混凝土骨料隨機(jī)分布的分形研究及其對(duì)破壞特性的影響

任青文殷亞娟沈 雷

（1. 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098；2. 河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098）

1 研究背景

混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€是其力學(xué)性能全面的宏觀反應(yīng)，也是混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及數(shù)值仿真的基礎(chǔ)[1]。然而，由于混凝土是一種由水泥砂漿、骨料及其他各類摻和料組成的多相復(fù)合材料，即使是同一標(biāo)號(hào)、同一級(jí)配的混凝土，相同的養(yǎng)護(hù)條件和齡期，最終得到的混凝土材料力學(xué)特性還是具有一定的離散性，尤其是其非彈性階段破壞特性的離散性更為明顯，其損傷破壞形態(tài)也呈現(xiàn)出很大的隨機(jī)性。這不利于混凝土性能的研究和損傷破壞的控制。因此，對(duì)混凝土強(qiáng)度及應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段離散性以及最終損傷破壞形態(tài)的隨機(jī)性規(guī)律進(jìn)行研究具有重要的科學(xué)和實(shí)用意義。

本質(zhì)上，混凝土的宏觀力學(xué)性能與其細(xì)觀結(jié)構(gòu)密切關(guān)聯(lián)，混凝土的宏觀破壞特性的離散性源于其內(nèi)部組成的非均質(zhì)性。因此，混凝土中骨料的含量、形狀、空間分布、初始缺陷等都是導(dǎo)致混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線離散、破壞形態(tài)隨機(jī)的原因。研究表明，同樣配比的混凝土試件，不同的骨料隨機(jī)分布，其線彈性力學(xué)特性相當(dāng)一致，但反映其破壞特性的峰值強(qiáng)度和下降段曲線不同，裂紋形態(tài)各異[1]。Unger等[2]指出造成混凝土材料隨機(jī)非均勻性的最重要因素是骨料的空間分布形式。李杰等[3-4]構(gòu)建了混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)理論體系，給出了混凝土在單軸受壓時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€的均值與均方差。Wang等[5]通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，骨料不同的空間分布會(huì)對(duì)混凝土在外荷載作用下產(chǎn)生的初始微裂紋及后續(xù)宏觀裂紋的位置（即裂紋擴(kuò)散路徑）產(chǎn)生一定的影響，進(jìn)而使得混凝土宏觀強(qiáng)度和下降段軟化曲線存在一定的差異。Kim等[6]研究表明，微裂紋的分布完全依賴于骨料分布。杜修力等[1]發(fā)現(xiàn)不同骨料分布形式下的混凝土壓縮強(qiáng)度和軟化曲線均服從雙參數(shù)Weibull分布，且軟化段上應(yīng)力值的離散性比峰值點(diǎn)應(yīng)力的離散性大。

上述研究工作提高了人們對(duì)混凝土強(qiáng)度及軟化段曲線隨機(jī)性和離散性的認(rèn)識(shí)，但局限于從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度對(duì)強(qiáng)度及軟化曲線進(jìn)行研究，缺乏對(duì)骨料分布形態(tài)的量化表征。實(shí)際上，骨料分布具有很大的隨機(jī)性，難以簡(jiǎn)單地用概率分布進(jìn)行表征。此外，混凝土結(jié)構(gòu)在外荷載作用下?lián)p傷裂紋擴(kuò)展形態(tài)不規(guī)則，且分布具有隨機(jī)性，對(duì)其量化評(píng)價(jià)也一直是棘手問題。所以，骨料分布對(duì)混凝土破壞性能及其破壞形態(tài)的影響，需要引入新的方法進(jìn)行深入研究。分形以及多重分形理論和方法[7]是近年來興起的專門研究不規(guī)則問題的有效方法，能夠?qū)Σ灰?guī)則圖形進(jìn)行表征和量化[8-12]。

本文采用數(shù)值模擬方法，對(duì)單軸拉伸混凝土試件進(jìn)行研究，建立細(xì)觀混凝土力學(xué)模型，模擬36組不同骨料分布形態(tài)下混凝土試件的單軸拉伸宏觀力學(xué)性質(zhì)及破壞形態(tài)，進(jìn)而基于分形理論和方法，對(duì)骨料分布以及損傷破壞的裂紋分布形態(tài)進(jìn)行量化，從而對(duì)骨料分布形態(tài)、混凝土峰值強(qiáng)度、脆性以及損傷破壞形態(tài)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，以期揭示骨料分布形態(tài)對(duì)混凝土破壞性能和損傷破壞形態(tài)的影響規(guī)律和機(jī)制。

2 分形理論與方法

2.1 盒維數(shù)分形幾何是由法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot于1970年代提出并發(fā)展起的一門新的數(shù)學(xué)科學(xué)[13]。它以自然界不規(guī)則以及雜亂無章現(xiàn)象為研究對(duì)象，其產(chǎn)生后很快被用于材料的微細(xì)觀結(jié)構(gòu)及其受力變形特性研究[14-16]。分形維數(shù)是分形理論核心內(nèi)容之一，是一種度量復(fù)雜形態(tài)的方法。在多種計(jì)算分形維數(shù)的方法中，盒維數(shù)法定義直觀，計(jì)算簡(jiǎn)便，應(yīng)用廣泛，能夠有效地計(jì)算圖形的分形維，其計(jì)算公式如下：

式中：D為所求骨料分布的盒維數(shù)；L為正方形盒子的邊長(zhǎng)，以1 2k變化（k=0，1，2，…）；N(L)為用邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的盒子去覆蓋整體骨料分布所需要的盒子數(shù)。

通過不斷改變盒子尺寸來改變覆蓋圖形的盒子總數(shù)，得到一系列繪制關(guān)系曲線。如果曲線滿足線性關(guān)系，則證明圖形具有自相似性，其斜率便是該分形圖像的盒維數(shù)，可以利用分形幾何理論來研究。

2.2 多重分形維多重分形通過用一個(gè)譜函數(shù)來描述分形體不同層次的生長(zhǎng)特征，從系統(tǒng)的局部出發(fā)研究其最終的整體特征[17]。多重分形又稱為多重分形測(cè)度，是定義在分形上的多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測(cè)度所組成的集合[18]。盒維數(shù)法僅統(tǒng)計(jì)存在像素點(diǎn)的盒子個(gè)數(shù)，不能統(tǒng)計(jì)盒子中所包含的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)。因此，盒維數(shù)法計(jì)算得到分形維數(shù)只能對(duì)整體的分形特征進(jìn)行表述，而無法描述分形體的局部分形特征。多重分形考慮盒子內(nèi)像素或其他物理量的差距，通過歸一化分析獲得一個(gè)概率分布集，再計(jì)算得到多重分形譜，從而揭示結(jié)構(gòu)局部的細(xì)節(jié)信息，這一方法得到了廣泛應(yīng)用[19-22]。

多重分形描述的是分形幾何體在生長(zhǎng)過程中不同的層次和特征。把研究的對(duì)象劃分為N個(gè)小區(qū)域，設(shè)第i個(gè)小區(qū)域線度大小為εi，Pi為該小區(qū)域測(cè)度（例如概率或質(zhì)量），且對(duì)不同的小區(qū)域Pi也不同，可用不同的標(biāo)度指數(shù)αi來表征，即[17-18]：

其中，αi簡(jiǎn)稱為Ho?lder指數(shù)，由于它控制著概率密度的奇異性，故也稱奇異性指數(shù)。

若線度大小趨于零，則式（2）可變?yōu)椋?/p>

從式（3）可以發(fā)現(xiàn)，α是表征分形體某小區(qū)域的分維，稱為局部分維，其值大小與所在的區(qū)域有關(guān)，反映了該區(qū)域概率的大小。若在研究對(duì)象上的測(cè)度是均勻的，則指數(shù)只有一個(gè)值。

得到Ho?lder指數(shù)α后，將在分形上具有相同α值的小盒子的數(shù)目記為Nα(ε)，它是與ε大小有關(guān)的，并寫成：

由此可得出：

與分形維數(shù)的定義相比發(fā)現(xiàn)，f(α)的物理意義是具有相同α值的子集的分形維數(shù)，稱為多重分形譜。一個(gè)復(fù)雜的分形體，它的內(nèi)部可以分為一系列不同α～f(α)值所表示的子集，f(α)就給出了這一系列子集的分形特征。

3 數(shù)值模擬方法

本文采用細(xì)觀力學(xué)方法，模擬36組不同骨料分布的混凝土試件，通過單軸拉伸的有限元模擬，得到混凝土試件的應(yīng)力應(yīng)變曲線和開裂破壞形態(tài)。

3.1 混凝土塑性損傷（CDP）模型有限元分析中，混凝土采用CDP模型。該模型能夠模擬水泥基材料的拉伸開裂和壓縮碎裂現(xiàn)象[23-24]，以及混凝土動(dòng)力加載和循環(huán)加載力學(xué)行為。單軸應(yīng)力狀態(tài)下，CDP模型應(yīng)力應(yīng)變曲線考慮了損傷引起的等效塑性應(yīng)變（包含拉伸等效塑性應(yīng)變和壓縮等效塑性應(yīng)變）。依據(jù)試驗(yàn)，模型假定單軸加載時(shí)拉伸損傷因子dt與壓縮損傷因子dc分別隨拉伸等效塑

性應(yīng)變和壓縮等效塑性應(yīng)變?cè)黾佣黾覽25]。則由損傷因子控制的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

式中：下標(biāo)t和c分別表示拉伸和壓縮；E0為初始彈性模量；σ為應(yīng)力。

圖1為CDP模型單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。多軸應(yīng)力狀態(tài)由單軸應(yīng)力狀態(tài)值拓展得到。關(guān)于該本構(gòu)模型的詳細(xì)描述，可參考Lubliner等[26]和Lee等[27]的相關(guān)文獻(xiàn)。

圖1 CDP模型單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線

圖2 混凝土細(xì)觀力學(xué)模型

3.2 混凝土細(xì)觀模型及參數(shù)采用基于Monte Carlo方法的二維隨機(jī)骨料投放程序[28]生成細(xì)觀混凝土試件36組，試件統(tǒng)一邊長(zhǎng)為150 mm×150 mm，骨料含量為45%，粒徑范圍為5～40 mm。含界面過渡區(qū)（ITZ）的二維混凝土三相復(fù)合材料數(shù)值模型如圖2。

Scrivener等[29]指出，ITZ厚度約為40 μm，但考慮到計(jì)算工作量，本文中ITZ厚度取100 μm。在混凝土細(xì)觀研究中，ITZ的材料參數(shù)非常重要，但目前該參數(shù)較難由試驗(yàn)測(cè)得。通常認(rèn)為ITZ的力學(xué)性能與水泥砂漿類似，略小于水泥砂漿[6，29-30]。

表1 各組分的計(jì)算參數(shù)

本文計(jì)算參數(shù)見表1，水泥砂漿和ITZ力學(xué)本構(gòu)模型均使用CDP模型。相比于砂漿基質(zhì)及界面區(qū)，骨料具有較大的拉/壓強(qiáng)度，對(duì)于靜態(tài)和低速動(dòng)態(tài)加載的情況，裂紋往往繞過強(qiáng)度較大的骨料顆粒[31-32]而從界面及砂漿中穿過。因而可假定骨料為線彈性體[6，30，33]。為了避免網(wǎng)格效應(yīng)，拉伸應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€的下降段，將采用應(yīng)力-位移曲線表示。

對(duì)混凝土細(xì)觀數(shù)值模型進(jìn)行位移加載，固定模型左端邊界，在右端邊界施加均布位移載荷，選擇顯式分析模塊ABAQUS/Explicit進(jìn)行分析求解，當(dāng)拉伸應(yīng)變達(dá)到600 με時(shí)停止計(jì)算，共分為200個(gè)加載步。計(jì)算中以四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力四邊形（CPS4R）單元剖分網(wǎng)格。單元的最長(zhǎng)邊和最短邊比值不得大于50，所以當(dāng)界面厚度（100 μm）確定后，其界面單元的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)不得超過5 mm，同時(shí)要求與界面相連的砂漿與骨料的網(wǎng)格單元邊長(zhǎng)均控制在此尺寸內(nèi)，每組模型大約8000個(gè)單元。采用細(xì)觀力學(xué)的均勻化方法獲得36組混凝土試件單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€。

3.3 基于細(xì)觀混凝土模型的單軸拉伸數(shù)值試驗(yàn)混凝土細(xì)觀數(shù)值模型單軸拉伸計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 36組混凝土數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果

計(jì)算結(jié)果表明，混凝土單軸拉伸破壞時(shí)，微裂紋起始于骨料顆粒與砂漿基質(zhì)之間力學(xué)性能相對(duì)薄弱的界面過渡區(qū)，并在擴(kuò)展過程中繞過強(qiáng)度相對(duì)較高的骨料顆粒穿過砂漿，最終產(chǎn)生一條垂直于拉伸方向的主裂紋。隨著骨料分布的不同，最終的裂紋分布也不同，但大體上，裂紋主要沿著大骨料界面擴(kuò)展，隨大骨料位置的變化而變化。因?yàn)榱鸭y擴(kuò)展會(huì)以最小的耗能方式進(jìn)行[34]，而大骨料與砂漿之間的黏結(jié)面是最薄弱的地方，所以裂紋會(huì)沿大骨料周邊擴(kuò)展。

采用細(xì)觀力學(xué)的均勻化方法獲得36組混凝土試件單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€，參見圖4（a）。從圖4（a）可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的骨料分布，雖然應(yīng)力-應(yīng)變曲線大體相似，但仍有些許不同。在峰值點(diǎn)前，36組試件的線性段基本重合，一致性非常好，說明骨料分布形式對(duì)混凝土彈性階段的宏觀力學(xué)特性影響很小。而非線性段靠近峰值點(diǎn)處離散性較明顯，峰值點(diǎn)有所差別。峰值點(diǎn)后，軟化段曲線接近平行，但具有較大的離散性，其離散程度大于峰值點(diǎn)的離散，說明骨料分布對(duì)混凝土的峰值強(qiáng)度和應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段的影響明顯。

圖4 36組應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€和峰值應(yīng)力頻率分布

36組骨料隨機(jī)分布的混凝土試件相當(dāng)于現(xiàn)實(shí)試驗(yàn)中一組（36個(gè)）標(biāo)準(zhǔn)試件的宏觀力學(xué)性能的隨機(jī)分布，因此，對(duì)36組試件峰值應(yīng)力（拉伸強(qiáng)度）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將峰值應(yīng)力劃分8個(gè)區(qū)間，繪制其頻率分布直方圖見圖4（b）。從圖4（b）可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)分布形態(tài)大致服從Weibull分布，與文獻(xiàn)[1]的研究一致。

4 骨料分布對(duì)混凝土力學(xué)行為的影響

4.1 骨料分布的分形表征

4.1.1骨料分布的盒維數(shù) 利用盒維數(shù)法計(jì)算骨料分布的分形值。對(duì)每個(gè)樣本的骨料圖像進(jìn)行黑白二值化處理，取邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形小盒子覆蓋骨料分布圖，將無骨料顆粒占據(jù)的空的小盒子標(biāo)記為0，有骨料顆粒占據(jù)的非空小盒子標(biāo)記為1，統(tǒng)計(jì)所有為1的小盒子個(gè)數(shù)為N(L)，然后通過不斷改變盒子尺寸來改變覆蓋圖形的盒子總數(shù)，得到一系列(L，N(L))，繪制lgN(L)-lg(1L)關(guān)系曲線，其斜率便是該分形圖像的盒維數(shù)。依次計(jì)算并繪制每一組骨料分布的lg N(L)-lg(1L)關(guān)系曲線，最終得到36組混凝土試件的骨料分布的盒維數(shù)（圖5）。從圖5可以發(fā)現(xiàn)，36條擬合直線重合，斜率為1.86，擬合度（R2）均達(dá)到0.99。由此可知，僅骨料分布不同的情況下，36組骨料分布的盒維數(shù)基本一致，分形值為1.86。這是因?yàn)?6組混凝土試件在保持試件尺寸，骨料含量和骨料形狀一致的情況下，骨料所占有的空間（這里是面積）有效性一致，在整體上，其骨料不規(guī)則分布一致，致使不同試件混凝土的線彈性力學(xué)特性一致。但是，一旦發(fā)生開裂破壞，開裂通道最容易沿著相對(duì)薄弱、可能存在初始微裂紋的骨料與砂漿界面形成（表1中界面的強(qiáng)度最?。?/p>

從圖3可知，由于不同試件內(nèi)大小骨料分布形態(tài)的變化，骨料之間的開裂通道發(fā)生了變化。大骨料與大骨料相鄰，則通道稀疏；而大骨料與小骨料相鄰，則通道密集；使得裂紋擴(kuò)展路徑以及最后的裂紋分布形態(tài)的不同。可見，雖然骨料不規(guī)則分布整體上具有一致性，但是具體細(xì)節(jié)存在差異，因而難以采用單分形的方法進(jìn)行研究，需要引入多重分形維來進(jìn)一步放大分形體的局部的細(xì)節(jié)分形特征。

圖5 36組骨料分布盒維數(shù)分形維

4.1.2骨料分布的多重分形譜 多重分形譜的計(jì)算首先應(yīng)統(tǒng)計(jì)物理量在相應(yīng)分形結(jié)構(gòu)上的概率測(cè)度分布。本文用盒計(jì)數(shù)法進(jìn)行概率測(cè)度的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算。將處理后的骨料分布圖像轉(zhuǎn)換成數(shù)據(jù)文件，有像素點(diǎn)處用1表示，無像素點(diǎn)處用0表示。用盒維數(shù)法求概率分布，以尺寸為ε×ε（ε 1；設(shè)整個(gè)圖形尺寸為1×1）大小的正方盒子覆蓋在骨料圖像上，ε以1/2k變化（k=0，1，2，…），包含骨料的盒子數(shù)量記為N(ε) 。求出對(duì)應(yīng)于整幅骨料分布圖的全體骨料像素點(diǎn)的數(shù)目總和S，對(duì)于每一個(gè)確定的圖，S是一個(gè)常數(shù)。在每個(gè)小正方形盒子ε×ε區(qū)域內(nèi)，定義包含在此區(qū)域內(nèi)的骨料像素點(diǎn)的數(shù)目總和為Si(ε)，i=1，2，…，它依賴于劃分尺寸ε以及i，從而得到每個(gè)小正方形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的概率測(cè)度Pi(ε)：

式中：Si(ε)為第i個(gè)盒子中所含骨料像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)；S為骨料分布圖中全體骨料像素點(diǎn)總和。

其次，為了顯示概率測(cè)度Pi(ε)的作用，定義q階矩下的配分函數(shù)χq(ε)為：

其中，q為權(quán)重因子，不同的q表示不同大小的概率測(cè)度Pi(ε)在配分函數(shù)χq(ε)中所具的比重。

圖6 試件1骨料分布的多重分形譜

以試件1骨料分布為例，給出了多重分形譜計(jì)算結(jié)果如圖6所示。由圖6（a）可知，在q -1時(shí)，lg χq(ε)-lg(ε)基本上為直線，滿足標(biāo)度不變性，并且標(biāo)度不變性的范圍達(dá)到3個(gè)數(shù)量級(jí)，適合用多重分形譜理論進(jìn)行分析；q ＜-1時(shí)，曲線分為兩段，ε大的區(qū)域（Ⅰ區(qū)）斜率絕對(duì)值大，ε小的區(qū)域（Ⅱ區(qū)）斜率絕對(duì)值小。可見不是在所有ε范圍內(nèi)都滿足標(biāo)度不變性。這種異常現(xiàn)象的出現(xiàn)與小概率呈現(xiàn)異常的漲落有關(guān)[35]。局部解決異常部分的一個(gè)辦法是忽略一部分很小的Pi(ε)，即認(rèn)為它們是實(shí)際圖形中的誤差。本文借鑒文獻(xiàn)[35]，忽略掉的Pi(ε)所包含的像素總數(shù)應(yīng)小于原圖形總像素的2%，從而保證修正后的圖形不會(huì)失真。

如果τ(q)與q之間存在著非線性關(guān)系，則說明對(duì)象具有多重分形性；如果τ(q)是q的線性函數(shù)，則說明對(duì)象是單分形。由圖6（b）可知，質(zhì)量指數(shù)函數(shù)τ(q)是一個(gè)上凸的函數(shù)，即τ(q)與q之間存在著非線性關(guān)系，表明骨料分布的確具有多重分形特征。

最后，對(duì)q和τ(q)作勒讓德變換可得：

式中：α(q)和f(α)為q階矩下的譜參數(shù)。

由此即可得到骨料分布結(jié)構(gòu)圖的多重分形譜α-f(α)。如果研究對(duì)象是單一分形，則f (α)為一定值；如果研究對(duì)象是多重分形的，則f (α)一般呈現(xiàn)單峰圖像。圖6（c）是α(q)隨q值的變化曲線，表明α(q)是q的遞減函數(shù)，且α(q)曲線的兩端呈平緩變化趨勢(shì)。理論上，q的取值范圍越大越好，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，q不是越大越好，當(dāng)其值增大對(duì)計(jì)算結(jié)果已經(jīng)沒有顯著影響時(shí)，q的范圍就可以截止。本文汲取前人的研究經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)α(q)的隨著q值變化的改變率小于0.2%時(shí)[22]，認(rèn)為譜寬基本穩(wěn)定，進(jìn)而確定q的取值范圍。經(jīng)過試算，36組試件的骨料分布的多重分形譜的q范圍均介于[-5，5]。

圖6（d）給出了多重分形譜f(α)-α關(guān)系圖。由6（d）可以發(fā)現(xiàn)，f(α)是α的單峰凸函數(shù)，在q ＞0部分單調(diào)遞增，在q ＜0部分單調(diào)遞減，當(dāng)q=0時(shí)，f(α(q=0))取得最大值，再次說明了骨料分布具有多重分形特征。

多重分形譜f(α)-α(q)中，f(α)的物理意義是對(duì)分形結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜程度的一種量度，而不同

的奇異性指數(shù)α則反映了不同概率測(cè)度子集的性質(zhì)。多重分形譜的寬度Δα=αmax-αmin定量地表征了分形體內(nèi)最大概率子集和最小概率子集的對(duì)比關(guān)系，即分形體內(nèi)部的差異性程度及變化范圍。多重分形譜越寬，即Δα越大，說明分形子集內(nèi)部奇異性越強(qiáng)，差異越顯著，各子集概率的兩極化趨勢(shì)越明顯。當(dāng)用于描述骨料分布時(shí)，則表示骨料空間分布由均勻變?yōu)榉蔷鶆虻内厔?shì)越明顯?？梢姡嘀胤中巫V的寬度Δα可以定量表征分形體內(nèi)部的差異性，非均勻性和各子集分布的兩極化特征。譜寬Δα敏感性較好，常用于金融時(shí)間序列的多重分形譜分析[36]。本文利用譜寬Δα表征骨料分布（圖7），譜寬Δα越大，骨料分布差異性越大，即骨料分布越不規(guī)則；譜寬Δα越小，骨料分布差異性越小，即骨料分布越均勻。從圖7可見，在q值范圍一樣的情況下，36個(gè)試件的譜寬Δα各不相同。其中，Δα的最小值為2.4227，Δα的最大值為3.1817?？梢岳米V寬Δα來表征骨料分布，凸顯了多重分形放大細(xì)節(jié)的作用。

圖7 36組骨料分布的多重分形譜

4.2 骨料分布對(duì)混凝土破壞特性的影響混凝土的破壞特性主要表現(xiàn)在峰值強(qiáng)度、脆性和裂紋形態(tài)三個(gè)方面。

4.2.1骨料分布對(duì)峰值強(qiáng)度的影響 利用上述方法計(jì)算得到了36組試件的多重分形譜，以及相應(yīng)的譜寬Δα，然后對(duì)其與拉伸峰值應(yīng)力的關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析（圖8）。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，峰值應(yīng)力隨著骨料分布譜寬Δα的增大而減小，且相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.93，屬于高度相關(guān)（表2）。圖8中綠色點(diǎn)是試件計(jì)算值，紅色點(diǎn)是綠色點(diǎn)在x軸等間距區(qū)間上求得的y軸統(tǒng)計(jì)平均值，紅色實(shí)線根據(jù)紅色點(diǎn)線性擬合得到，圖8說明，骨料分布越均勻，強(qiáng)度越高。根據(jù)Weibull提出的統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，材料強(qiáng)度由其最弱環(huán)的強(qiáng)度決定，最弱環(huán)一旦破壞，就會(huì)引發(fā)整個(gè)鏈條發(fā)生連鎖反應(yīng)式的破壞[37]。

例如，對(duì)于受拉的混凝土試件，其任意截面i-i都有（厚度默認(rèn)為1）：

圖8 譜寬Δα 與峰值應(yīng)力關(guān)系

表2 骨料分布譜寬Δα 與峰值應(yīng)力f0，脆性B1，以及裂紋盒維數(shù)D的相關(guān)系數(shù)

4.2.2骨料分布對(duì)混凝土脆性的影響 混凝土的峰后應(yīng)力-應(yīng)變軟化段曲線的形態(tài)一直是人們定性了解混凝土脆性程度的主要方法，如果峰后強(qiáng)度迅速降至某一很小的值說明混凝土脆性程度大，如果峰后強(qiáng)度降低很慢說明混凝土脆性程度小。為了研究應(yīng)力-應(yīng)變軟化段曲線的離散性，本文提出建立在應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后應(yīng)力下降幅度和絕對(duì)速率基礎(chǔ)上的脆性指標(biāo)B1。如圖9所示，A為峰值點(diǎn)，B為最終的殘余強(qiáng)度。

對(duì)B1取lg值并除以10，將其轉(zhuǎn)化為0～1變化范圍的數(shù)值，B1值越大，說明混凝土脆性越大。

由圖10可知，混凝土試件的脆性隨著譜Δα的增大而減小，相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.72，屬于顯著相關(guān)（表2）。說明骨料分布越均勻，脆性越大。

圖9 脆性指標(biāo)

圖10 譜寬Δα 與脆性關(guān)系

4.2.3骨料分布對(duì)裂紋形態(tài)的影響 從最后的計(jì)算結(jié)果圖3中提取出最終破壞時(shí)的裂紋分布形態(tài)，圖11顯示了試件1骨料分布及相應(yīng)的裂紋形態(tài)。

圖11 “試件1”骨料分布和裂紋形態(tài)

利用盒維數(shù)法分析圖11中裂紋的分形維，圖12給出了試件1的裂紋分布的lgN(L)-lg(1L)關(guān)系曲線，發(fā)現(xiàn)曲線滿足線性關(guān)系，擬合度R2近似為1，表明圖11中裂紋分布具有自相似性。因此，可以利用盒維數(shù)來表征和區(qū)分裂紋分布形態(tài)。

圖12 “試件1”的裂紋分布的盒維數(shù)

圖13 譜寬Δα 與裂紋盒維數(shù)關(guān)系

表3 36組混凝土試件的裂紋盒維數(shù)

圖3中36組混凝土試件由于骨料分布的不同，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展路徑及其最終的裂紋分布形態(tài)各不相同，相應(yīng)的盒維數(shù)也不同，36組混凝土試件的裂紋盒維數(shù)見表3。盒維數(shù)越大，說明裂紋擴(kuò)展路徑越曲折復(fù)雜，最終裂紋分布形態(tài)越不規(guī)則。

裂紋分布盒維數(shù)與骨料分布譜寬Δα的關(guān)系見圖13，發(fā)現(xiàn)裂紋分布盒維數(shù)隨著骨料分布譜寬Δα的增大而增大，相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.84（表2），屬于顯著相關(guān)，說明骨料分布越均勻，裂紋分布越規(guī)則。

在譜寬Δα越大時(shí)，骨料分布越不規(guī)則，結(jié)構(gòu)面骨料分布差異性大；而骨料稠密處，有大骨料（相當(dāng)于一個(gè)高稠密區(qū)）和小骨料密集，使得局部破壞路徑增加，試件整體性降低，破壞更易發(fā)展，峰值應(yīng)力較小，峰值點(diǎn)前儲(chǔ)存的能量相對(duì)較少；峰值點(diǎn)后釋放能量階段，較少的能量釋放，較多的耗散途徑（局部路徑多），使得裂紋沿著更多的路徑擴(kuò)展，因而脆性相對(duì)越小，裂紋擴(kuò)展徑路曲折，從而最終的裂紋分布形態(tài)越不規(guī)則，裂紋盒維數(shù)越大。

5 結(jié)論

混凝土的破壞特性，包括峰值強(qiáng)度、軟化段曲線以及裂紋分布形態(tài)具有隨機(jī)性和離散性。本文采用細(xì)觀力學(xué)方法，建立了36組具有不同骨料分布的混凝土隨機(jī)骨料模型，通過有限元分析獲得了36條單軸拉伸作用下的混凝土宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線和36組裂紋破壞開裂圖。分別以多重分形譜譜寬和盒維數(shù)表征骨料分布和裂紋分布，統(tǒng)計(jì)分析了骨料分布與拉伸強(qiáng)度，軟化段曲線和裂紋分布的相關(guān)關(guān)系，得出如下結(jié)論：（1）多重分形譜譜寬可以有效地表征骨料分布，而盒維數(shù)對(duì)裂紋分布可以進(jìn)行很好的量化，且多重分形譜較盒維數(shù)可以更好地提取局部細(xì)節(jié)特征，為骨料和裂紋分布的量化研究提供了一種新的方法；（2）骨料分布多重分形譜譜寬與拉伸峰值強(qiáng)度和脆性呈反相關(guān)關(guān)系，與裂紋分布盒維數(shù)成正相關(guān)關(guān)系；（3）骨料分布多重分形譜譜寬越小，即骨料分布越均勻時(shí)，峰值應(yīng)力越大，脆性越明顯，裂紋擴(kuò)展越規(guī)則，裂紋分布盒維數(shù)越小。

由此可見，骨料分布對(duì)混凝土破壞特性具有重要影響。本文的研究不僅揭示了骨料分布對(duì)混凝土破壞特性和破壞形態(tài)的影響規(guī)律，也為混凝土攪拌的均勻性要求和開裂控制提供了科學(xué)依據(jù)。