雙曲線(xiàn)的重要性質(zhì)及應(yīng)用

◇ 陜西 魏文宏

圖1

1 結(jié)合對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用

例1已知F1,F2是雙曲線(xiàn)的左、右兩焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則a的值為_(kāi)_______.

解析

如圖2所示,P與F2關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),連接PF2與直線(xiàn)交于點(diǎn)M,由性質(zhì)有|OM|＝a,|F2M|＝b＝1,|PF2|＝2b＝2,由OM為△PF1F2的中位線(xiàn)知|PF1|＝2a,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義有2－2a＝2a,解得.

圖2

例2已知F1,F2是雙曲線(xiàn)b＞0)的左、右兩焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)左支上存在一點(diǎn)P與F2關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______.

解析

設(shè)P與F2關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),連接PF2與直線(xiàn)交于點(diǎn)M,根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)有|OM|＝a,|F2M|＝b,|PF2|＝2b,由OM為△PF1F2的中位線(xiàn)可知|PF1|＝2a,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義有2b－2a＝2a,解得則離心率e＝.

例3過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為A,與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B,點(diǎn)Q是圓x2＋y2＝a2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若的最大值為6,則雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)_______.

解析

圖3

例4已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F,A是雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn),雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)且FP⊥AM,則雙曲線(xiàn)C的離心率為( ).

解析

如圖4所示,由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知,FP⊥OP,|FP|＝b,|OP|＝a,|OF|＝c.又因?yàn)榍褾P⊥AM,所以AM垂直平分FP,AM為△OPF的中位線(xiàn),所以

圖4

例5已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1作圓x2＋y2＝a2的切線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支與點(diǎn)M,若則雙曲線(xiàn)的離心率為( ).

解析

如圖5所示,由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)知,F1P⊥OP.|F1P|＝b,|OP|＝a,|OF1|＝c.作F2Q⊥F1M于Q,則

圖5

|QM|＝|F2Q|＝2a,,由雙曲線(xiàn)的定義知,|MF1|－|MF2|＝2a,即2b＋,故選B.

2 在高考中的應(yīng)用

例6(2019年全國(guó)卷Ⅰ理16)已知雙曲線(xiàn)C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線(xiàn)與C的_兩條漸近線(xiàn)分別交于A,B兩點(diǎn).若則C的離心率為_(kāi)____.

解析

圖6

例7(2018年天津卷理7)已知雙曲線(xiàn)1(a＞0,b＞0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線(xiàn)同一條漸近線(xiàn)的距離分別為d1和d2,且d1＋d2＝6,則雙曲線(xiàn)的方程為( ).

解析

如圖7所示,由d1＋d2＝6,得雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為3,所以b＝3.因?yàn)殡p曲線(xiàn)(a＞0,b＞0)的離心率為2,所以所以,解得a2＝3,所以雙曲線(xiàn)的方程為故選C.

圖7

例8(2018年全國(guó)卷Ⅲ理11)設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為P.若則C的離心率為( ).

圖8

解析

如圖8所示,由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)知|OP|＝a,|F2P|＝b,在Rt△F2PO中,|F2O|＝c,|OP|＝a,所以c,所以在△F1PO與Rt△F2PO中,根據(jù)余弦定理得

即3a2＋c2－(6a)2＝0,則3a2＝c2,所以,故選C.

例9(2014年全國(guó)卷Ⅰ理4)已知F是雙曲線(xiàn)C:x2－my2＝3m(m＞0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為( ).

解析

例10(2017年江蘇卷理8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)與它的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是________.

解析

鏈接練習(xí)

1.(2018年江蘇卷理8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線(xiàn)的距離為,則其離心率的值是________.

2.已知F1,F2是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)F1關(guān)于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P滿(mǎn)足∠OPF2＝∠POF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則C的離心率為( ).

3.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F2,若C的左支上存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)bx－ay＝0是線(xiàn)段MF2的垂直平分線(xiàn),則C的離心率為( ).

4.已知F1,F2是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),漸近線(xiàn)分別為l1,l2,過(guò)點(diǎn)F1且與l1垂直的直線(xiàn)分別交l1及l(fā)2于P,Q兩點(diǎn),若滿(mǎn)足則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為( ).

鏈接練習(xí)參考答案:

1.2.2.B.3.A.4.C.