陸婷

[摘? 要] 角平分線是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，以角平分線為基礎(chǔ)可以構(gòu)建相應(yīng)的解題模型，可提升解題效率，因此開展角平分線的聯(lián)想模型探究具有現(xiàn)實(shí)意義. 文章對(duì)角平分線的四個(gè)模型進(jìn)行解讀，結(jié)合實(shí)例加以探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 角平分線;模型;雙垂直;等腰三角形;平行等腰;三角形內(nèi)心

背景綜述

角平分線是初中幾何的重要定義，利用角平分線定理可以進(jìn)行幾何推理、完成幾何證明、求解線段長(zhǎng)等. 角平分線定理看似簡(jiǎn)單，但其背后隱含的角相等、等線段長(zhǎng)，甚至垂直關(guān)系可以構(gòu)建相應(yīng)的復(fù)合模型. 因此，在實(shí)際解題時(shí)，若出現(xiàn)角平分線，則可以考慮利用角平分線的性質(zhì)定理，綜合其他幾何知識(shí)來構(gòu)建相應(yīng)的模型，利用模型的特殊性來簡(jiǎn)化解題過程.

模型探究

以角平分線為基礎(chǔ)構(gòu)建幾何模型有著極高的應(yīng)用價(jià)值，常用的模型有雙垂直模型、等腰三角形模型、全等三角形模型、三角形內(nèi)心模型等，下面結(jié)合實(shí)例開展角平分線聯(lián)想模型探究.

1. 模型一：雙垂直模型

雙垂直模型，顧名思義，該模型中含有兩條垂線，兩組垂直關(guān)系. 其構(gòu)建策略為：角平分線+邊的垂線 雙垂直，即利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等來作垂線. 具體如下：如圖1，點(diǎn)P在∠MON的平分線上，過點(diǎn)P作兩邊的垂線，即PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A，B，則易知PA=PB.

實(shí)際解題時(shí)，若已知角平分線上的點(diǎn)到角一邊的垂線，則可以過該點(diǎn)作另一邊的垂線，從而構(gòu)造雙垂線模型，利用模型來推理垂線段相等.

例1？搖 如圖2，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠BAC=45°，AD為∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，則DE的長(zhǎng)為__________.

解析？搖 AD為∠BAC的平分線，可以結(jié)合角平分線來構(gòu)建雙垂線模型，利用模型中的等線段來解題，具體如下. 過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，再過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為M，分析可知DF=DE. 因?yàn)椤螧AC=45°，AC=8，所以CM=AM=4 . 由等面積法可知S = AB·CM=S +S =20 ，而S +S = AB·DE+ AC·DF= （AB+AC）·DE=20 ，解得DE= .

評(píng)析？搖 雙垂直模型的核心是角平分線的性質(zhì)定理，即其中的雙垂線段相等. 例1在已知一邊垂線的情況下通過作另一邊的垂線構(gòu)建了雙垂線模型，為后續(xù)的等面積轉(zhuǎn)化得方程提供了條件. 因此，在實(shí)際解題時(shí)需充分利用圖形中的角平分線，合理添加輔助線來建模.

2. 模型二：等腰三角形模型

從整體上觀察角平分線，可將角平分線視為兩條邊的對(duì)稱軸，利用該特點(diǎn)可以作角平分線的垂線來構(gòu)建等腰三角形模型. 基本的構(gòu)建策略為：角平分線+角平分線的垂線 等腰三角形，即過角平分線上的任意一點(diǎn)作其垂線，垂線與角的兩邊可形成等腰三角形. 作圖如下：如圖3，取∠MON平分線OQ上一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作OQ的垂線，垂線與角兩邊的交點(diǎn)分別為A和B，則△ABO為等腰三角形，且AO=BO. 在該模型中，OP為底邊AB的垂直平分線，點(diǎn)P為底邊AB的中點(diǎn).

解題時(shí)需要關(guān)注其中的角平分線，可以通過作輔助線的方式來構(gòu)建等腰三角形模型，如（圖3）延長(zhǎng)AP與角的另一邊交于點(diǎn)B，則可以形成封閉的三角形. 該模型中存在多個(gè)顯著特征：垂直平分→AB⊥OP，AP=BP;等角等邊→AO=BO，∠AOP=∠BOP. 可利用其中的特殊條件推理全等三角形.

例2？搖 如圖4，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，BD=2，則AE的長(zhǎng)為__________.

解析？搖 △ABC為等腰直角三角形，以其內(nèi)角平分線為基礎(chǔ)構(gòu)建了直角三角形ABD，求AE的長(zhǎng)，可以把握其中的角平分線，通過添加輔助線來構(gòu)建等腰三角形，利用等腰三角形模型求解.

延長(zhǎng)BD與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則△ABF為等腰三角形，且∠ABF=∠AFB. 由于AD為BF的垂直平分線，所以BD=FD，BF=2BD. 進(jìn)一步可證∠EAC=∠FBC，結(jié)合AC=BC，∠ACE=∠BCF=90°，得△ACE≌△BCF. 所以AE=BF=2BD=4，即AE的長(zhǎng)為4.

評(píng)析？搖 上述在求解線段長(zhǎng)的時(shí)候采用了全等轉(zhuǎn)化的方法，但實(shí)際上構(gòu)建等腰三角形、利用三角形中的垂直平分才是解題的核心. 圖形構(gòu)造是重要的解題策略，也是一種解題思想，對(duì)于涉及角平分線的問題，在構(gòu)造圖形時(shí)需要把握其中的等角特性.

3. 模型三：平行等腰模型

利用圖形中的角平分線也可以構(gòu)建平行四邊形，利用平行四邊形的特性來轉(zhuǎn)化問題. 模型構(gòu)建的基本策略為：角平分線+平行線 平行等腰模型，即分別過角平分線上的一點(diǎn)作兩條邊的平行線，則與角兩邊所形成的四邊形為平行四邊形，同時(shí)形成了兩個(gè)等腰三角形. 如圖5，取∠MON平分線上一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作ON和OM的平行線PA和PB，則四邊形AOBP為平行四邊形，同時(shí)△AOP和△BOP為等腰三角形.

實(shí)際解題時(shí)，可以充分利用角平分線的“平分角”特性來構(gòu)建平行四邊形，利用特殊圖形的性質(zhì)來推理計(jì)算. 同時(shí)，結(jié)合其中的平行和等角，可證明模型中的等腰三角形.

例3？搖 如圖6，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在BD和AD上. 已知EF∥AB，且DE=CD，試證明EF=AC.

解析？搖 題干中有角平分線和平行線，要證明EF=CD，可以利用平行等腰模型，即過點(diǎn)C作AB的平行線，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，如圖7，則△ACM為等腰三角形，且AC=CM. 因?yàn)镋F∥AB，所以CM∥EF. 所以∠3=∠M. 進(jìn)一步可證△CDM≌△EDF，所以EF=CM. 所以EF=AC.

評(píng)析？搖 上述在證明線段相等時(shí)，充分利用了角平分線中的平行等腰模型，通過作平行線構(gòu)建了等腰三角形，并利用其中的平行關(guān)系證明了三角形全等，從而建立了兩線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系. 平行等腰模型中隱含著轉(zhuǎn)化思想，學(xué)習(xí)模型時(shí)應(yīng)充分把握其中的思想內(nèi)涵.

4. 模型四：三角形內(nèi)心模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，根據(jù)該內(nèi)容可知，解析涉及角平分線的三角形問題時(shí)，可以構(gòu)建三角形內(nèi)心模型，借助三角形內(nèi)心的性質(zhì)來解題. 模型構(gòu)建的基本策略為：角平分線+角平分線 三角形內(nèi)心. 如圖8，已知BP為∠ABC的平分線的情況下，可以作∠ACB的平分線，設(shè)兩平分線的交點(diǎn)為P，再過點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則PM的長(zhǎng)就等于點(diǎn)P到△ABC三條邊的距離.

實(shí)際解題時(shí)除了可以利用內(nèi)心到三角形三邊的距離相等特性外，還可以從等面積角度出發(fā)，構(gòu)建面積模型. 以圖8為例，有S = （AB+AC+BC）·PM，同時(shí)通過等角轉(zhuǎn)化可得∠BPC=90°+ ∠A.

例4？搖 如圖9，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8. ∠BAC的平分線和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為__________.

解析？搖 題目已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線，要求出EF的長(zhǎng)，顯然可以利用角平分線中的三角形內(nèi)心模型. 過點(diǎn)E分別作AB，BC，AC的垂線，設(shè)垂足分別為D，M，N. 由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知DE=ME=NE，結(jié)合∠ABC=90°，可證四邊形DBME為正方形. 由勾股定理可知AC=10，sin∠ACB= ，設(shè)BD=BM=x，則AD=AN=6-x，MC=NC=8-x. 因?yàn)锳N+NC=AC，所以6-x+8-x=10，解得x=2. 所以BD=BM=DE=EN=2. 因?yàn)镋F∥MC，所以sin∠AFE=sin∠ACB= . 所以EF= = .

評(píng)析？搖 上述圖形的顯著特點(diǎn)是設(shè)定了三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線相交，顯然聯(lián)想角平分線的三角形內(nèi)心模型解題更為簡(jiǎn)潔. 三角形的內(nèi)心模型不僅體現(xiàn)了圓與三角形的內(nèi)切關(guān)系，也隱含著垂直、相等、平分等幾何特性，實(shí)際解題時(shí)合理利用可以有效轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)建解題思路.

教學(xué)思考

上述對(duì)角平分線開展了聯(lián)想模型探究，并結(jié)合實(shí)例詳細(xì)解析了其中的四種常用模型，下面提出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 開展知識(shí)拓展，提升學(xué)生思維

角平分線屬于較為基礎(chǔ)的幾何定義，但上述結(jié)合關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想拓展形成了四個(gè)重要的幾何模型，其探究思路具有一定的參考價(jià)值. 教學(xué)中，可以以教材中的基本定義為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)聯(lián)知識(shí)入手開展定義拓展，總結(jié)相應(yīng)的模型，如聯(lián)想中點(diǎn)模型、相似模型、全等模型等，通過拓展探究促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

2. 應(yīng)用強(qiáng)化模型，形成解題策略

在模型拓展教學(xué)中，需要充分利用引例來幫助學(xué)生理解模型，掌握模型的構(gòu)建方法和使用策略，提升學(xué)生的模型應(yīng)用能力. 一般幾何模型具有多種策略，所依據(jù)的原理也不相同，以上述角平分模型為例，包括雙垂直、等腰三角形模型等，教學(xué)中有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行歸納，總結(jié)選用模型的思路，形成相應(yīng)的解題策略.