一起來看看勾股定理是如何幫我們解決問題的。

例（2017·江蘇無錫改編）如圖1，在四邊形ABCD中，已知：∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，BC=AD=6，若點P為射線BC上的一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置，使點B落在點E處。當(dāng)△PEC為直角三角形時，求PB的長。

圖1

【分析】首先，由“P為射線BC上的一點”，我們將點P按“在線段BC上”和“在線段BC的延長線上”這兩種位置關(guān)系進(jìn)行討論。

其次，“△PEC為直角三角形”。哪個角是直角呢？題中并未指明。所以，我們圍繞直角同樣要展開討論。

接下來，如何進(jìn)一步解決問題呢？以“當(dāng)點P落在線段BC上且∠PEC=90°時”這一情況為例，此時點E剛好落在對角線AC上（如圖2）。借助翻折，自然地可以得到AB=AE，EP=PB。我們的目標(biāo)是線段PB的長度。線段PB滿足PB+PC=6，即EP+PC=6，而線段EP、PC恰好構(gòu)成了Rt△PEC的直角邊與斜邊。另一條直角邊EC又是可求的。所以，在Rt△PEC中由勾股定理可以得到PE2+EC2=PC2。利用線段EP、PC的和為定值，可以設(shè)EP=x，則PC=6-x，將其代入PE2+EC2=PC2，建立關(guān)于x的方程。把握好這個方法后，我們可以“以不變應(yīng)萬變”。

【略解】（1）當(dāng)點P落在線段BC上時：

①當(dāng)∠PEC=90°時（如圖2），設(shè)PB=x，由翻折可得△ABP≌△AEP，所以AB=AE=10，EP=PB=x，則PC=6-x。

在Rt△ABC中（對于數(shù)值的化簡，同學(xué)們在以后的二次根式中會學(xué)）。

因為AE=10，所以EC=2 34-10。

在Rt△PEC中，PE2+EC2=PC2，解得x=。

圖2

圖3

②當(dāng)∠PCE=90°時（如圖3），點E剛好落在線段CD上，不難得出CE=2。

在Rt△PEC中，同樣以PC2+EC2=PE2為等量關(guān)系列方程，解得。

③當(dāng)∠EPC=90°時，這種翻折情形并不存在，舍去。

圖4

圖5

（2）當(dāng)點P落在線段BC的延長線上時：

①當(dāng)∠EPC=90°時（如圖4），點E剛好落在AD的延長線上。

此時，四邊形ABPE是正方形，所以PB=AB=10。

②當(dāng)∠PCE=90°時（如圖5），點E落在CD的延長線上。

由翻折得AB=AE=10，設(shè)EP=PB=x且PC=x-6，易得CE=18。

在Rt△PEC中，結(jié)合勾股定理列方程解得PE=PB=30。

③當(dāng)∠PEC=90°時，這種翻折情形并不存在，舍去。

綜上，△PEC為直角三角形時，PB=或30。

【小結(jié)】本題是一道常見的翻折變換問題，回首上述4種情形，每一次翻折變換均可以得到三角形全等。利用全等得到線段之間的數(shù)量關(guān)系并以此設(shè)未知數(shù)，表示出相關(guān)線段，我們不難發(fā)現(xiàn)：翻折中出現(xiàn)的Rt△PEC的三邊要么可求，要么可用未知數(shù)表示，于是，在Rt△PEC中用勾股定理建立方程，求解未知數(shù)。本題還可以這樣設(shè)計，已知E點到四邊形某邊的距離，考查P點的位置。2017年無錫市的中考數(shù)學(xué)第28題的最后一問正是這樣的問題。同學(xué)們試試自己設(shè)計并解決，相信你一定行！