徐曉蓉

[摘? 要] “學材再建構”就是從學生實際出發(fā)，在認真研究的基礎上，對教材進行合理的增、刪、調整等，引導學生整體架構自己的知識體系和結構，從而成為數(shù)學教學中涵育學生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑.

[關鍵詞] 整體架構;數(shù)學思想;方法引領;活動經驗

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“……注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性……”并建議“教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造”[1]. “學材再建構”就是依據(jù)《標準》，從學生實際出發(fā)，在認真研究的基礎上，重組教材并建構適合的“學材”，引導學生整體架構自己的知識體系和結構，從而成為數(shù)學教學中涵育學生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑. 2020年1月14日，在“廣西初中數(shù)學品質課堂建設培訓活動”中，筆者認真聆聽了施俊進老師執(zhí)教的“直線和圓的位置關系”一課及“例談初中數(shù)學‘學材再建構研究”的專題講座. 施老師重視數(shù)學思想的滲透，研究方法的引領，引導學生從知識、能力、思維等多方面架起結構，體現(xiàn)了“學材再建構”的基本理念和價值追求. 現(xiàn)將教學設計、點評分析，以及反思啟示整理成文，與各位同行交流.

教學過程簡述及點評

環(huán)節(jié)一：回顧復習，以待類比

練習：⊙O的直徑為6 cm，點P為平面上的一點.分別由OP的長，判斷點P和⊙O的位置關系（OP=2 cm，OP=3 cm，OP=4 cm）.

追問：點和圓的位置關系有哪幾種？你是如何判斷的？我們是如何研究點和圓的位置關系的？

點評? 分別從知識和方法上抓住了知識的“生長點”與“延伸點”，通過“以題理知”“問題誘思”，回顧舊知及其研究過程和研究方法，進而為類比研究新知做好準備. “以題理知”有別于常規(guī)的泛泛而談的復習方式（僅復習知識內容），有利于學生在解決具體問題（根據(jù)新舊知識之間的內在聯(lián)系而編制）的過程中主動回憶舊知，快速集中注意力;“問題誘思”又注重了研究方法和過程的引領，調動了學生自主類比學習新知的積極性.

環(huán)節(jié)二：操作思考，探究歸納

（1）觀察太陽升起的過程，地平線（看作一條直線）與太陽（看作一個圓）有哪幾種位置關系？由此能得出直線和圓的位置關系嗎？

（2）操作演示：線與圓相對運動（借助實物）.

追問：在直線與圓相對運動的過程中，共有哪幾種位置關系？直線與圓有公共點的個數(shù)是如何變化的？

（3）合作探究：①在直線與圓相對運動的過程中，除了公共點的個數(shù)發(fā)生變化外，還涉及哪些量變化？如何用數(shù)量之間的關系來描述這些位置關系？②類比點和圓的位置關系的相關內容，說說直線和圓的位置關系的相關內容，并完成表1（設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r）.

追問：①直線和圓的各種位置關系在生活中隨處可見，你還能舉出一些生活中相交、相切、相離的實例嗎？②直線和圓的三種位置關系，與“點和圓的三種位置關系”相比，有何異同點？這兩者之間有何聯(lián)系？

點評? 從生活中舉出直線和圓的位置關系的實例（太陽升起的過程）以及動手操作探索直線（直尺）和圓（鑰匙扣）的位置關系出發(fā)，從直線和圓的相對運動（移動直尺或鑰匙扣）引出（感受）直線和圓的三種位置關系. 整個探索活動分為四個層次，第一層次是分別通過“操作與思考”（在具體操作演示后，教師通過問題來引領），引導學生感受直線和圓的位置關系的變化會引發(fā)“直線和圓的公共點的個數(shù)的變化”和“圓心到直線的距離的變化”;第二層次是探索“直線和圓的公共點的個數(shù)的變化”和“圓心到直線的距離的變化”之間的關系;第三層次是歸納直線和圓的三種位置關系，介紹相交、相切和相離等有關概念;第四層次是探索“數(shù)量關系”和“位置關系”之間的聯(lián)系[2].

學生積極參與這四個層次的探索活動，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想;在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累數(shù)學活動經驗（體現(xiàn)了“做數(shù)學”的教育理念和原則）.

另外，通過填表和反思——“直線和圓的三種位置關系”與“點和圓的三種位置關系”相比，有何異同點？這兩者之間有何聯(lián)系？——引導學生找到“直線和圓的位置關系”和“點和圓的位置關系”的聯(lián)系與區(qū)別，使得學生進一步理解為何將“直線和圓的位置關系”轉化為“點和圓的位置關系（即圓心到直線的垂線段的垂足）”，明確了圖形的位置關系與相應的數(shù)量關系之間的內在聯(lián)系，有助于學會數(shù)學思考、感悟理性精神.

環(huán)節(jié)三：分層鞏固，理解掌握

（1）判斷正誤：①圓的切線只有一條;②直線上一點到圓心的距離等于半徑，則直線與圓相切;③線段AB與⊙O無公共點，則直線AB與⊙O相離. （追問：有幾種不同的方法來判定直線與圓的位置關系？判定時要注意什么？）

（2）⊙O的直徑為10，圓心到直線l的距離為d.

①若d=5，則直線l與⊙O有______個公共點，它們的位置關系為______;

②點A在直線l上，OA=5，則直線l與⊙O的位置關系為______. （追問：若OA=4或6呢？）

（3）直線l與半徑為r的⊙O相交，圓心到直線l的距離為5，則r的取值范圍為______.

（4）已知∠AOB=30°，M為OB上一點，且OM=5 cm，以M為圓心、r為半徑作⊙M. 當r分別為2 cm，4 cm，2.5 cm時，⊙M與直線OA有怎樣的位置關系？為什么？（追問：①你是怎么判斷的？用到了哪些知識？②若⊙M與射線OA有兩個交點，則r的取值范圍是什么？）

（5）如圖1，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向300千米的B處，并以每小時10千米的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心200千米的范圍是受臺風影響的區(qū)域.

①A城是否會受到這次臺風的影響？為什么？②若A城受到這次臺風的影響，試計算A城遭受這次臺風影響的時間有多長.

點評? 通過分層練習，不僅使學生多維度地認識到直線和圓的位置關系，而且增強了思維嚴密性. 通過練習的分層（特別是題后的“追問”），使得大部分學生比較好地理解了圖形的位置關系與相應的數(shù)量關系之間的內在聯(lián)系，對于少部分有余力的學生有了達到一定高度的彈性目標，從而最大限度地滿足學生個體差異發(fā)展的需要，讓不同的學生得到不同的發(fā)展.

環(huán)節(jié)四：回顧總結，反思提升

（1）直線和圓有怎樣的位置關系？直線和圓的三種位置關系和數(shù)量關系之間有怎樣的內在聯(lián)系？

（2）通過學習，你積累了哪些重要的數(shù)學方法？

（3）如果讓你自主探究兩圓的位置關系，簡要說說你的探究思路或過程.

共同總結，并完善板書如圖2.

點評? 引導學生從知識、技能、方法、思想、情感等多方面進行自主反思內化，從整體上架起結構，形成“結構性板書”.這種包含了知識研究的基本內容和思想方法的“結構性板書”，突出了“與圓有關的位置關系”的知識體系和知識之間的內在聯(lián)系，有利于學生整體把握相關知識和方法，力求實現(xiàn)“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識結構（教育家烏申斯基語）”.雖然《標準》沒有將“圓和圓的位置關系”列入目標要求，但是學生有了對于點和圓、直線和圓的位置關系的學習基礎，對于圓和圓的位置關系，研究方法和前兩者是一脈相承的，都是從幾何特征（交點個數(shù)）和代數(shù)特性（圓心的距離和半徑的關系）兩個角度考慮. 考慮到研究內容和研究方法的連貫性，在課堂的最后讓學生類比前兩者的位置關系，簡述選學內容“圓和圓的位置關系”的探究思路或過程.有利于學生進一步體會其中的研究方法;有利于學生感悟數(shù)學思想，掌握學習方法，積累數(shù)學活動經驗;有利于增強學生學習數(shù)學的自信心，提高學生學習數(shù)學的興趣，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生的發(fā)展.

啟示和思考

1. 從課堂的教學設計看出執(zhí)教者之用心

一是將直觀感知和實驗操作相結合，即利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)直線和圓之間的位置關系（那么圓和圓的位置關系也是如此）. 突出了“做中學”的教育理念和原則.

二是數(shù)學思想方法的滲透. 分類的思想不必多說. 另外，通過對圖形的位置關系與相應的數(shù)量關系之間的內在聯(lián)系的理解，圓和直線之間的位置關系從量變到質變等，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，良好的個性品質得到發(fā)展.

三是突出研究方法的引導. 通過類比的方法自主研究學習“直線和圓的位置關系”（有了點和圓的位置關系的學習基礎，對于“直線和圓的位置關系”，與“點和圓的位置關系”的研究方法是一脈相承的）[3].

正所謂“知識誠可貴，技能價更高;若為思想（方法）故，二者兼可退”. （改編自裴多菲的《自由與愛情》）

2. 從課堂的生成過程看出執(zhí)教者之匠心

一是充分考慮到研究內容和研究方法的連貫性，注重了知識的結構和體系，引導學生感受到數(shù)學的整體性，體會到數(shù)學知識之間的關聯(lián).

二是積極轉變數(shù)學學習的學習方式，變“聽”數(shù)學為“做”數(shù)學，變“被動接受”為“主動探究”. 注重引導學生通過“做中學”“學中思”“思中悟”“悟中生（生成、生長）” 的過程，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學的真諦，發(fā)展數(shù)學思維和智慧，提高實踐能力和創(chuàng)新意識，不斷積累數(shù)學基本活動經驗，并逐步感悟數(shù)學思想方法（顯然是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志）.

三是通過“問題引領”（體現(xiàn)教師的“引導”作用）追求“學法三結合”的深度. 教師通過“問題引領”，引導學生積極思考、探索，并且始終讓學生保持個人在獨立學習（畫圖、觀察、表達、思考、實踐等）. 小組學習和全班學習都是建立在個人獨立學習的基礎上進行的，追求了“個人學習、小組學習和全班學習”有機、靈活、交替進行的學習方式（即“學法三結合”）的深度，使學生成為學習的主體，逐步學會學習.

3.？搖關于“學材再建構”

教材作為學生學習的資源，是有生成性的，當然它的生成性要借助教師來實現(xiàn). 但教學有法，教無定法，貴在得法. 在教學“與圓有關的位置關系”這部分內容時，執(zhí)教者依據(jù)《標準》，從實際出發(fā)，在認真研究的基礎上，合理進行“學材再建構”. 通過類比“點和圓的位置關系”進行研究“直線和圓的位置關系”;課堂最后將選學內容“圓和圓的位置關系”提出來（花時3分鐘），不是片面追求內容的深度、問題的難度和解題的技巧，而是注重于介紹重要的數(shù)學概念、數(shù)學思想和方法. 這樣既能面向全體學生，又考慮到學生發(fā)展的差異. 在保證基本要求的前提下，體現(xiàn)一定的彈性，以滿足學生的不同需求，使不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，充分體現(xiàn)了教師發(fā)揮自己的教學創(chuàng)造性（從板書設計也可看出）. 課堂中能用恰當?shù)乃季S方式（特別是在“思想滲透”“方法引領”中整體架構體系結構）將自己再建構的“學材”呈現(xiàn)給學生，使他們便于學、樂于學. 體現(xiàn)了不僅要“教教材”，更要“用教材教”的教材觀.

4. 通過類比的方法自主研究

對于選學內容“圓和圓的位置關系”的具體教學，可置于數(shù)學拓展課程中并加以實施. 具體實施時，完全讓學生自主類比研究點和圓、直線和圓的位置關系. 即先讓學生通過操作，探索圓和圓的不同位置關系;再從兩圓半徑、圓心距出發(fā)，讓學生自主尋找兩圓具有不同的位置關系時它們之間的數(shù)量關系，充分體現(xiàn)研究問題的類比的方法. 為此，教師要放手讓學生自主設計探究步驟、探究方法和探究思路. 在整個過程中，教師既要關注學生的探究結果，又要關注學生的探究過程，更要鼓勵并引導學生充分利用“探究”過程，積累數(shù)學活動經驗、積極展示思考過程、交流反思收獲體會，乃至激發(fā)創(chuàng)造潛能.

5. 要重視信息技術的應用

課堂上除了讓學生直觀操作外，還可以通過計算機軟件讓圖形動起來（有條件的話）. 在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)直線和圓的位置關系，通過測量發(fā)現(xiàn)與位置關系相對應的數(shù)量關系（在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質）. 合理、有效地使用計算機和有關軟件，可以提高教學效益. 當然，在應用現(xiàn)代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計. 本節(jié)“結構性板書”給人留下了深刻的印象，不僅實現(xiàn)了學生的思維與教學過程的同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡，而且特別是在知識結構和思想方法引領的統(tǒng)整中，有利于學生自主架構起整體的認知體系和認知結構.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]楊裕前，董林偉. 義務教育教科書教師教學用書（九年級上冊·數(shù)學）（蘇科版）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2014.

[3]課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著. 義務教育教科書教師教學用書（九年級上冊·數(shù)學）（人教版）[M]. 北京：人民教育出版社，2014.