透過現(xiàn)象看本質(zhì)：由2461問題引發(fā)的探究

張為康 吳思懷

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2461問題是一個三角函數(shù)求和問題,它本質(zhì)上是一個數(shù)論問題,本文將從初等數(shù)論的角度提出一般化的定理并給出詳細(xì)證明.

1 原命題概述

2 問題一般化

作者這樣的構(gòu)造方法很巧妙,往往很難想到,但從其本質(zhì)來看就會覺得很自然.

觀察解題過程中x,y的構(gòu)造，很容易聯(lián)想到單位根的有限和,即高斯和的相關(guān)內(nèi)容.代數(shù)式中π 前面的系數(shù)1,3,4,9,10,12為mod13的二次剩余，2,5,6,7,8,11為mod13的二次非剩余，而在數(shù)論中，二次剩余與二次非剩余聯(lián)系緊密，所以構(gòu)造y與x進(jìn)行配對計(jì)算，在數(shù)論中是自然而然的想法.原問題中13作為一個素?cái)?shù)，不失一般性，而在二次剩余內(nèi)容中，4n+1型素?cái)?shù)與4n+3型素?cái)?shù)的性質(zhì)又有本質(zhì)上的差別.

綜合以上考慮，將原問題進(jìn)行一般化的推廣，得到以下定理.

3 證明定理

為了證明這一定理,先給出初等數(shù)論中的一些基本定義和引理.

定義1設(shè)素?cái)?shù)p>2,d是整數(shù),p|d.如果同余方程x2≡d(modp)有解,則稱d是模p的二次剩余;若無解,則稱d是模p的二次非剩余.

引理2設(shè)素?cái)?shù)p>2,p|d1,p|d2,那么,

(1)若d1,d2均為模p的二次剩余,則d1d2也是模p的二次剩余;

(2)若d1,d2均為模p的二次非剩余,則d1d2也是模p的二次剩余;

(3)若d1是模p的二次剩余,d2是模p的二次非剩余,則d1d2是模p的二次非剩余.

引理3-1是模p的二次剩余的充要條件是p≡1(mod4).

下面對此定理進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

證明因{1,2,…,4n}是模p的一個既約剩余系,由引理1不妨設(shè)M={s1,s2,…,s2n}是{1,2,…,4n}中的所有模p二次剩余的集合,設(shè)N={t1,t2,…,t2n}是{1,2,…,4n}中的所有模p二次非剩余的集合.令

由引理2,對?c∈{1,2,…,4n},

于是得到4n個等式

將這4n個式子左右兩邊相加,得

=-(a1+a2+…+a4n),

又a1+a2+…a4n=4n2,則AB=f(ζp)=-n.

A,B是方程x2+x-n=0的兩根.

實(shí)部相等可得,

由引理3, -1是模p的二次剩余,于是4n+1-si(i=1,2,…,2n)也是模p的二次剩余,且si≠4n+1-si,即si與4n+1-si在集合M中成對出現(xiàn).不妨設(shè)si+n=4n+1-si(1≤i≤n),由抽屜原理知min{si,4n+1-si}≤2n.令ki=2min{si,4n+1-si}(1≤i≤4n),則1≤ki≤4n,且

這樣就找到了n個符合條件的數(shù),定理得證.

4 推論與推廣

由上面的證明過程,還可以得到以下推論.

推廣當(dāng)p是4n+3型素?cái)?shù),?1≤h1≤h2≤…≤hn≤4n+2,使得

其中hi∈Z(i=1,2,…,2n+1).

5 回顧與反思

由于2,5,6為模13意義下的二次非剩余,利用推論知

原命題得證.

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2461問題的探究證明可以從數(shù)論中找到理論依據(jù),有興趣的讀者可以從高斯和理論中找到更一般的推廣.