盧 霖

(湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410205)

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心專業(yè)課程，也是一門理論與實際相結(jié)合的應(yīng)用型課程。目前，常微分方程已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于物理、生物、氣象、工程、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1-2]。教育部在《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》中指出“加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的主要任務(wù)和要求是：著眼于國家發(fā)展和人的全面發(fā)展需要，加大教學(xué)投入，強(qiáng)化教學(xué)管理，深化教學(xué)改革，堅持傳授知識、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)協(xié)調(diào)發(fā)展，更加注重能力培養(yǎng)，著力提高大學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實踐能力和創(chuàng)新能力，全面推進(jìn)素質(zhì)教育”。因此，為適應(yīng)當(dāng)前教學(xué)改革和素質(zhì)教育的需要，培養(yǎng)大批理論與應(yīng)用能力較強(qiáng)的復(fù)合型人才，結(jié)合師范類本科院校的培養(yǎng)目標(biāo)、常微分方程發(fā)展的現(xiàn)狀及主流趨勢，對傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)做了一些探索。

1 優(yōu)選教材，優(yōu)化內(nèi)容

根據(jù)師范類本科院校培養(yǎng)目標(biāo)以及學(xué)生的實際情況，我們選用了“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材，王高雄等編著的《常微分方程》(第三版)。此教材共有七章，其中第一章至第五章研究的是線性微分方程，該部分關(guān)注方程的定量求解；第六章研究的是非線性微分方程，該部分重點對微分方程進(jìn)行定性分析；第七章研究的是偏微分方程，它可以看作是與前六章獨立的一個板塊，也是微分方程的另一個分支領(lǐng)域。

隨著教學(xué)改革的不斷深入，專業(yè)課程的設(shè)置以及課時重新調(diào)整已是趨勢。由于學(xué)時的不斷減少，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容相對增加，這給教學(xué)帶來了不小的影響。通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某些普通本科高校把常微分方程的重點教學(xué)放在了前五章，以要求學(xué)生掌握常微分方程的初等解法為主要目標(biāo)；在時間允許的情況下次要講第六章；受限于學(xué)生的水平以及學(xué)時的限制，第七章及附錄幾乎不講。上述教學(xué)設(shè)計是有瑕疵的，可進(jìn)一步改進(jìn)。事實上，一方面，前五章幾類特殊的線性微分方程(組)的求解這一知識體系早在幾百年前就已經(jīng)非常成熟，第六章非線性微分方程的定性分析才是近代常微分方程研究的主流方向且目前仍在發(fā)展中。另一方面，當(dāng)前已是信息化時代，計算機(jī)技術(shù)在混沌、孤立子與分形、數(shù)值模擬中的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛前沿。 因此，在教學(xué)大綱的基本要求下, 本著重視基礎(chǔ)、突出重點原則，基于對師范生后續(xù)發(fā)展的考慮，我們對教材內(nèi)容進(jìn)行了優(yōu)化處理：

1. 將解的延拓、解對初值的連續(xù)性和可微性定理、一階線性偏微分方程作為選學(xué)內(nèi)容，教師只利用 2～ 3 課時給學(xué)生作簡單的指導(dǎo)。而將常數(shù)變易法、積分因子、解的存在唯一性定理、常系數(shù)線性方程(組)、Euler方程、穩(wěn)定性、V函數(shù)方法和奇點的分類作為重點講授內(nèi)容。

2. 第一章重點講授微分方程的基本概念，并把常微分方程模型應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模課程，介紹單擺模型、Logistic模型、傳染病模型、捕食模型、Lorenz模型，用MATLAB演示附錄Ⅱ中上述模型的軌跡圖，使同學(xué)們對常微分方程的研究背景有一個直觀理解。

3. 第二章講授恰當(dāng)方程時, 聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中曲線積分的相關(guān)知識, 補(bǔ)充恰當(dāng)方程的線積分求解公式[3]。

4. 第三章講授解的存在唯一性定理的證明時，重點突出皮卡迭代和逐步逼近思想方法，它是研究微分方程解的存在性的一種重要工具。

5. 第四章與第五章統(tǒng)一起來講授，建立高階微分方程與一階線性微分方程組之間的關(guān)系，這使得章節(jié)之間具有聯(lián)系性，在敘述上使第四章與第五章更加簡潔直觀。對于齊次與非齊次線性微分方程(組)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生對比高等代數(shù)中相應(yīng)的概念與解的性質(zhì)[4]。

6. 講授第六章非線性微分方程時，一定要強(qiáng)調(diào)與前五章的研究方法和側(cè)重點的區(qū)別：第六章非線性微分方程主要是對微分方程進(jìn)行定性分析，前五章主要是對微分方程進(jìn)行定量計算。結(jié)合文獻(xiàn)[5]，對教材第六章零解穩(wěn)定性授課做如下安排。當(dāng)特征方程沒有零根或零實部時，非線性微分方程與線性微分方程零解的穩(wěn)定性態(tài)一致。此時，非線性微分方程零解的穩(wěn)定性容易分析。當(dāng)特征方程沒有正實部的根，但有零根或者零實部的根時，非線性微分方程的穩(wěn)定性態(tài)不能由線性方程近似代替。此時，可用構(gòu)造V函數(shù)的方法分析非線性微分方程零解的穩(wěn)定性。某些復(fù)雜的常微分方程無法構(gòu)造出V函數(shù)，所以需要引入新的方法來判斷非線性微分方程零解的穩(wěn)定性。當(dāng)前比較前沿的一種方法是利用KAM理論和牛頓迭代法，該部分內(nèi)容留給有余力完成的同學(xué)自學(xué)。對于含參數(shù)的常微分方程，方程零解的穩(wěn)定性依賴于參數(shù)。當(dāng)參數(shù)變化時，方程的平衡點的個數(shù)、穩(wěn)定性態(tài)可能發(fā)生改變，此時可分析系統(tǒng)的分支、混沌現(xiàn)象。該部分內(nèi)容留給有余力完成的同學(xué)自學(xué)。

2 滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)邏輯思維

思維是認(rèn)識的高級階段，即通常人們所指的理性認(rèn)識階段。形象思維與抽象思維是人類思維的兩種基本形式，抽象思維即邏輯思維，它是指人們在認(rèn)識過程中借助于概念、判斷、推理反映現(xiàn)實的過程，是科學(xué)研究的基本思維方式，它以科學(xué)的抽象概念揭示事物的本質(zhì)，敘述認(rèn)識現(xiàn)實的結(jié)果[6]。數(shù)學(xué)邏輯思維是建立在邏輯思維和形象思維基礎(chǔ)之上的一種理性思考方式。通過常微分方程的教學(xué)，期望能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。例如，學(xué)生曾提問：“為什么常微分方程課本第六章會講授混沌，什么是混沌，為什么研究它？” 為了培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，組織學(xué)生開展以“蝴蝶效應(yīng)”為主題的小組活動，講授思路、步驟如下：

1.讓學(xué)生分組課下自行查閱、搜集相關(guān)文獻(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生了解蝴蝶效應(yīng)故事背景等。

2.在教師的引導(dǎo)下對蝴蝶效應(yīng)的定義進(jìn)行概括性描述：“蝴蝶效應(yīng)是指初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極大的差別”。美國學(xué)者洛倫茲認(rèn)為：“盡管擁有高速計算機(jī)和精確地數(shù)據(jù)測量，也難以獲得準(zhǔn)確的長期的天氣預(yù)報”。

3.蝴蝶效應(yīng)是混沌現(xiàn)象的一個最經(jīng)典例子，引出混沌的精確定義。

4.提出疑問、自問自答。既然混沌是混亂的不可預(yù)測的，那么是不是混沌就沒有一點規(guī)律可循？ 事實上不是的。哲學(xué)指出，世界萬物都是在不斷變化的，無序與有序是相輔相成的，無序中也蘊含著有序。看似雜亂無章的混沌并不是完全隨機(jī)的，相反，它卻是有跡可循的，有著內(nèi)在普適的規(guī)律。混沌的主要研究領(lǐng)域之一就是混沌控制理論。

5.混沌理論的前沿應(yīng)用與展望。混沌理論已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如商業(yè)周期研究、動物種群動力學(xué)、行星運轉(zhuǎn)軌道、半導(dǎo)體電流、醫(yī)學(xué)預(yù)測 (如癲癇發(fā)作)、天氣預(yù)報等。當(dāng)今世界仍存在著無限可能，混沌這個課題才剛剛開始并且會不斷地發(fā)展下去。

上述授課安排體現(xiàn)了層次遞進(jìn)的數(shù)學(xué)邏輯思維，從“混沌的研究背景-蝴蝶效應(yīng)”到“混沌的精確定義”，再到“研究內(nèi)容”，最后到“前沿應(yīng)用與發(fā)展趨勢”，較清晰地解答學(xué)生的疑問。

3 課程教學(xué)中存在的問題與改進(jìn)

作為師范類本科院校，不僅承擔(dān)著傳授學(xué)生知識的任務(wù)，同時承擔(dān)著為我國培養(yǎng)優(yōu)質(zhì)師范生的責(zé)任。然而通過常微分方程的聽課與交流，發(fā)現(xiàn)有些年輕教師在課程教學(xué)方面存在問題。受文獻(xiàn)[7-8]的啟發(fā)并結(jié)合常微分方程課程特點，本文給出具體問題和改進(jìn)方案如下：

1.教學(xué)方法形式單一，學(xué)生參與教育實踐環(huán)節(jié)薄弱。目前，由于課時量的限制，很多高校教師對常微分方程基本是按傳統(tǒng)方式授課——教師講學(xué)生聽，缺乏互動，缺乏學(xué)生探索。 本文認(rèn)為，應(yīng)該把講授、討論、演示、自主探索等教學(xué)方法根據(jù)不同章節(jié)靈活運用。

第一章建議采用自主學(xué)習(xí)和課堂討論的方式教學(xué)，讓學(xué)生了解常微分方程的發(fā)展歷史、主要研究問題、如何用方程建立數(shù)學(xué)模型，同時教師演示利用MATLAB處理一些微分方程模型的圖像等。

第二章至第五章，建議采用PPT與傳統(tǒng)板書相結(jié)合、學(xué)生與教師互動的教學(xué)方法進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)。尤其第三章講授“解的存在唯一性定理”證明時，由于證明過程非常長且思路繁瑣，該部分更應(yīng)該用PPT展式證明思路和方法概要，并用板書補(bǔ)充細(xì)節(jié)。

第六章“微分方程定性理論”，其內(nèi)容主要包括奇點的分類、解的穩(wěn)定性、V函數(shù)的構(gòu)造等。這部分內(nèi)容是重難點、前沿內(nèi)容，應(yīng)以教師講授為主。因為學(xué)生對該部分掌握是否扎實，直接關(guān)系到對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和研究。對于分支、混沌等選修內(nèi)容，建議留給學(xué)生自學(xué)探索為主，把全班學(xué)生分成幾個小組，把章節(jié)下放到每個組，由小組自行組織探討學(xué)習(xí)，然后抽取兩個課時集中匯報、教師點評，此時教師可利用MATLAB畫出分支圖，數(shù)形結(jié)合直觀地展示該部分研究內(nèi)容，便于同學(xué)們理解。這樣既節(jié)約了時間，同時又提升了學(xué)生的參與和探索能力，并且對師范生教學(xué)有啟發(fā)作用，有利于他們今后的教學(xué)研究。

2.教學(xué)內(nèi)容較陳舊，沒有緊跟前沿研究動態(tài)及時更新、補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容。傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)過多側(cè)重于求精確解，例如求一階線性微分方程(組)的精確解，或者求常系數(shù)非齊次線性微分方程在特殊條件下的精確解。然而事實上很多方程或者動力系統(tǒng)無法求精確解，例如Riccati方程、N體問題等。隨著常微分方程近幾十年的快速發(fā)展，目前該課程的研究領(lǐng)域更側(cè)重于定性分析、求近似解、數(shù)值模擬等內(nèi)容，這些研究內(nèi)容又與“偏微分方程”“泛函微分方程”“脈沖微分方程”“控制理論”等專業(yè)研究課程緊密聯(lián)系。在學(xué)時范圍內(nèi)適當(dāng)補(bǔ)充一部分國內(nèi)外最新研究內(nèi)容和動態(tài)，旨在使學(xué)生在后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)中對前沿知識有初步的了解，有利于學(xué)生把握這門課程的發(fā)展方向，為后續(xù)研究生階段的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

4 考核方法改進(jìn)

考試是教學(xué)過程的重要組成部分，是衡量學(xué)生學(xué)習(xí)能力和評估教學(xué)質(zhì)量的有效手段。 純粹的閉卷考核強(qiáng)調(diào)記憶和理論，忽略了實踐環(huán)節(jié)，在某種程度上存在缺陷。 因此，改革“一考定終身”的考核制度具有重要意義。受文獻(xiàn)[9]啟發(fā)并結(jié)合課程的特點, 對于常微分方程課程的考核，可以采用“多模塊綜合評價”的考核方法?？己丝煞譃槠綍r成績、期中成績、期末成績、實踐考查四個環(huán)節(jié)，并對每個環(huán)節(jié)設(shè)置相應(yīng)的分值比例，最后取總評成績。具體來說，平時成績占10%，期中成績占30%，期末成績占40%，實踐考查占20%。

1.平時成績。由于出勤率、按時保質(zhì)完成作業(yè)是作為一名學(xué)生最基本要求之一，尤其對師范類本科生而言更是如此，他們不僅是學(xué)生，而且是祖國未來的教師，更應(yīng)該懂得言傳身教的道理。平時成績比例不宜設(shè)置過高，只需表達(dá)出對學(xué)生平時認(rèn)真上課的肯定態(tài)度即可。平時成績中上課考勤占 30%，學(xué)生必須按時上課，事、病假情況必須有審批假條，無假條按曠課處理； 課堂表現(xiàn)占 40%，主要考查學(xué)生課堂上參與討論、提問、發(fā)言的積極性；作業(yè)完成情況占30%，學(xué)生應(yīng)按時保質(zhì)完成作業(yè)，不會的可以查閱相關(guān)資料、與同學(xué)討論、到辦公室問老師，堅決杜絕雷同作業(yè)。

2.期中考試。采取閉卷考試的形式。由于只是為了對學(xué)生前半學(xué)期學(xué)習(xí)常微分方程課程的質(zhì)量與效果做一個考核、評價，因此，期中考試的分值占比應(yīng)低于期末考試。王高雄等編著的《常微分方程》(第三版)的特點是前半部分側(cè)重于對方程進(jìn)行求解，同時該課程教學(xué)大綱也明確要求學(xué)生熟練掌握對不同類型的線性微分方程的求解，因此該部分出題建議以計算題為主要題型，以便考查學(xué)生對不同類型的微分方程求解的基本功是否扎實。另一方面，適當(dāng)出一些基礎(chǔ)概念題，比如判斷方程是否線性、方程的階數(shù)、齊次與非齊次的概念等，以便學(xué)生理解、掌握對不同的微分方程進(jìn)行分類，并相應(yīng)地采取不同方法處理問題。

3. 期末考試。采取閉卷考試的形式。期末考試在每學(xué)期末的全?？荚囍芗邪才?，用于全面考核學(xué)生這一學(xué)期對常微分方程課程的總體掌握情況。建議期末考試試卷適當(dāng)包含一部分期中考試學(xué)過的內(nèi)容，一方面可使學(xué)生對前半學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，另一方面便于學(xué)生對整個內(nèi)容有較系統(tǒng)的理解。期末考試的題型和難度要有一定區(qū)分度，可以含有論述微分方程解的存在唯一性定理、對微分方程的平衡解進(jìn)行定性分析等題型，有利于學(xué)生掌握常微分方程較前沿的理論知識。由于論述題部分內(nèi)容難度相對較大，建議分值設(shè)置不宜過高。

4. 實踐考查。該部分采取考查的形式。具體評分標(biāo)準(zhǔn)不做統(tǒng)一要求，由任課教師自行制定合理方案并報相關(guān)部門備案。實踐考查部分包含：學(xué)習(xí)利用MATLAB軟件解微分方程、畫微分方程的相圖、分支圖；課后分小組分工收集、探索微分方程近代有哪些研究領(lǐng)域以及研究方法；根據(jù)自己的興趣愛好選擇常微分方程的一個點寫一篇小論文；教師與考生進(jìn)行課程相關(guān)的問答，讓考生就某一主題發(fā)表評論及解答，題目不會很難，關(guān)鍵考查考生的知識積累、分析判斷能力、應(yīng)變能力，由記錄員做相應(yīng)記錄并由教師評分。學(xué)生可自行選擇一個考查內(nèi)容。這些考查內(nèi)容均具有較強(qiáng)的開放性，都與常微分方程課程緊密相關(guān)。該考查方式旨在充分調(diào)動學(xué)生思考的積極性，讓學(xué)生能夠根據(jù)興趣研究個性的發(fā)展，同時使得學(xué)生的學(xué)習(xí)充滿探究性，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。

以上考核制度應(yīng)在常微分方程課程的教學(xué)大綱中明確標(biāo)出，并由任課教師在本課程開講后的前兩周內(nèi)告知學(xué)生。“多模塊綜合評價”的考核方式不僅使學(xué)生掌握該課程的理論知識，同時反映了學(xué)生的各方面綜合素質(zhì)，突出了學(xué)生的探索能力，有利于師范類本科院校人才的培養(yǎng)。

5 結(jié)語

作為師范類本科院校，常微分方程課程的教學(xué)不僅關(guān)系到學(xué)生專業(yè)課學(xué)習(xí)，也關(guān)系到這些學(xué)生未來教育下一代的教育質(zhì)量。我們期望通過本課程的教學(xué)，學(xué)生能夠在專業(yè)理論知識、實踐探索、教學(xué)技能等方面得到提升。本教學(xué)方案的關(guān)鍵在于用發(fā)展的眼光調(diào)整、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和手段，既注重基礎(chǔ)知識講解又注重前沿知識探索，既注重教師啟發(fā)式教學(xué)又注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，把講授、討論、演示、自主探索等教學(xué)方法根據(jù)不同章節(jié)靈活運用，改進(jìn)考核方法，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，達(dá)到培養(yǎng)優(yōu)秀師范生人才的目標(biāo)。