高玉珊 凌中華

[摘要]數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.研究數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有重要意義.文章結(jié)合高中數(shù)學(xué)建模案例，對高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探究，對如何設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動提出一些建議.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;線性回歸

[中圖分類號]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020） 35-0004-02

數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)學(xué)建模作為六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，指明數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題，然而目前高中生的數(shù)學(xué)建模能力普遍較低.因此，高中數(shù)學(xué)建模課程的探究是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題，

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐

1.建模問題

教師首先介紹數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識，結(jié)合一些貼近實(shí)際生活的簡單數(shù)學(xué)問題，向?qū)W生講解什么是數(shù)學(xué)模型，及建模的步驟.

問題：常識告訴我們，人的身高越高，體重越重，那么平均來說，身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少呢？表1是2012年全國青少年身高（cm）與體重（kg）的數(shù)據(jù).

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，討論散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的趨勢;

（2）選用一個函數(shù)來近似描述身高與體重的關(guān)系;

（3）預(yù)測身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少呢？

面對這樣一個現(xiàn)實(shí)問題，學(xué)生可能感到無從下手.教師可以根據(jù)解題思路，將問題分解為三個小問題，難度循序漸進(jìn)，便于學(xué)生思考解答，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

2.模型的建立

問題（1）和問題（2）已經(jīng)給出了相對明確的解題方向，教師只要給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生就容易找到問題的突破口，這兩個問題的解答就是模型的建立過程.

問題（1）中給出了13組身高與體重的對應(yīng)數(shù)據(jù)，要研究的是身高和體重之間存在的關(guān)系.因此，解決問題應(yīng)緊緊圍繞這兩組數(shù)據(jù)展開.對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，設(shè)身高為x厘米，體重為y千克，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為二元數(shù)組（xi，yi），i=1，2，…，13，于是可以用描點(diǎn)法在直角坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖（如圖1）.

觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)，身高與體重的散點(diǎn)基本落在一條直線附近，我們可以推測身高和體重的數(shù)據(jù)具有正比例關(guān)系，可以用一次函數(shù)來描述，因此，設(shè)y=ax+b+ε①，其中a，b為未知的常數(shù)，ε=y- ax -b稱為殘差，表示在縱軸方向上的誤差，這就是描述身高和體重的數(shù)學(xué)模型.

3.模型的求解

線性回歸模型的求解過程是本節(jié)課的難點(diǎn)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析清楚問題的本質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)問題，

設(shè)問1：要預(yù)測身高170 cm的人比身高160 cm的人體重大多少，需要求解什么呢？

設(shè)計(jì)該問題的目的是讓學(xué)生明確問題（3）實(shí)際是要將描述身高（x）和體重（y）關(guān)系的一次函數(shù)y=ax+b+ε的系數(shù)a，b確定下來.為此，需要利用二元數(shù)組（xi，yi），i=1，2，…，13來確定a，b的估計(jì)值a，b，進(jìn)而給出回歸方程y=ax+b和回歸直線的概念，

設(shè)問2：過散點(diǎn)附近的直線有無數(shù)條直線，如何選取最佳的回歸直線呢？即如何求出a，b的估計(jì)值a，b？

此問題的設(shè)計(jì)是為了突破本節(jié)課的難點(diǎn)，教師可以列出解決問題的幾個不同方案，讓學(xué)生比較、討論各個方案的優(yōu)劣，從而選出可行的方案，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索出最小二乘法的思想.

5.模型的應(yīng)用

在這個環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生根據(jù)模型和自己的身高，比較模型的預(yù)測體重和真實(shí)體重的誤差，并討論產(chǎn)生誤差的原因，

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的反思

1.數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容和過程的合理安排

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)：學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，從中可以看出，高中數(shù)學(xué)建模目的不在于追求精確的結(jié)果，而在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.因此，數(shù)學(xué)建模課程內(nèi)容的選取應(yīng)該貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活，教學(xué)過程應(yīng)專注于創(chuàng)設(shè)情境，合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并將求解結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，而對于模型的求解，教師可以利用計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行合理的模擬、計(jì)算等，避免課堂上進(jìn)行復(fù)雜的推演、計(jì)算.

2.滲透數(shù)學(xué)史，增強(qiáng)課堂趣味性

高中生的數(shù)學(xué)建模能力普遍較低，數(shù)學(xué)建模過程要求學(xué)生具備模型假設(shè)能力、模型構(gòu)成能力、模型求解能力、模型分析能力、模型檢驗(yàn)?zāi)芰Φ?，這對高中生是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)的活動，因此，會有學(xué)生因畏懼困難而學(xué)習(xí)動力不足，不專心聽課，著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，在教學(xué)過程中，教師結(jié)合所授內(nèi)容，適當(dāng)?shù)匾胂嚓P(guān)的數(shù)學(xué)史，把冰冷的美麗變成火熱的發(fā)明，可以加強(qiáng)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的概念、定理的本質(zhì)，同時可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，例如，在線性回歸的教學(xué)中，可以介紹最小二乘法產(chǎn)生的歷史過程，及英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓（F.Galton）和他的學(xué)生皮爾遜（ K.Pearson）研究父母身高與其子女身高的遺傳問題的歷史，進(jìn)而介紹“回歸”一詞的由來.

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]徐斌艷，Matthias Ludwig。中德學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平的比較分析：以中國上海和德國巴登符騰堡州學(xué)生為例[J].上海教育科研，2008（8）：66-69.

[3]孫翔宇.上海市高中生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查與分析[Jl.教育測量與評價，2016（6）：44-49.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）