李小蘭

[摘要]平行四邊形存在性問題可用通性通法和中點(diǎn)公式的特殊解法求解.每一類數(shù)學(xué)問題都有通法和一些特殊方法，教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于總結(jié)，勤于歸納，做到心中有題，題中有妙法.

[關(guān)鍵詞]平行四邊形;函數(shù);存在性問題;中點(diǎn)公式

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020）35-0024-02

函數(shù)背景下平行四邊形存在性問題是歷年中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)之一，將幾何圖形與函數(shù)相結(jié)合進(jìn)行考查更是一個(gè)熱點(diǎn)問題，如何突破幾何中的重點(diǎn)章節(jié)（平行四邊形）和代數(shù)中的重點(diǎn)知識(shí)（函數(shù)）相結(jié)合的考點(diǎn)，是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，因此，掌握方法，找到突破口，把問題輕松解決，是教師和學(xué)生的急切需要，下面筆者以特殊的平行四邊形——菱形和一般平行四邊形為例討論函數(shù)背景下平行四邊形存在性問題的解法，

一、函數(shù)背景下菱形存在性問題

菱形中已知三個(gè)定點(diǎn)求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的題目難度系數(shù)較低，一般不會(huì)在大題中出現(xiàn)，所以本文只論述兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況.

菱形存在性問題大多是以“兩定兩動(dòng)”為設(shè)問方式，其中“兩定”指的是四邊形四個(gè)頂點(diǎn)，其中有兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的或者是可求解的;“兩動(dòng)”指的是其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在一條直線或者拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)或者該動(dòng)點(diǎn)也在一條直線或者拋物線上，

探究菱形存在性問題的具體方法如下：

（1）根據(jù)題意找出兩個(gè)定點(diǎn);

（2）分情況討論：已知兩個(gè)定點(diǎn)去探究菱形時(shí)，以兩個(gè)定點(diǎn)確定的線段作為要探究的菱形的對(duì)角線或邊長(zhǎng)畫出符合題意的菱形，結(jié)合題于要求找出滿足條件的菱形;

（3）利用菱形的性質(zhì)得出等量或列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，要具體情況具體分析，有時(shí)也可利用直線的解析式聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)或由平移得到點(diǎn)的坐標(biāo)，

現(xiàn)列舉幾例加以說明.

[案例1]點(diǎn)A和點(diǎn)B為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是直線Z上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，畫出滿足題意的菱形，

方法：要畫出滿足題意的所有菱形，可以轉(zhuǎn)化為畫等腰三角形，

如圖1，以AB為菱形的邊時(shí)，以B為圓心、AB為半徑畫圓，

如圖2，以AB為菱形的邊時(shí)，以A為圓心、AB為半徑畫圓.

如圖3，以AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，畫AB的垂直平分線.

[案例2]如圖4，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Ⅳ坐標(biāo);若不存在，說明理由，

二求點(diǎn)，根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，比如勾股定理、平移、作相似三角形等?/p>

在作圖過程中，分類討論有助于學(xué)生厘清思路，不重不漏地把圖形準(zhǔn)確地畫出來，解決了作圖這個(gè)難點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)方法比較開放，學(xué)生會(huì)選擇合適的方法求之，

二、平行四邊形存在性問題

平行四邊形中也存在兩種問題，一是“三定一動(dòng)”，即已知三個(gè)定點(diǎn)求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)問題，這種情況只要用三定點(diǎn)作出三角形，并以三角形的三邊分別為對(duì)角線作出三個(gè)平行四邊形即可求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，本文只重點(diǎn)討論“兩定兩動(dòng)”的情況，

前面討論的菱形也屬于平行四邊形，所以菱形的方法在平行四邊形中同樣適用，這是通性通法，下面主要討論平行四邊形的特殊解法.

[案例3]如圖8，拋物線經(jīng)過A（-5，0），B（一1，0），C（0，5）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為們，連接AC，BC，拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸交點(diǎn)為D，與AC交點(diǎn)為E，

（1）設(shè)點(diǎn)C'是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)A，B，C'，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)C'的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由;

解題思路：如圖9至圖11，“三定一動(dòng)”的問題，只要以BC、AC、AB分別為對(duì)角線作平行四邊形，再通過平移的方法求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

（2）設(shè)點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)S是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Ⅳ，使得以A，E，N，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由，

解題思路：①以AE為平行四邊形的邊，根據(jù)“兩動(dòng)”限制的條件作出NS的三種情況（如圖12）.結(jié)合圖形過Ⅳ作NT ⊥x軸，由平行四邊形性質(zhì)得到△SNT≌△AED，從而得到NT= ED=2，即可得到點(diǎn)Ⅳ的坐標(biāo);

②以AE為平行四邊形的對(duì)角線只有圖13 一種情況，由平行四邊形的性質(zhì)可知NE//AS，可得出N與E的縱坐標(biāo)相同，即可求出點(diǎn)Ⅳ的坐標(biāo).

這種解法類同于前面菱形的解法，都是用分類討論的方法作圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鳇c(diǎn)的坐標(biāo)，既然在坐標(biāo)系中解題，我們可以設(shè)法用中點(diǎn)公式來解決，

評(píng)析：對(duì)于平行四邊形的存在性問題，本題用了兩種方法去解決，即通性通法和中點(diǎn)公式法，所用的通性通法與菱形的解題方法一樣分兩步走，一是畫圖，二是求點(diǎn)的坐標(biāo);利用中點(diǎn)公式的特殊解法是通過中點(diǎn)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，這種方法必須先設(shè)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)具有共性，便直接利用公式求點(diǎn)，而菱形利用中點(diǎn)公式求點(diǎn)坐標(biāo)卻比較麻煩，因?yàn)榱庑蔚奶厥庑裕恳环N情況的圖形中的坐標(biāo)不一致，所以利用中點(diǎn)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)必須分情況計(jì)算，有時(shí)利用通性通法更簡(jiǎn)便，

當(dāng)然，任何一種固定的解法都不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維，但每一類數(shù)學(xué)問題都有通性通法和一些特殊方法，我們應(yīng)善于總結(jié)，勤于歸納，做到心中有題，題中有妙法.

（責(zé)任編輯 陳昕）