馬海瑛，肖玉芝，趙海興，吳 歡，羅海秀

(1.青海師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，西寧 810016；2.青海省藏文信息處理與機(jī)器翻譯重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西寧 810008；3.藏文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西寧 810008)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)科學(xué)經(jīng)過15年的迅速發(fā)展，如今已經(jīng)取得一系列豐碩的研究成果，也形成了一套完整、系統(tǒng)的理論體系和學(xué)科框架[1-10]。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的深入研究和發(fā)展，逐漸認(rèn)識到單層網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)不能準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜關(guān)系，也無法解釋現(xiàn)實(shí)社會中的多重復(fù)雜現(xiàn)象，因?yàn)椋F(xiàn)實(shí)系統(tǒng)不是以單一，孤立的形式存在，而是各個(gè)系統(tǒng)之間相互交織，在結(jié)構(gòu)和功能上相互依存、相互關(guān)聯(lián)形成的復(fù)雜系統(tǒng)。故而近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱點(diǎn)內(nèi)容逐漸轉(zhuǎn)向多層網(wǎng)絡(luò)[11-12]。多層網(wǎng)絡(luò)的概念源于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中對“超網(wǎng)絡(luò)”的研究，其側(cè)重于刻畫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間鏈接含義的多樣化、權(quán)重的差異化特性。其研究使多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注，如物理學(xué)、控制科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、社會學(xué)分別在各自領(lǐng)域的權(quán)威期刊上發(fā)表了多層網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)研究[13-20]，展示了多層網(wǎng)絡(luò)理論在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用。

多層網(wǎng)絡(luò)研究中一個(gè)重要問題是了解網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，并進(jìn)一步理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與動力學(xué)之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變與網(wǎng)絡(luò)性能息息相關(guān)。為了深入理解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，首先需要構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型，網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建常用的方法有兩種，其一是源于現(xiàn)實(shí)世界存在的網(wǎng)絡(luò)模型，其二是通過多層網(wǎng)絡(luò)理論生成網(wǎng)絡(luò)模型，再通過實(shí)證驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)模型算法的可行性。

目前很多學(xué)者通過現(xiàn)實(shí)存在的網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)分析，通過實(shí)證數(shù)據(jù)構(gòu)建的模型使網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)(參數(shù))更加確定。比如孫曉璇[21]等人構(gòu)建了高鐵-普鐵交通雙層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，第一層是高鐵網(wǎng)絡(luò)，第二層是普鐵網(wǎng)絡(luò)，基于構(gòu)建的雙層網(wǎng)絡(luò)，分別分析了兩個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)和雙層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)，并且以最大連通子圖作為指標(biāo)分析3個(gè)網(wǎng)絡(luò)的可靠性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出兩層網(wǎng)絡(luò)的可靠性介于高鐵網(wǎng)絡(luò)和普鐵網(wǎng)絡(luò)之間。伍杰華[22]構(gòu)建了三層YouTube社會網(wǎng)絡(luò)，其中節(jié)點(diǎn)為用戶，邊表示用戶之間的交互關(guān)系，第一層是共享朋友關(guān)系，第二層是分享訂閱關(guān)系，第三層是分享的影片關(guān)系?；跇?gòu)建的模型，進(jìn)行各子網(wǎng)之間的共性特征提取和各個(gè)子網(wǎng)自身的特性提取，提出一種基于遷移成分分析的多層社會網(wǎng)絡(luò)層間鏈接算法，實(shí)驗(yàn)證明該遷移思想能夠應(yīng)用到多層次社交網(wǎng)絡(luò)鏈接分類場景。張磊[23]等人從社交，內(nèi)容，話題和觀點(diǎn)4個(gè)方面構(gòu)建了四層微博超網(wǎng)絡(luò)模型，層內(nèi)關(guān)系是各個(gè)子網(wǎng)中各要素之間的關(guān)系，層間關(guān)系是各個(gè)子網(wǎng)之間的聯(lián)系，如某一用戶發(fā)布一條微博，其內(nèi)容關(guān)乎某一話題，且作者的情感傾向?qū)儆谡蚧蚴秦?fù)向，以這些關(guān)系建立各層之間的連邊，模型基礎(chǔ)上運(yùn)用關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識別的方法分析多層社會網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的情感傾向。

劉強(qiáng)[24-25]等人通過理論算法建立了多層次超網(wǎng)絡(luò)模型，文獻(xiàn)[25]中基于小世界算法和無標(biāo)度算法構(gòu)建了4種三層超網(wǎng)絡(luò)，層間連接關(guān)系采用隨機(jī)連接和優(yōu)先連接機(jī)制，分析了不同層間依賴關(guān)系下網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渲笜?biāo)，此外，提出了一種層次交叉度的概念，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得知，該指標(biāo)能夠有效衡量超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。文獻(xiàn)[26]用非線性核的方法提出一種增長的模型，其中，多重層通過添加新鏈接和新節(jié)點(diǎn)來增長。研究表明，不斷增長的多重網(wǎng)絡(luò)模型也能在層間產(chǎn)生負(fù)相關(guān)。文獻(xiàn)[27]中構(gòu)建了雙層ER網(wǎng)絡(luò)和雙層BA網(wǎng)絡(luò)，在這兩個(gè)模型之上，重點(diǎn)研究了節(jié)點(diǎn)在不同層間的關(guān)聯(lián)度所起的作用。分析了一般網(wǎng)絡(luò)的雙連通性、誤差和攻擊容限以及相互連接性，涵蓋了與多層網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的廣泛的網(wǎng)絡(luò)魯棒性，發(fā)現(xiàn)多路復(fù)用層之間的相關(guān)耦合可以以不同的方式顯著地改變多路復(fù)用網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。從現(xiàn)有的多層網(wǎng)絡(luò)研究成果可以看出，無論是通過實(shí)證研究網(wǎng)絡(luò)內(nèi)在機(jī)理，還是構(gòu)建理論模型分析網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦?，都較為廣泛地研究了網(wǎng)絡(luò)的多個(gè)拓?fù)渲笜?biāo)及其動力學(xué)行為。真實(shí)世界中存在很多三層網(wǎng)絡(luò)模型，比如社交網(wǎng)絡(luò)模型，基于“朋友關(guān)系-家庭關(guān)系-同事關(guān)系”構(gòu)成的三層社交網(wǎng)絡(luò)，又如城市交通網(wǎng)絡(luò)模型，以“飛機(jī)場-火車站-高鐵站”，城市代表網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，建立三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并分析其魯棒性等?，F(xiàn)有的結(jié)果雖為多層網(wǎng)絡(luò)的研究提供了一些新的方法和思路，但研究性質(zhì)比較廣泛。而本文重點(diǎn)研究網(wǎng)絡(luò)層間連邊概率對網(wǎng)絡(luò)度分布的影響，試圖尋找隨機(jī)連邊概率與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)。

因此，基于以上背景，本文通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論構(gòu)建三層網(wǎng)絡(luò)模型，并對網(wǎng)絡(luò)模型中層間、層內(nèi)依賴關(guān)系進(jìn)行深入、細(xì)化的研究。首先刻畫并構(gòu)建了3種三層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，層內(nèi)分別采用隨機(jī)、無標(biāo)度和小世界生成算法，層間采用隨機(jī)連接算法。從另外一種角度通過調(diào)整層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率，全面、深入地研究了網(wǎng)絡(luò)層級關(guān)系對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)特性的影響。其次重點(diǎn)分類并對比分析了層內(nèi)、層間連接概率變化對3種三層網(wǎng)絡(luò)度分布的影響，網(wǎng)絡(luò)的度分布特性與網(wǎng)絡(luò)的平均度息息相關(guān)。最后探討了3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)和平均路徑長度等指標(biāo)，層內(nèi)的連接關(guān)系對這些指標(biāo)的影響并不大。研究結(jié)果從理論上為多層網(wǎng)絡(luò)的研究打下一定基礎(chǔ)。

1 三層網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

1.1 基本概念

(1)

(2)

多層網(wǎng)絡(luò)M的投影網(wǎng)絡(luò)(projection network)為圖proj(M)=(Xμ,Xμ)，其中

(3)

1.2 三層網(wǎng)絡(luò)模型演化算法

基于隨機(jī)連接算法、無標(biāo)度算法和小世界算法構(gòu)造3種三層網(wǎng)絡(luò)模型。根據(jù)多層網(wǎng)絡(luò)的定義，三層網(wǎng)絡(luò)M由集合g和層間連邊C組成，其中g(shù)={Ga;a∈{α,β,γ}}，Gα=(Xα,Eα)為網(wǎng)絡(luò)層，層間連邊C={Eαβ∈Xα×Xβ;Eβγ∈Xβ×Xγ}。通過隨機(jī)概率定量刻畫網(wǎng)絡(luò)層間依賴關(guān)系，3種三層網(wǎng)絡(luò)的演化過程如下：

1.2.1 網(wǎng)絡(luò)EEE演化過程

網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)依賴關(guān)系和層間依賴關(guān)系均采用隨機(jī)連接算法，形成的網(wǎng)絡(luò)簡稱為網(wǎng)絡(luò)EEE，記為GΕΕΕ(N,p)，該網(wǎng)絡(luò)中不包含重復(fù)邊。構(gòu)造步驟如下：

第1步：初始條件，網(wǎng)絡(luò)層Gα具有n個(gè)孤立節(jié)點(diǎn)，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率為p1(0,1)，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率分別為pαβ(0,1)和pβγ(0,1)，三層網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=3n。

第2步：層內(nèi)連接，網(wǎng)絡(luò)層Ga中選擇一對沒有被選擇過的節(jié)點(diǎn)，生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)r(0,1),如果r

第3步：復(fù)制網(wǎng)絡(luò)層Gα，分別生成網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ。

第4步：層間連接，網(wǎng)絡(luò)層Gα和網(wǎng)絡(luò)層Gβ中選擇一對沒有被選擇過的節(jié)點(diǎn)對，生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)m(0,1)，如果m

1.2.2 網(wǎng)絡(luò)BEB演化過程

層內(nèi)依賴關(guān)系采用無標(biāo)度算法，層間依賴關(guān)系采用隨機(jī)連接算法，形成的網(wǎng)絡(luò)簡稱為網(wǎng)絡(luò)BEB，記為GΒΕΒ(N,m0,m,p)，網(wǎng)絡(luò)中不包含重復(fù)邊。構(gòu)造步驟如下：

第1步：初始條件，網(wǎng)絡(luò)層Ga的規(guī)模為n，從一個(gè)具有m0個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全圖開始，每次引入一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)和m(m

第3步：復(fù)制網(wǎng)絡(luò)層Ga，分別生成網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ。

第4步：層間連接，網(wǎng)絡(luò)層Ga和網(wǎng)絡(luò)層Gβ中選擇一對沒有被選擇過的節(jié)點(diǎn)對，生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)m(0,1)，如果m

1.2.3 網(wǎng)絡(luò)WEW演化過程

層內(nèi)依賴關(guān)系采用小世界算法，層間采用隨機(jī)連接算法，形成的網(wǎng)絡(luò)簡稱為網(wǎng)WEW，記為GWEW(N,k,p)，網(wǎng)絡(luò)中不包含重復(fù)邊。構(gòu)造步驟如下：

第2步：層內(nèi)連接，網(wǎng)絡(luò)Ga層內(nèi)以概率p1隨機(jī)連接，即將邊的一個(gè)端點(diǎn)保持不變，而另一個(gè)端點(diǎn)以概率p1變?yōu)榫W(wǎng)絡(luò)中其余n-k-1個(gè)節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。任意兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)之間至多只能有一條邊。

第3步：復(fù)制網(wǎng)絡(luò)層Ga，分別生成網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ。

第4步：層間連接，網(wǎng)絡(luò)層Ga和網(wǎng)絡(luò)層Gβ中選擇一對沒有被選擇過的節(jié)點(diǎn)對，生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)m(0,1)，如果m

根據(jù)多層網(wǎng)絡(luò)的定義及構(gòu)造算法，圖1給出了網(wǎng)絡(luò)EEE的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其超鄰接矩陣A。

圖1 三層網(wǎng)絡(luò)示意圖

其中，Aα、Aβ和Aγ分別為三層網(wǎng)絡(luò)的層內(nèi)鄰接矩陣。Aαβ表示第α層網(wǎng)絡(luò)與第β層網(wǎng)絡(luò)的層間鄰接矩陣，Aβγ表示第β層網(wǎng)絡(luò)與第γ層網(wǎng)絡(luò)的層間鄰接矩陣。由于第α層和第γ層之間沒有連邊，所以其相對應(yīng)的鄰接矩陣用0代替。矩陣A中的第1行表示網(wǎng)絡(luò)層Ga中節(jié)點(diǎn)的度大小，第2行表示網(wǎng)絡(luò)層Gβ中節(jié)點(diǎn)的度大小，第3行表示網(wǎng)絡(luò)層Gγ中節(jié)點(diǎn)的度大小。

顯然，三層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度值具有交叉性，極大地影響了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使得網(wǎng)絡(luò)的度分布出現(xiàn)多峰特性。為了深入研究層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和性質(zhì)的影響，本文考慮了層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同的兩種情形，分別分析了以上3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布、聚類系數(shù)和平均路徑長度等指標(biāo)。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 三層網(wǎng)絡(luò)度分布

度分布是描述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，度分布P(k)為網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點(diǎn)占整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例，即：

(4)

其中，Nk表示度為k的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

三層網(wǎng)絡(luò)分別為Ga，Gβ和Gγ且層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率為p1，網(wǎng)絡(luò)層Gα和網(wǎng)絡(luò)層Gβ之間的連邊概率為pαβ，網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ之間的節(jié)點(diǎn)連邊概率為pβγ。分別分析層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同和不同時(shí)網(wǎng)絡(luò)的度分布，即pαβ=pβγ和pαβ≠pβγ。

假設(shè)3種三層網(wǎng)絡(luò)即網(wǎng)絡(luò)EEE、網(wǎng)絡(luò)WEW和網(wǎng)絡(luò)BEB的單層網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和整個(gè)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模分別為n=500，N=1 500。

2.1.1 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同

本小節(jié)進(jìn)一步對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)連邊概率進(jìn)行了細(xì)化和分類。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)層節(jié)點(diǎn)連邊概率p1與網(wǎng)絡(luò)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ(pβγ)之和為1；網(wǎng)絡(luò)層節(jié)點(diǎn)連邊概率p1與網(wǎng)絡(luò)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ(pβγ)相等，即p1+pαβ(pβγ)=1和p1=pαβ(pβγ)，下文進(jìn)行詳細(xì)分析。

1)第1種情形：p1+pαβ(pβγ)=1

當(dāng)p1+pαβ(pβγ)=1時(shí)，實(shí)驗(yàn)中設(shè)置p1的取值范圍為[0,1],pαβ(pβγ)的取值范圍為[0,1]，分別分析了3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布特性，如表1和圖2所示給出部分連接概率下的度分布情形。

表1 3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布特性

圖2 3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布

表1中，〈kα〉表示網(wǎng)絡(luò)層Gα的平均度，〈kβ〉表示網(wǎng)絡(luò)層Gβ的平均度，〈kγ〉表示網(wǎng)絡(luò)層Gγ的平均度，〈k〉表示整個(gè)三層網(wǎng)絡(luò)的平均度。后文中的〈kα〉、〈kβ〉、〈kγ〉和〈k〉含義均與此處相同。

由圖2可知，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于1，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于10-1時(shí)，由于中間層Gβ的節(jié)點(diǎn)的平均度〈kβ〉變大，網(wǎng)絡(luò)層Gα和網(wǎng)絡(luò)層Gγ的節(jié)點(diǎn)平均度值較小且相等,因此，表征出網(wǎng)絡(luò)EEE和網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布具有雙峰特性,即〈kα〉和〈kγ〉兩部分疊加落到坐標(biāo)軸左邊形成左峰(第1個(gè)峰值)；〈kβ〉形成坐標(biāo)軸上的右峰(第2個(gè)峰值)；層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于10-2，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于1時(shí)，由于層間節(jié)點(diǎn)連邊概率較小，網(wǎng)絡(luò)層Gα、Gβ和Gγ的平均度幾乎相同，因此，表征出網(wǎng)絡(luò)EEE和網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布具有單峰特性；網(wǎng)絡(luò)BEB的峰值變換與其他2種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布變換有差異，其層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于10-3時(shí)，網(wǎng)絡(luò)表征出冪律分布。層間節(jié)點(diǎn)連邊概率趨于1時(shí)，由于中間層Gβ的節(jié)點(diǎn)平均度〈kβ〉變大，網(wǎng)絡(luò)層Gα和網(wǎng)絡(luò)層Gγ的節(jié)點(diǎn)平均度值較小且相等，因此網(wǎng)絡(luò)也表征出雙峰特性。

因此，隨著層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的增大，致使網(wǎng)絡(luò)中間層的節(jié)點(diǎn)平均度也逐漸增大，所以，3種三層網(wǎng)絡(luò)均呈現(xiàn)雙峰特性。隨著層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的減小，三個(gè)網(wǎng)絡(luò)層的平均度值幾乎相等，致使網(wǎng)絡(luò)表征出單峰特性，且與構(gòu)建單層網(wǎng)絡(luò)的算法緊密相關(guān)，分別出現(xiàn)冪律特性和泊松分布特性。

2)第2種情形：p1=pαβ(pβγ)

接下來討論層間節(jié)點(diǎn)連邊概率與層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率相同的情形即p1=pαβ(pβγ)。層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1的取值范圍為[0,1],層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ(pβγ)的取值范圍為[0,1]。為了表征出網(wǎng)絡(luò)度分布的變換情形，本節(jié)實(shí)驗(yàn)中對3種三層網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行討論。

(1)網(wǎng)絡(luò)EEE的度分布

網(wǎng)絡(luò)EEE的三層網(wǎng)絡(luò)分別為Gα，Gβ和Gγ，網(wǎng)絡(luò)層節(jié)點(diǎn)連邊和網(wǎng)絡(luò)層間節(jié)點(diǎn)連邊層均采用隨機(jī)概率且隨機(jī)概率值相等，表2和圖3給出了部分概率下的網(wǎng)絡(luò)度分布變換。

表2 網(wǎng)絡(luò)EEE的度分布特性

圖3 網(wǎng)絡(luò)EEE的度分布

不難得出，隨機(jī)連邊概率趨于10-2時(shí)，網(wǎng)絡(luò)度分布呈現(xiàn)單峰特性，即三層網(wǎng)絡(luò)的平均度幾乎相等。隨著隨機(jī)連邊概率的逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)密度也隨之增加，中間層的平均度迅速增大，使得網(wǎng)絡(luò)度分布出現(xiàn)雙峰形式。

(2)網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布

網(wǎng)絡(luò)BEB中，網(wǎng)絡(luò)層節(jié)點(diǎn)連邊采用擇優(yōu)無標(biāo)度算法，層間節(jié)點(diǎn)連邊采用隨機(jī)連接算法。因此，實(shí)驗(yàn)中只考層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的變換情況。

從表3和圖4得出，網(wǎng)絡(luò)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率趨于10-3時(shí)，網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布呈現(xiàn)出冪律特性；隨機(jī)連邊概率趨于10-2時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的度分布呈現(xiàn)單峰形式；隨機(jī)連邊概率趨于10-1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的度分布出現(xiàn)雙峰形式。隨著隨機(jī)連邊概率的增加，中間層的節(jié)點(diǎn)平均度〈kβ〉逐漸增大且與網(wǎng)絡(luò)層Ga和網(wǎng)絡(luò)層Gγ的節(jié)點(diǎn)平均度之間的差值也逐漸增大，使得雙峰之間的間隔逐漸增大。

表3 網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布特性

圖4 網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布

(3)網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布

層內(nèi)采用小世界生成機(jī)制，層間采用隨機(jī)連邊方式構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)WEW，表現(xiàn)出與網(wǎng)絡(luò)EEE幾乎相同的特性。

由表4和圖5可知，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率趨于10-2時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布呈現(xiàn)單峰特性；層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率與層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值范圍滿足p1=pαβ(pβγ)=[0.3，0.9]時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的度分布均呈現(xiàn)雙峰特性，隨著p1和pαβ(pβγ)的增加，網(wǎng)絡(luò)層Ga的平均度〈kα〉和網(wǎng)絡(luò)層Gγ的平均度〈kγ〉比網(wǎng)絡(luò)層Gβ的平均度〈kβ〉小，變現(xiàn)出雙峰間隔較遠(yuǎn)。

表4 網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布特性

圖5 網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布

2.1.2 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同

本小節(jié)深入分析了3種三層網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建中層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率均不同的情形。網(wǎng)絡(luò)EEE和網(wǎng)絡(luò)WEW中層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.5,層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ和pβγ的取值范圍分別為[0,1]且約定pαβ+pβγ=1，網(wǎng)絡(luò)BEB中層內(nèi)采用無標(biāo)度算法(m=2)，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率與其他2種網(wǎng)絡(luò)取值范圍一致。

從圖6～8和表5可知，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)層Ga和網(wǎng)絡(luò)層Gβ之間的節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ在10-1到100，即網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ之間的節(jié)點(diǎn)連邊概率pβγ在100到10-1時(shí)，三層網(wǎng)絡(luò)的平均度分別為〈kα〉、〈kβ〉和〈kγ〉，其值均不相同，3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布均出現(xiàn)三峰形式，〈kα〉為第1個(gè)峰值，〈kβ〉為第2個(gè)峰值，〈kγ〉為第3個(gè)峰值。特別地，當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=pβγ=0.5時(shí)，網(wǎng)絡(luò)便現(xiàn)出雙峰特性，與2.2.1的結(jié)果相同。兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)層之間的聯(lián)系程度越緊密，對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)層的節(jié)點(diǎn)平均度值越相近，如圖6～8所示，兩個(gè)峰值間隔就越小。

表5 3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布特性

圖6 網(wǎng)絡(luò)EEE的度分布

圖7 網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布

圖8 網(wǎng)絡(luò)WEW的度分布

另外，我們還分析了層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ和pβγ之和不等于1時(shí)網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布。通過調(diào)整pαβ的值，網(wǎng)絡(luò)的度分布會呈現(xiàn)出冪律和單峰同時(shí)存在的情況，如表6和圖9所示。

表6 網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布特性

圖9 網(wǎng)絡(luò)BEB的度分布

為了使網(wǎng)絡(luò)層Gα和網(wǎng)絡(luò)層Gβ之間的聯(lián)系程度較小，則層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值趨于10-3時(shí)，網(wǎng)絡(luò)層Gα保持了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的冪律特性，隨著網(wǎng)絡(luò)層Gβ和網(wǎng)絡(luò)層Gγ之間節(jié)點(diǎn)連邊概率pβγ的逐漸增加，〈kβ〉和〈kγ〉的值幾乎相等，重疊形成右峰。

綜上所述，通過實(shí)驗(yàn)仿真得出，三層網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率對整個(gè)三層網(wǎng)絡(luò)的影響較小，如果層間節(jié)點(diǎn)連邊概率較小，網(wǎng)絡(luò)度分布表現(xiàn)出單層網(wǎng)絡(luò)的度分布特性；如果層間節(jié)點(diǎn)連邊概率較大，三層網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)層間級的連邊概率取值相同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)度分布表征出雙峰特性，即第一層網(wǎng)絡(luò)和第三層網(wǎng)絡(luò)的平均度值相等，在度分布圖中疊加成一個(gè)峰，中間層的平均度值另成一個(gè)峰；三層網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)層間的連邊概率取值不相同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)度分布表征出三峰特性，獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)層的平均度值大小不相等，在度分布圖中各自成峰，并且層間聯(lián)系程度密切的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)層的平均度值差較小，度分布圖中表現(xiàn)出兩個(gè)峰連接緊密。

網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定著網(wǎng)絡(luò)的功能，度值從局部表征了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，接下來從全局分析本文提出的3種三層網(wǎng)絡(luò)的功能。

2.2 三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)

聚類系數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布是刻畫網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要特征，其反映了網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)之間的聚集程度，對網(wǎng)絡(luò)整體性質(zhì)進(jìn)行了量化，其計(jì)算公式為

(5)

其中，T(i)表示節(jié)點(diǎn)i包含的三角形個(gè)數(shù)，deg(i)表示節(jié)點(diǎn)i的度。

本節(jié)分析了層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同(不同)時(shí)3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)。假設(shè)層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率為p1(0

2.2.1 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同

根據(jù)式(5)得到3種三層網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的變換趨勢圖。當(dāng)pαβ=pβγ且p1=(0,1)時(shí)，3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)變化曲線為圖10a～c。當(dāng)pαβ=pβγ且p1=1-pαβ(pβγ)時(shí)得到如圖10d所示網(wǎng)絡(luò)WEW和網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)。

不難得出：

1)當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同(pαβ=pβγ)，且隨著其值的逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)比網(wǎng)絡(luò)WEW的聚類系數(shù)更容易受到層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1的影響，如圖10a和10b所示，CEEE=[0.1,0.9]，CWEW=[0.05,0.4]，特別地，當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ(pβγ)=0.5且p1>0.2時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW的聚類系數(shù)趨于穩(wěn)定。網(wǎng)絡(luò)BEB的聚類系數(shù)隨m的增加而增加(圖10c)，較大的層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ(pβγ)也會使網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)有所增長，但是增長的幅度并不大，網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)取值范圍為CBEB=[0,0.15]。

圖10 三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)

2)當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同(pαβ=pβγ)且與層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率滿足p1+pαβ(pβγ)=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)仍然與p1成正比，而網(wǎng)絡(luò)WEW的聚類系數(shù)與p1成反比，此時(shí)增加層間節(jié)點(diǎn)連邊概率，減小層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW才會出現(xiàn)相對較高的聚類系數(shù)。

2.2.2 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同

本節(jié)從另一視角(層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同)對比分析3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)。假設(shè)層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.5，m=2，pαβ≠pβγ，由式(5)計(jì)算得到3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)的變化曲線如圖11a～11c所示。

如果約定pαβ+pβγ=1，則得到如圖11d所示的3種三層網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的變化曲線。

圖11 三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)

不難得出：

1)隨著層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pβγ和pαβ逐步增加，網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)也隨之增加，而網(wǎng)絡(luò)BEB和網(wǎng)絡(luò)WEW的聚類系數(shù)的變化相對較小，CEEE=[0.39,0.57]，CBEB=[0.0,0.1]，CWEW=[0.04,0.1]。

2)當(dāng)pαβ+pβγ=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)依然變現(xiàn)出較大的值，而其他2種網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)相對較小，無論增加pβγ的值還是增加pαβ的值，網(wǎng)絡(luò)WEW和網(wǎng)絡(luò)BEB的聚類系數(shù)幾乎相同且處于穩(wěn)定狀態(tài)。

因此，通過增加層間和層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率，網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)會大幅度增加，而其他2種網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)增加的較慢，也得出層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相比于層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率對網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)的影響較小。

2.3 三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度

平均路徑長度可以衡量網(wǎng)絡(luò)的傳輸性能和效率，它反映了網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間的距離，計(jì)算公式為

(6)

其中，dij為兩節(jié)點(diǎn)i和j之間的最短距離。

網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度能從另一個(gè)角度很好地刻畫網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與特征，進(jìn)而對網(wǎng)絡(luò)有更深入的研究。本節(jié)將從層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同兩種情形下，多角度、多方式對比分析網(wǎng)絡(luò)EEE,網(wǎng)絡(luò)BEB和網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度。本節(jié)中，實(shí)驗(yàn)設(shè)置和網(wǎng)絡(luò)規(guī)模見2.2。設(shè)網(wǎng)絡(luò)EEE、網(wǎng)絡(luò)WEW和網(wǎng)絡(luò)BEB的平均路徑長度分別為LEEE，LWEW和LBEB。

2.3.1 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同

本小節(jié)在層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同(pαβ=pβγ)時(shí)，分析三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度的變化情況。

根據(jù)式(6)得到3種三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度的變化趨勢如圖12a～12c所示。當(dāng)pαβ=pβγ且p1+pαβ(pβγ)=1時(shí)，得到網(wǎng)絡(luò)EEE和網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度的變化曲線如圖12d。

由圖12可知：

圖12 三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度

1)網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度隨層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ的增加而減小，其變化范圍為[1.1，2]，相比于其他兩種網(wǎng)絡(luò)，有明顯的減小趨勢；而網(wǎng)絡(luò)BEB和網(wǎng)絡(luò)WEW相對穩(wěn)定，但網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化范圍比BEB大。網(wǎng)絡(luò)BEB的平均路徑長度隨m增加逐漸趨于穩(wěn)定，在m=1且pαβ=0.3時(shí)有最大值LBEB=5.3，m=5后在[1.7,2.5]范圍內(nèi)小幅度變化；網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化幅度較大，其變化范圍為[1.8,6]，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.7，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度為最小值1.8，當(dāng)p1=0.9時(shí)，LWEW=4.3。層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.1，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.1時(shí)，LWEW=2.2；當(dāng)p1=0.9時(shí)，LWEW=2.2。當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.3，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度有最大6.2，p1=0.9時(shí)，LWEW=1.8。當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.5，層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率p1=0.1時(shí)，LWEW=5.7,當(dāng)p1=0.9時(shí)，LWEW=1.8。因此，相比于其他兩種網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度更容易受層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的影響。

2)當(dāng)p1+pαβ(pβγ)=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化幅度仍然較大，表現(xiàn)出復(fù)雜的變化趨勢；網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度相比網(wǎng)絡(luò)WEW變化幅度較小，相對穩(wěn)定，且其值小于網(wǎng)絡(luò)WEW。

2.3.2 層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同

本小節(jié)在層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同(pαβ≠pβγ)時(shí)，對比分析了三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度變化情況。

根據(jù)式(6)計(jì)算得到如圖13a～13c所示的變化曲線。假設(shè)pαβ+pβγ=1，則3種三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度如圖13d所示。

圖13 三層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度

實(shí)驗(yàn)仿真得出如下結(jié)果：

1)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不同(pαβ≠pβγ)，且隨層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pβγ和pαβ的增加，網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度減小，變化范圍比其他兩種網(wǎng)絡(luò)都小，網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化范圍最大。LEEE=[1.52,1.82]。網(wǎng)絡(luò)BEB的平均路徑長度在pβγ=0.6之前隨pαβ的增加而減小,pβγ=0.6后變化幅度較大，LBEB=[1.63,3.45]。網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化相對復(fù)雜，當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.1，pβγ=0.1時(shí),LWEW=2.2，當(dāng)pβγ=0.9時(shí)，LWEW=4.2。當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pαβ=0.3，pβγ=0.1時(shí)，LWEW=2.02，pβγ=0.9時(shí)，LWEW=1.7。在pαβ=0.5和pαβ=0.7時(shí)隨pβγ的增加處于平穩(wěn)狀態(tài)。由此可見，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率pβγ和pαβ的增加，使網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度比另外兩種網(wǎng)絡(luò)更容易被影響。

2)當(dāng)pαβ+pβγ=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度相對穩(wěn)定；網(wǎng)絡(luò)BEB和網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度曲線表現(xiàn)出復(fù)雜的變化情況,這兩種網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度值幾乎相等，直至pβγ=[0.7,0.9]，網(wǎng)絡(luò)WEW的值大于BEB。此外，網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度值比其他兩種網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度值小。

綜上所述，隨層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率和層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的增加，網(wǎng)絡(luò)EEE的平均路徑長度減小，表明其平均路徑長度容易受到層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率的影響；網(wǎng)絡(luò)BEB的平均路徑長度變化幅度較小，但其更容易受層間節(jié)點(diǎn)連邊概率的影響；網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度變化幅度較大，層間連接概率和層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率均會使其平均路徑長度變現(xiàn)出較大的變化趨勢。

3 結(jié)論

本文基于經(jīng)典的隨機(jī)算法、無標(biāo)度算法和小世界算法構(gòu)造了3種三層網(wǎng)絡(luò)模型，層間依賴關(guān)系采用隨機(jī)連接算法。深入研究和刻畫了層內(nèi)依賴關(guān)系和層間依賴關(guān)系對3種三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和特性的影響。基于本文的實(shí)驗(yàn)，我們得出如下結(jié)論：1)三層網(wǎng)絡(luò)中第一層網(wǎng)絡(luò)和第二層網(wǎng)絡(luò)的層間節(jié)點(diǎn)連邊概率與第二層網(wǎng)絡(luò)和第三層網(wǎng)絡(luò)的層間節(jié)點(diǎn)連邊概率相同且連邊概率取值較小時(shí)，3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布均保持單層網(wǎng)絡(luò)的度分布特性；層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值較大時(shí)，3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布均呈現(xiàn)雙峰特性。2)三層網(wǎng)絡(luò)中第一層網(wǎng)絡(luò)和第二層網(wǎng)絡(luò)的層間節(jié)點(diǎn)連邊概率與第二層網(wǎng)絡(luò)和第三層網(wǎng)絡(luò)的層間節(jié)點(diǎn)連邊概率不相同時(shí)，3種三層網(wǎng)絡(luò)的度分布均呈現(xiàn)出三峰特性；當(dāng)層間節(jié)點(diǎn)連邊概率取值較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)BEB中出現(xiàn)冪律和單峰同時(shí)存在的度分布形式。3)層內(nèi)節(jié)點(diǎn)連邊概率對網(wǎng)絡(luò)EEE的聚類系數(shù)影響相對較大，層間節(jié)點(diǎn)連邊概率對3種三層網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)影響較??；層間節(jié)點(diǎn)連邊概率對網(wǎng)絡(luò)EEE和網(wǎng)絡(luò)BEB的平均路徑長度影響較小，對網(wǎng)絡(luò)WEW的平均路徑長度影響較大?；诒疚臉?gòu)造的3種三層網(wǎng)絡(luò)模型后續(xù)可以探討網(wǎng)絡(luò)層數(shù)和其他參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)其他性質(zhì)的影響，如魯棒性、同步、傳播等。