林松

[摘? 要] 在一次函數(shù)教學(xué)中，如何讓學(xué)生從感性和理性上認(rèn)識到“一次函數(shù)圖像是一條直線”，一直困擾著一線教師. 畫函數(shù)圖像的方法是以點概面的，由此歸納得出的結(jié)論是感性的、不完全的，因此需要以數(shù)解形，即對函數(shù)表達式進行研究，實施從函數(shù)表達式到圖像的代數(shù)推理，從而達到證明“一次函數(shù)圖像是一條直線”的目的.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù)圖像;直線;歸納;推理

問題的提出

一次函數(shù)圖像是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中遇到的第一類函數(shù)圖像. 通過對教材的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從感性的角度接受“一次函數(shù)圖像是一條直線”，從而利用此結(jié)論簡化一次函數(shù)圖像的畫法. 但是，如何讓學(xué)生從理性的角度確定無疑地接受“一次函數(shù)圖像是一條直線”，一直是一次函數(shù)圖像教學(xué)的難點，也是學(xué)生一次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)繞不過去的坎.

以點概面：基于感性認(rèn)識的歸

納概括

1. 常規(guī)方法——淡化處理

一般情況下，教師都遵循教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生對不同函數(shù)表達式按列表、描點、連線三個步驟進行畫圖. 當(dāng)師生觀察到所描出的點在一條直線上時，教師一般會提問學(xué)生“這些點有什么樣的特征”，學(xué)生一般也會默契地回答“這些點在一條直線上”，然后教師指導(dǎo)學(xué)生將這些點進行連線，輕松得到結(jié)論“一次函數(shù)圖像是一條直線”. 在整個教學(xué)過程中，教師重在讓學(xué)生進行直觀感受，而對“一次函數(shù)圖像為什么是一條直線”做淡化處理，不進行說明和解釋.

淡化處理在實際教學(xué)中較為常見. 究其原因，一是因為此法簡潔方便，可以讓學(xué)生很快得到結(jié)論;二是教師也沒有什么好方法能向?qū)W生解釋清楚. 通過分析畫函數(shù)圖像的三個步驟可知，“列表、描點”是用有代表性的數(shù)據(jù)和點解析函數(shù)表達式的過程，它實現(xiàn)了從無限個數(shù)據(jù)和點到有限個數(shù)據(jù)和點的轉(zhuǎn)化;連線是依據(jù)點的變化趨勢進行“補點”的過程，它實現(xiàn)了從有限個點到無限個點的轉(zhuǎn)化，從而得到一次函數(shù)圖像. 因此，淡化處理法存在的問題也是明顯的：列表選取的值不能代表所有值！描出的點不能代表所有點！連線過程中增加的點不一定就是圖像上的點！畫出的圖像感覺是直線卻不一定是直線！

2. 方法改進——加密處理

如何讓學(xué)生信服“一次函數(shù)圖像是一條直線”？教學(xué)中有不少教師采用的是增加圖像上點的密度的處理方式，即在學(xué)生動手畫出圖像后再通過電腦軟件進行演示，用電腦畫出更多的點，且讓這些點足夠密集，所有這樣的點就構(gòu)成了視覺上的“直線”（如圖1）. 相比而言，這種方式更能增加學(xué)生的直觀感受，但也有學(xué)生提出疑惑：電腦生成的圖像是真實的嗎？電腦會不會騙人？

無論是常規(guī)方法，還是進行加密處理，都是以部分點的特征來概括所有點的特征，屬于以點概面，是基于感性認(rèn)識的歸納概括，沒有理性的演繹推理.

3. 以數(shù)解形：從表達式到圖像的代數(shù)推理

通過基于感性認(rèn)識的歸納概括，學(xué)生已經(jīng)直觀感受到“一次函數(shù)圖像是一條直線”. 但“一次函數(shù)圖像是一條直線”可以證明嗎？之前的常規(guī)方法和加密處理方法解決了部分點從視覺上看在直線上的問題，卻沒有嚴(yán)密地證明這些點一定在同一條直線上. 為了解決此問題，可以對函數(shù)表達式進行研究，實施從函數(shù)表達式到圖像的代數(shù)推理. 現(xiàn)有如下兩個推理方案.

方案1：若已有函數(shù)圖像，先證此函數(shù)圖像上的所有點都在同一條直線上（完備性），再證此直線上所有點都是此函數(shù)圖像上的點（純粹性）.

方案2：若已確定直線，先證此直線上所有點都是函數(shù)圖像上的點（純粹性），再證函數(shù)圖像上所有點都在此直線上（完備性）.

（1）方案1：點共線法

如圖2，設(shè)A，B，C為函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像上任意三點，設(shè)A（x，kx+b），B（x，kx+b），C（x，kx+b），不妨設(shè)x

（長度法）在Rt△AMB中，由勾股定理可得AB==（x-x）. 同理可得BC=（x-x），AC=（x-x）. 所以AB+BC=（x-x）+（x-x）=·（x-x）. 所以AB+BC=AC. 所以A，B，C在同一條直線上.

若再有函數(shù)圖像上的任一點D，同理可證A，B，D也在同一條直線上. 因為A，B兩點確定一條直線，所以A，B，C，D四點在同一條直線上. 依此類推，圖像上的其他點也在這條直線上. 所以，一次函數(shù)圖像上的所有點都在同一條直線上. 又因為一次函數(shù)自變量的取值范圍為一切實數(shù)，所以一次函數(shù)圖像上的所有點在此直線上是連續(xù)的，也就是說，此直線上所有的點都是函數(shù)圖像上的點. 因此，一次函數(shù)圖像是一條直線.

（角度法）由已知可得，AM=x-x，BM=kx-kx=k（x-x），BN=x-x，CN=kx-kx=k（x-x），所以==k. 又∠AMB=∠BNC=90°，所以△AMB∽△BNC. 所以∠BAM=∠CBN. 又∠AMB=90°，∠MBN=90°，所以∠ABM+∠MBN+∠CBN=180°. 所以A，B，C三點在同一條直線上. 以下證明同長度法.

因三角形相似內(nèi)容學(xué)習(xí)在一次函數(shù)學(xué)習(xí)之后，所以此法可用于學(xué)習(xí)相似內(nèi)容之后.

（2）方案2：圖像分析法

以正比例函數(shù)y=kx（k>0）為例，對其圖像進行研究分析. 根據(jù)函數(shù)表達式可得如下三個預(yù)備結(jié)論：①當(dāng)x=0時，y=0，所以函數(shù)圖像一定過原點. ②因為k>0，所以x和y同號，即函數(shù)圖像在第一、三象限. ③若k=1，即表達式是y=x，此時y是x的1倍，圖像上每一個點都滿足這樣的規(guī)律：圖像在第一、三象限，且圖像上每一個點到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，根據(jù)“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”和“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可得，函數(shù)y=x的圖像是第一、三象限的平分線，由此說明函數(shù)y=x的圖像是一條直線. （注：人教版和蘇科版在教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排上已經(jīng)學(xué)習(xí)過角平分線的性質(zhì)和判定）

函數(shù)y=kx（k>0）的圖像是否是一條直線呢？下面以y=kx（k>1）為例，使用方案2進行證明. 由上述預(yù)備結(jié)論③可知，函數(shù)y=x的圖像是第一、三象限的平分線，設(shè)A（m，m）為直線y=x上一點，由題意，點O（0，0），B（m，mk）必定是函數(shù)y=kx（k>1）圖像上的點，作直線OB，設(shè)直線BA交x軸于點M. 設(shè)P（x，x）為直線y=x上任意一點，過點P作PN⊥x軸于點N，直線PN交直線OB于點Q，則點Q的橫坐標(biāo)為x. 若可求得點Q的縱坐標(biāo)為kx，則說明直線OB上的點都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx（純粹性）;倘若還能證明滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx的點都在直線OB上（完備性），這就說明直線OB由滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=kx（k>1）的所有點組成，這就證明了函數(shù)y=kx（k>1）的圖像是一條直線. 現(xiàn)分3種不同的情況證明，如下：

①當(dāng)0 1），且0 1），這與函數(shù)的定義“對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)”相矛盾，所以假設(shè)錯誤. 所以Q′ 不滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=kx.

②當(dāng)x>m時（如圖5），連接AN，AQ，作QH⊥OA交OA于點H，作NG⊥OA于點G. 因為===k-1，==，所以=k-1. 所以==k-1. 又=，所以=k-1. 所以QN-PN=（k-1）PN. 所以QN=kPN，即點Q的縱坐標(biāo)為kx.（完備性證明同上）

③當(dāng)x<0時（如圖6），連接AN，AQ，過點Q作QH⊥OA于點H，過點N作NG⊥OA于點G. 因為=====k-1，==，所以=k-1. 所以==k-1. 所以==k-1. 所以QN-PN=（k-1）PN. 所以QN=kPN，即點Q的縱坐標(biāo)為kx.（完備性證明同上）

根據(jù)以上方法，我們就證明了函數(shù)y=kx（k>1）的圖像是一條直線，函數(shù)y=kx（00）是一條直線.

函數(shù)y=kx+b（k>0）的圖像是否是一條直線呢？可以根據(jù)函數(shù)表達式進行推理：一次函數(shù)y=kx+b（k>0）和正比例函數(shù)y=kx（k>0）相比，對于每一個自變量x的值，一次函數(shù)y=kx+b（k>0）的函數(shù)值都比正比例函數(shù)y=kx（k>0）的函數(shù)值大b（b>0），或者小b（b<0）. 所以只要將正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像向上（b>0）或向下（b<0）平移b個單位長度就得到一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像. 因此，函數(shù)y=kx+b（k>0）的圖像是一條直線.

問題提出及問題解決過程的價

值反思

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑

創(chuàng)新意識是學(xué)生的重要數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，培養(yǎng)創(chuàng)新意識首先要讓學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑. 教學(xué)中，通過畫圖讓學(xué)生直觀感受到“一次函數(shù)圖像是一條直線”，學(xué)生也會產(chǎn)生一些疑問：描出的點是不是真的在一條直線上？沒有描出的點在這條直線上嗎？圖像為什么是直線？如何證明？為什么可以這樣證明？此時應(yīng)大膽鼓勵學(xué)生提出質(zhì)疑，并引導(dǎo)學(xué)生進行思考，嘗試進行數(shù)學(xué)推理. 雖然我們可以選擇不進行推理證明，而選擇讓學(xué)生知道并記住這個結(jié)論，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價值是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，發(fā)展學(xué)生的思維能力. 掌握知識不是最終目的，發(fā)展認(rèn)識力才是數(shù)學(xué)教育最大的目標(biāo).

2. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科特點間尋找平衡

數(shù)學(xué)教學(xué)既要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生“吃得下”，也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，掌握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，讓學(xué)生“吃得好”. “一次函數(shù)的圖像是一條直線”的教學(xué)，既要讓學(xué)生直觀感受，也要引導(dǎo)學(xué)生進行嚴(yán)格的推理證明，從而讓學(xué)生確定無疑地接受這一結(jié)論，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 幾種證明方法，還要注意學(xué)生當(dāng)前的可接受性，教師應(yīng)適時地、根據(jù)不同學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法加以推理證明.

3. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將合情推理和演繹推理完美有機結(jié)合

恩格斯指出：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的. 不應(yīng)當(dāng)犧牲一個而把另一個捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個都用到該用的地方. 而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯(lián)系、它們的相互補充. ”作為數(shù)學(xué)思維活動的兩種基本方式，建立在事實基礎(chǔ)上的歸納概括非常重要，它是發(fā)現(xiàn)結(jié)論;建立在理論基礎(chǔ)之上的演繹推理也不可缺少，它是證明結(jié)論.

八年級學(xué)生的具體形象思維仍然占主導(dǎo)，處于形式運算思維發(fā)展時期，也正是邏輯思維能力、抽象概括能力、符號思維的形成時期. 因此，在一次函數(shù)圖像教學(xué)中，教師更要將歸納和演繹進行有機結(jié)合——歸納先導(dǎo)，演繹跟進. 相信建立在直觀感受前提下的理性論證定能使一次函數(shù)圖像教學(xué)大放異彩，直達數(shù)學(xué)本質(zhì).