蘇曉丹

(海軍裝備部駐北京地區(qū)軍事代表室，北京 100854)

0 引 言

測試與發(fā)射控制系統(tǒng)是艦艇上導彈武器系統(tǒng)的重要組成部分，其功能是對導彈控制系統(tǒng)性能及全彈配合性信號的協(xié)調(diào)性實施測試、發(fā)射條件檢查和準備、對檢查合格的導彈按命令進行發(fā)射。發(fā)射控制是對導彈實施控制系統(tǒng)接通、狀態(tài)初始化控制以及綜合各種發(fā)射準備條件，并對檢查合格、準備好的導彈實施發(fā)射點火控制。測試與發(fā)射控制系統(tǒng)的性能影響和制約導彈武器的使用性能，其可靠性和自動化程度直接決定和影響導彈武器的生存能力和快速反應能力[1–2]。

導彈測發(fā)控設備的使用經(jīng)驗表明，在某些情況下設備實際使用的持續(xù)時間會超出技術文件中給出的指標。因此，預測測發(fā)控設備的剩余壽命，進而采取有針對性的預防性維修措施，延長測發(fā)控設備的使用期限，具有重要意義[3]。

艦船裝備及分系統(tǒng)的使用壽命指其從開始服役到結構達到破壞極限狀態(tài)（退役或報廢）的時間。在役艦船裝備及分系統(tǒng)的剩余使用壽命則是指在不加維修及正常維護、正常使用條件下結構可繼續(xù)使用的年限。

設備剩余壽命預測方法總體上可以分為3 類：基于機理模型的方法、數(shù)據(jù)驅動的方法和兩者融合的方法?；跈C理模型的方法是在深入分析設備失效分析機理基礎上，建立機理模型并據(jù)此預測剩余壽命。數(shù)據(jù)驅動的方法則是利用監(jiān)測到的設備性能退化數(shù)據(jù)，進行剩余壽命預測[4]。

國內(nèi)外學者對武器裝備剩余壽命問題開展了研究，如司小勝等[5]研究了不確定退化測量數(shù)據(jù)下的設備剩余壽命估計問題，鄭建飛等[6]研究了考慮不確定測量和個體差異的非線性隨機退化系統(tǒng)剩余壽命估計，李建民[7]研究了基于灰色理論的艦船裝備剩余壽命預測模型。

根據(jù)目前的研究結果，已經(jīng)可以對剩余壽命進行驗前分析，但是還有一些問題需要繼續(xù)研究，如當達到某個事前給定的設備狀態(tài)的概率值時，測試設備是否完全用盡了技術壽命；繼續(xù)投入資金以延長測發(fā)控設備的使用壽命是否合適；當追加的經(jīng)費有限制時，剩余壽命是怎樣的？為此就需要研究測發(fā)控設備剩余壽命概率預測問題[8]。

1 問題的提出與主要假設

研究作為測發(fā)控設備組成部分的測量系統(tǒng)，它有一組確定性參數(shù) Uk， 其額定值分別為,k=1,2,···,m，m為參數(shù)的總數(shù)。對參數(shù)的狀態(tài)進行觀測，可以討論系統(tǒng)中過程的發(fā)展。

假設在系統(tǒng)運行時其內(nèi)部發(fā)生緩慢的逐步惡化的過程，結果是能觀察到確定性參數(shù)相對其額定值的偏差，從而在固定的時刻 ti,i=1,2,···,n，確定性參數(shù)的值 Uk(t) 呈 下 降 的 趨 勢， 即 如 果t1Uk(t2)>···>Uk(tm)。

假定確定性參數(shù)的值 Uk(t)不超出給定的容許值范圍分別為該參數(shù)區(qū)間的下界和上界，這時測發(fā)控系統(tǒng)運行正常。若參數(shù)值 Uik偏離容許值就意味著參數(shù)故障。一般情況下，參數(shù)故障不會使測發(fā)控系統(tǒng)離開工作狀態(tài)，而只是降低其運行品質(zhì)。系統(tǒng)中突然出現(xiàn)故障的概率相對較小，但是會有在修理?恢復工作過程中可以克服的參數(shù)故障。于是，這樣的測發(fā)控系統(tǒng)就屬于具有有限個可以恢復的可能狀態(tài)的系統(tǒng)。

把系統(tǒng)在時刻 t的狀態(tài)記為 Vk(t),k=0,1,2,···,m，狀態(tài) V0(t) 意味著系統(tǒng)中總數(shù)為 m的確定性參數(shù)中沒有一個發(fā)生故障，符號 V1(t)表明一個確定性參數(shù)發(fā)生了故障， Vk表示第 k 個參數(shù)發(fā)生故障，而 Vm表示系統(tǒng)中全部 m 個參數(shù)發(fā)生故障。并且只允許系統(tǒng)從一個狀態(tài)過渡到相鄰的一個狀態(tài)，而不可能漏過中間的過渡狀態(tài)，即不可能從狀態(tài) V0(t) 繞 過 V1(t)而直接轉入到狀態(tài)V2(t)。

在到時刻 t之前用于保持系統(tǒng)在 Vk狀態(tài)的總消耗為Ck(t),k=0,1,2,···,m。假設對于每一個狀態(tài)，單位時間內(nèi)的使用消耗 ?Cs相同，而對于每一個出故障的參數(shù)，用于恢復的消耗 ?Ch是 一致的，并且在時刻 t出故障的參數(shù)應該從該時刻起就進行恢復。在確定性參數(shù)從故障狀態(tài)轉入到恢復狀態(tài)的過渡時間內(nèi)用于系統(tǒng)的消耗不會增加，因為用于恢復狀態(tài)的經(jīng)費是在確定性參數(shù)故障時刻劃分出來的（或者說是消耗的）。

把測發(fā)控系統(tǒng)中的每一個測量子系統(tǒng)從一個狀態(tài)轉入另一個狀態(tài)當作隨機事件來研究。假設，在所有的確定性參數(shù)中，第 k 個確定性參數(shù) Uk的故障強度是λk、恢復強度是 μk，對于所有的確定性參數(shù)其故障強度都是相同的，恢復強度也相同。所以總的故障強度、總的恢復強度分別為為了計算方便，假設確定性參數(shù)的故障流是最簡單的，而故障流與恢復流的密度函數(shù)用參數(shù)為 λ,μ的指數(shù)規(guī)律描述。在所引入的假設下，需要確定在使用物資與經(jīng)費消耗有限制時測發(fā)控系統(tǒng)的剩余壽命。

1.1 問題的求解

確定用于保持測發(fā)控系統(tǒng)在狀態(tài)Vk(t),k=0,1,2,···,m時的物資消耗，把這種消耗表示成約定的單位。研究狀態(tài) V0(t) ， 當?shù)?t +?t時刻之前系統(tǒng)內(nèi)不會有故障，該狀態(tài)可以作為2 個不相容事件 A0,B1的和來研究。事件 A0是 指系統(tǒng)在時刻t 處于 V0(t)狀態(tài)，并且在?t 時間內(nèi)一個參數(shù)也不出故障，這一隨機事件用表達式P(A0)=e?λ?t≈1?λ?t 表示?？梢杂藐P系式C(A0)=[C0(t)+?Cs?t](1?λ?t) 表 示以概率 P(A0) 維持事件 A0所用的消耗。事件 B1是 指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻 t處于V1(t) 狀 態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)一個參數(shù)恢復了，可以用關系式 C(B1)=C1(t)μ?t 來表示以概率 P(B1)保持事件B1所 用的消耗。在區(qū)間 t +?t內(nèi)用于保持這一事件的物質(zhì)消耗用隨機函數(shù)C0(t)表示，它滿足下面的方程：

把式（1）改寫為：

把式（2）的兩端除以 ?t 并取 ? t →0時的極限，就得到微分方程：

對于系統(tǒng)狀態(tài) Vk(t),k=1,2,···,m?1，組成類似的方程。狀態(tài) Vk(t) 意 味著，到時刻 t +?t之前，系統(tǒng)內(nèi)出故障的確定性參數(shù)的數(shù)量等于k ，可以把 Vk(t)當作3 個不相容事件 Ak,Bk+1,Ck?1的 和來研究，事件 Ak表示在時刻 t 系統(tǒng)處于 Vk(t) 狀 態(tài)，而在 ?t 時間內(nèi)沒有一個參數(shù)出故障并恢復。該隨機事件的概率用表達式P(Ak)=e?λ?te?μ?t≈1?(λ+μ)?t 確定。以概率 P(Ak)保持事件Ak所 用 的消 耗 可 以 用關 系 式C(Ak)=[Ck(t)+?Cs?t]來表示。

事件 Bk+1是 指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻t處 于Vk+1(t)狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)1 個參數(shù)恢復了。在這種情況下，概率是 P(Bk+1)=1?e?μ?t≈μ?t 。以概率 P(Bk+1)保持事件 Bk+1的消耗可以用關系式C(Bk+1)=Ck+1(t)μ?t來表示。

事件 Ck?1是指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻t處于Vk?1(t) 狀 態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)還有一個參數(shù)發(fā)生了故障，該事件的概率是 P(Ck+1)=1?e?μ?t≈μ?t 。以概率P(Ck?1) 保 持 事 件Ck?1的 消 耗 可 以 用 關 系 式C(Ck?1)=Ck?1(t)λ?t 來表示。這時狀態(tài) Vk(t)可以作為3 個不相容事件 Ak,Bk+1,Ck?1的 和來研究。在區(qū)間 t +?t內(nèi)，為了保持這一事件的物質(zhì)消耗是隨機函數(shù) Ck(t)，它滿足下面的方程：

把式（3）進行與式（1）類似的變換，就得到

組成對于狀態(tài) Vm(t) 的方程，到時刻 t +?t之前，系統(tǒng)內(nèi)所有 m個確定性參數(shù)都出了故障，這一狀態(tài)可以作為2 個不相容事件 Am,Cm?1的和來研究。第1 個事件Am（系統(tǒng)在時刻t 處于 Vm(t) 狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)沒有一個參數(shù)出故障）。這一隨機事件的概率是P(Am)=e?μ?t≈1?μ?t ，以概率 P(Am) 保 持事件 Am所用的消耗可 以 用 關 系 式 C(Am)=[Cm(t)+?Cs?t](1?μ?t)來 表示。第2 個事件 Cm?1是 指系統(tǒng)在時刻 t 處于 Vm?1(t)狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)又有一個參數(shù)出故障。這一隨機事件的概率是P (Cm?1)=1?e?λ?t≈λ?t， 以概率P(Cm?1)保持事件 Cm?1所用的消耗可以用關系式C(Cm?1)=Cm?1(t)λ?t來表示。

當把狀態(tài) Vm(t) 作為2 個不相容事件 Am,Cm?1的和進行研究時，在區(qū)間 t +?t內(nèi)保持這一事件所需物質(zhì)消耗用隨機函數(shù)Cm(t)描述，它滿足下面的方程：

把式（4）進行與式（1）類似的變換，得出下面的微分方程：

這樣以來，就可以用關于未知的物質(zhì)消耗隨機函數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m的微分方程組描述把測發(fā)控設備保持在狀態(tài) Vk(t),k=0,1,2,···,m所需要的物質(zhì)消耗，表示成約定單位的形式：

為了求解方程組（5），把它寫成算子形式

式中： A(s) 為 維數(shù)為 ( m+1)×(m+1)的方程組系數(shù)的三對角線矩陣； s 為函數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m的映像半平面上的復變量。

把該矩陣的元素寫成下面的形式：

矢 量 X(s) 的 分 量 xk(s) 是 相 應 的 函 數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m 的 映 像；矢 量 B(c)(s) 的 分量 是：

使用有任意有限數(shù)量回歸的回歸分析估計多維模型矩陣系數(shù)的方法，構建未知矢量 X(s) 的估值 X?(s)。為此把方程組（6）表示成下面的形式：

式 中： Ak為 矩 陣 的 分 塊 分 量A=∥|A1|·|A2|···|Ak|···|Am+1|∥ ； Xk為 矢 量 的 分 塊 分 量X=∥|X1|·|X2|···|Xk|···|Xm+1|∥T。

寫出表達式（7）中對于分量 Ak,Xk的表達式：

式中 Oα表 示維數(shù)是 α的零矢量。

使用上面引入的標記，可以由下面的遞推關系式求出方程組（6）的未知矢量 X(s) 的估值 X?(s)：

對表達式（8）進行拉普拉斯反變換，就得到把測發(fā)控設備保持在 Vk(t)狀態(tài)所要的物質(zhì)消耗隨機函數(shù)的原函數(shù) Ck(t)。 平均物質(zhì)消耗C ˉ(t)數(shù)值上等于隨機函數(shù)Ck(t)的所有可能值的數(shù)學期望：

式中： Pk(t)為 事件 Vk(t)來臨的概率。

為了求出概率 Pk(t)，可以使用拉氏變換轉換到像函數(shù)，然后再用所描述的方法求解從式（7）中得到的方程，把其中矢量 Xk的分塊分量換成相應的概率函數(shù)： Xk=Pk?1,k=1,2,···,m ，而右端換成矢量 B(c)，其元素是為了從像函數(shù)Pk(s)=Fk(s)/Gk(s)變換回原函數(shù)，可以使用關系式：

式中： si(i=1,2,···,n) 為 分母Gk(s)的根。

這樣以來，使用式（8）～式（10）就能夠計算把測發(fā)控設備保持在其可能狀態(tài)中的一種狀態(tài)時所需要的平均物資消耗。如果在這種情況下假設，到時刻t=t?之前平均物質(zhì)消耗近似等于補充劃分出來用于使用的物資消耗 C0(t) ，那么時間 t?就可以作為所使用的測發(fā)控設備的剩余壽命，并且由關系式t?=從形式上求出所研究的關于預測剩余壽命問題的解。式中，為所選擇的 C0到的接近程度， T 為變量t的所有可能正值的集合。

1.2 算例

以實際例子解釋所研究問題的求解方法的使用。設某型測發(fā)控設備用下面的參數(shù)描述λ=0.05，μ=0.14 ，確定性變量數(shù)量 m =1，1 年內(nèi)使用消耗是1 000貨幣單位，而用于恢復發(fā)生故障參數(shù)的平均消耗是?Ch=10 000貨幣單位。

對于所引入的初始數(shù)據(jù)，需要在假設又撥出C0=50 000貨幣單位用于使用的條件下，計算測發(fā)控設備的剩余壽命。在這種情況下式（6）的形式如下：

使用式（8）求出映像 X?：

使用概率 Pk(t)的表達式，并從式（9）中得到用于計算平均物資消耗的公式：

在式（11）中使用近似等式e?(λ+μ)t≈1?(λ+μ)t 并求解對于C0=50 000方 程 6 76.44t2?17 582.92t+50 000=0，可以確定剩余壽命 t?=3.25。這樣以來，根據(jù)求解該問題的結果確定，又撥出 C0=50 000貨幣單位用于使用的假設條件下，設備的剩余壽命可以延長39 個月。

2 結 語

本文在假設測發(fā)控系統(tǒng)所有確定性參數(shù)的故障強度相同、恢復強度也相同的條件下，得出了根據(jù)參數(shù)監(jiān)測結果預測測發(fā)控設備剩余壽命的方法。該方法也可用于有冗余元件的測試設備，其中的每一個冗余元件可以當作單獨參數(shù)來考慮。