聶少武，賴長(zhǎng)發(fā)，唐思成，黃菊花，張 華，徐 勇

(1.南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2.江西江鈴底盤(pán)股份有限公司，江西 撫州 344000；3.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

0 引言

弧齒錐齒輪具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)、重合度大等特點(diǎn)，在汽車、拖拉機(jī)等車輛的驅(qū)動(dòng)橋傳動(dòng)中得到廣泛應(yīng)用[1-2]?；↓X錐齒輪的加工方法主要有刀傾法和變性法兩種，其中，刀傾法具有較強(qiáng)的齒面修正能力，在齒輪加工領(lǐng)域應(yīng)用較廣，許多科研人員對(duì)其進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3-4]建立了刀傾法加工的切齒數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了刀傾法齒面方程。文獻(xiàn)[5-7]研究了刀傾法在5軸數(shù)控機(jī)床上的實(shí)現(xiàn)方法，求解出了5個(gè)數(shù)控軸的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)。文獻(xiàn)[8-9]提出了刀傾法的齒面誤差修正方法，建立了齒面誤差修正數(shù)學(xué)模型，并對(duì)誤差修正算法進(jìn)行了分析。通過(guò)上述研究發(fā)現(xiàn)：刀傾法的理論數(shù)學(xué)模型、加工實(shí)現(xiàn)及齒面修正都非常復(fù)雜，對(duì)機(jī)床的加工能力要求較高，一般需要在復(fù)雜的帶刀傾機(jī)構(gòu)的機(jī)床或者5軸數(shù)控機(jī)床上才能加工，機(jī)床成本高。

格里森公司開(kāi)發(fā)的錐齒輪設(shè)計(jì)計(jì)算軟件(CAGE軟件)，可以實(shí)現(xiàn)齒面的設(shè)計(jì)、加工、測(cè)量及修正等，但針對(duì)弧齒錐齒輪刀傾全展成加工方法(大輪無(wú)刀傾展成、小輪刀傾展成)，多數(shù)情況下計(jì)算出的小輪刀傾角可控制在5°以內(nèi)，這時(shí)小輪能否采用無(wú)刀傾加工成為科研人員比較關(guān)注的一個(gè)課題。因?yàn)樾≥啿捎脽o(wú)刀傾加工，不僅可以簡(jiǎn)化機(jī)床結(jié)構(gòu)，降低機(jī)床成本，而且可以提高切齒及齒面修正效率。

基于此，本文針對(duì)弧齒錐齒輪刀傾全展成加工方法，提出了一種基于齒面等效失配的小輪無(wú)刀傾切齒齒面修正方法。以格里森軟件理論齒面失配圖為目標(biāo)，將小輪刀傾角為0°的實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖進(jìn)行比較，通過(guò)優(yōu)化小輪加工參數(shù)，實(shí)現(xiàn)小輪實(shí)際齒面向目標(biāo)齒面的逼近，最終得到與理論齒面失配關(guān)系等效的弧齒錐齒輪小輪無(wú)刀傾切齒參數(shù)。

1 小輪無(wú)刀傾切齒齒面修正流程

圖1給出了弧齒錐齒輪小輪無(wú)刀傾切齒齒面修正流程。在圖1中，首先借助格里森錐齒輪設(shè)計(jì)計(jì)算軟件得到原始理論切齒參數(shù)，將原始理論切齒參數(shù)代入到齒面方程，得到小輪和大輪的設(shè)計(jì)齒面，通過(guò)齒面失配構(gòu)建方法得到目標(biāo)齒面失配圖。同時(shí)，將小輪刀傾角設(shè)置為0°，代入小輪齒面方程，得到小輪誤差齒面，利用小輪誤差齒面和大輪設(shè)計(jì)齒面，構(gòu)建出實(shí)際齒面失配圖。然后，通過(guò)比較實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖，計(jì)算出小輪誤差齒面與目標(biāo)齒面之間的偏差。最后，通過(guò)消除偏差，修正小輪加工參數(shù)，得到小輪無(wú)刀傾切齒參數(shù)。

圖1 弧齒錐齒輪小輪無(wú)刀傾切齒齒面修正流程

2 齒面失配圖的構(gòu)建

圖2 弧齒錐齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型

根據(jù)弧齒錐齒輪嚙合的位置及運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立如圖2所示的弧齒錐齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型。圖2中，小輪軸線X1與大輪軸線X2之間的軸夾角為90°；S1(X1,Y1,Z1)為與小輪固連的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，繞小輪軸線X1旋轉(zhuǎn)，當(dāng)前轉(zhuǎn)角為φ1；S2(X2,Y2,Z2)為與大輪固連的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，繞大輪軸線X2旋轉(zhuǎn)，當(dāng)前轉(zhuǎn)角為φ2；坐標(biāo)系Sd(Xd,Yd,Zd)和Sb(Xb,Yb,Zb)為輔助坐標(biāo)系，固定不動(dòng)；△E為弧齒錐齒輪小輪與大輪軸線之間的垂直安裝誤差。

根據(jù)刀傾法切齒加工數(shù)學(xué)模型[3-4]，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和矢量運(yùn)算，可得到大輪齒面方程和單位法矢，分別用r2(u2,θ2)和n2(u2,θ2)表示，這里u2,θ2分別為齒面的兩個(gè)參數(shù)坐標(biāo)。將大輪齒面方程和單位法矢轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sd中，可得：

(1)

其中：Mdb、Mb2為相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Ldb、Lb2分別為Mdb、Mb2刪去最后一行和最后一列得到的3×3矩陣，具體表達(dá)式如下：

在坐標(biāo)系Sd中，嚙合方程為：

(2)

定義小輪齒數(shù)為z1，大輪齒數(shù)為z2，齒數(shù)比m21=z2/z1。根據(jù)共軛齒面的求解原理[10-11]可知：在小輪與大輪的嚙合過(guò)程中，當(dāng)滿足φ2/φ1=z1/z2時(shí)，小輪齒面與大輪齒面完全共軛，從而可以求解出與大輪齒面完全共軛的小輪齒面。由式(2)可以求得φ2=φ2(u2,θ2)，將其代入到式(1)可消去變量φ2，得到坐標(biāo)系Sd中大輪齒面方程rd(u2,θ2)和單位法矢nd(u2,θ2)。

根據(jù)共軛關(guān)系可知φ1=m21φ2(u2,θ2)，因此將齒面方程rd(u2,θ2)和單位法矢nd(u2,θ2)轉(zhuǎn)換到小輪坐標(biāo)系S1中，可得只含兩個(gè)參數(shù)的齒面方程：

(3)

其中：M1d為坐標(biāo)系Sd→S1的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；L1d為M1d刪去最后一行和最后一列得到的3×3矩陣。由式(3)求解的齒面方程為與大輪齒面完全共軛的小輪齒面，其齒面方程為r1，單位法矢為n1，這里將該齒面定義為小輪基準(zhǔn)齒面。

圖3 小輪實(shí)際齒面與基準(zhǔn)齒面空間原始位置關(guān)系

圖4 齒面中點(diǎn)重合后小輪實(shí)際齒面與基準(zhǔn)齒面之間的位置關(guān)系

(4)

式(4)是一個(gè)含3個(gè)參數(shù)(u2、θ2、△δ)的非線性方程組，采用牛頓-拉弗森算法[15]求解，可得齒面偏差△δ。由所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)齒面偏差構(gòu)建的齒面偏差拓?fù)浞Q為齒面失配圖。

3 齒面等效失配的參數(shù)修正

圖5 小輪誤差齒面與小輪目標(biāo)齒面之間的偏差關(guān)系

根據(jù)加工參數(shù)修正數(shù)學(xué)模型[16-17]，可建立齒面偏差{△εi}與加工參數(shù)修正量{△ψq}之間的數(shù)學(xué)方程：

{△εi}=Siq{△ψq}，q=1～j，

(5)

其中：Siq為小輪加工參數(shù)誤差敏感性矩陣；j為修正的小輪加工參數(shù)個(gè)數(shù)。由于式(5)是一個(gè)超定方程組，為避免出現(xiàn)病態(tài)矩陣，可采用最小二乘法的奇異值分解(singular value decomposition,SVD)算法[18-19]進(jìn)行求解：

{△ψq}=(SiqTSiq)-1SiqT{△εi}。

(6)

針對(duì)弧齒錐齒輪刀傾全展成法加工，首先借助格里森軟件計(jì)算出小輪原始理論切齒加工參數(shù)；然后，將刀傾角設(shè)置為0°，其余小輪原始加工參數(shù)與式(6)計(jì)算出來(lái)的小輪加工參數(shù)修正量進(jìn)行疊加，便可得到與理論失配等效的弧齒錐齒輪小輪無(wú)刀傾切齒參數(shù)。

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，以一對(duì)刀傾全展成法加工的弧齒錐齒輪為例，對(duì)其工作面(小輪凹面/大輪凸面)進(jìn)行了切齒參數(shù)修正計(jì)算，其中小輪為左旋，大輪為右旋，表1為齒輪幾何參數(shù)。表2為格里森軟件的原始理論切齒參數(shù)(工作面)，其中：小輪外刀刀盤(pán)半徑為91.82 mm，外刀齒形角為16.75°；大輪內(nèi)刀刀盤(pán)半徑為93.05 mm，內(nèi)刀齒形角為20°。

表1 齒輪幾何參數(shù)

表2 格里森軟件的原始理論切齒參數(shù)(工作面)

圖6 仿真的目標(biāo)齒面失配圖(單位：μm)

利用開(kāi)發(fā)的齒面嚙合分析軟件，對(duì)表1和表2理論切齒參數(shù)進(jìn)行了失配仿真，仿真的目標(biāo)齒面失配圖如圖6所示。由圖6可以看出：小輪與大輪理論接觸位置位于齒長(zhǎng)中部和齒高中部，在齒長(zhǎng)方向和齒高方向均有一定的鼓形量，因此齒面為局部接觸，不會(huì)產(chǎn)生邊緣接觸。

將表2小輪凹面參數(shù)中的刀傾角和刀轉(zhuǎn)角設(shè)置為0°，其余參數(shù)不變，可構(gòu)建出小輪誤差齒面的實(shí)際齒面失配圖，并將其與圖6進(jìn)行比較，如圖7a所示。由圖7a可得到小輪誤差齒面與小輪目標(biāo)齒面之間的偏差，通過(guò)對(duì)小輪誤差齒面進(jìn)行優(yōu)化修正，最終優(yōu)化后的實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖如圖7b所示。由圖7b可以看出：優(yōu)化后的小輪誤差齒面與小輪目標(biāo)齒面非常貼合，在大端齒頂邊界點(diǎn)齒面偏差為-2.5 μm，大端齒根邊界點(diǎn)齒面偏差為-4.6 μm，小端齒頂邊界點(diǎn)齒面偏差為-4.6 μm，小端齒根邊界點(diǎn)齒面偏差為1.3 μm。小輪誤差齒面與小輪目標(biāo)齒面逼近效果理想，達(dá)到了修正要求，修正后的齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖實(shí)現(xiàn)了等效。

(a) 優(yōu)化前實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖

(b) 優(yōu)化后實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖

圖7 實(shí)際齒面失配圖與目標(biāo)齒面失配圖的優(yōu)化逼近(單位：μm)

無(wú)刀傾加工參數(shù)主要有刀盤(pán)半徑、刀具齒形角、徑向刀位、角向刀位、垂直輪位、床位、軸向輪位、輪坯安裝角及滾比等9個(gè)參數(shù)?？紤]到刀具齒形角在生產(chǎn)中不易修正，所以這里不將其作為修正項(xiàng)。此外，輪坯安裝角會(huì)影響到齒根和齒深，在生產(chǎn)中調(diào)整相對(duì)麻煩，鑒于表2中小輪切齒安裝角與其根錐角接近，所以這里也不將其作為修正項(xiàng)。最終確定需要修正的參數(shù)有7個(gè)，包括刀盤(pán)半徑、徑向刀位、角向刀位、垂直輪位、床位、軸向輪位及滾比，將這7個(gè)參數(shù)的修正量分別與表2小輪凹面的7個(gè)原始參數(shù)進(jìn)行疊加，得到了最終的小輪凹面無(wú)刀傾切齒參數(shù)，如表3所示。

表3 小輪凹面無(wú)刀傾加工參數(shù)修正量及最終切齒參數(shù)

由表3可以看出：刀盤(pán)半徑、軸向輪位及滾比的修正量為負(fù)值，表明這3個(gè)參數(shù)相對(duì)于原始參數(shù)有所減?。粡较虻段?、角向刀位、垂直輪位及床位的修正量為正值，表明這4個(gè)參數(shù)相對(duì)于原始參數(shù)有所增加。對(duì)表3中的小輪最終切齒加工參數(shù)進(jìn)行了齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)仿真，得到了修正后實(shí)際齒面接觸區(qū)及傳動(dòng)誤差曲線，如圖8所示。由圖8a可以看出：齒面接觸區(qū)位于齒長(zhǎng)中部和齒高中部，接觸區(qū)位置較為理想；齒面接觸區(qū)大小占齒面總面積的30%左右，滿足工程設(shè)計(jì)要求；齒面接觸跡線從大端齒頂走向小端齒根，有一定角度的傾斜，接觸區(qū)呈小角度的內(nèi)對(duì)角接觸，符合工程設(shè)計(jì)要求。由圖8b可以看出：傳動(dòng)誤差曲線呈開(kāi)口向下的拋物線形狀，且連續(xù)交叉，這表明齒廓方向有一定的修形，避免了邊緣接觸，可降低對(duì)安裝誤差的敏感性；傳動(dòng)誤差曲線交叉點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的幅值為-64 μrad，符合工程設(shè)計(jì)要求。圖8的TCA仿真結(jié)果表明：利用表3中的無(wú)刀傾切齒參數(shù)加工小輪，可以得到滿足工程要求的較理想的齒面嚙合性能。

(a) 齒面接觸區(qū)

(b) 傳動(dòng)誤差曲線

圖8 修正后實(shí)際齒面接觸區(qū)及傳動(dòng)誤差曲線

為了驗(yàn)證上述參數(shù)計(jì)算及仿真結(jié)果的正確性，在格里森無(wú)刀傾機(jī)構(gòu)銑齒機(jī)Y225上進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)切齒加工及齒面滾檢試驗(yàn)。在進(jìn)行接觸區(qū)滾檢時(shí)，需要在滾檢機(jī)上標(biāo)定理論安裝位置，然后大輪和小輪分別按理論安裝距進(jìn)行安裝。為了便于觀察齒面接觸印痕，需要在齒面上涂上紅丹粉，齒面上顯示的黑色區(qū)域?yàn)辇X面滾檢接觸區(qū)，如圖9所示。由圖9可以看出：實(shí)際滾檢接觸區(qū)位于齒長(zhǎng)方向和齒高方向中部，接觸區(qū)形狀近似為菱形，有輕微的內(nèi)對(duì)角，接觸區(qū)大小約占齒面的30%。對(duì)比圖9與圖8a可以看出：實(shí)際齒面接觸區(qū)的位置、大小、形狀及接觸區(qū)對(duì)角趨勢(shì)均與TCA仿真結(jié)果趨于一致，這表明利用本文提出的齒面修正方法，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)弧齒錐齒輪小輪的無(wú)刀傾切齒加工。

圖9 齒面滾檢接觸區(qū)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)弧齒錐齒輪刀傾全展成加工方法，提出了一種基于齒面等效失配的小輪無(wú)刀傾切齒齒面修正方法。通過(guò)將無(wú)刀傾小輪誤差齒面向小輪理論齒面逼近，修正小輪加工參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了小輪刀傾切齒參數(shù)向無(wú)刀傾切齒參數(shù)的轉(zhuǎn)化，保證了小輪能夠在無(wú)刀傾機(jī)構(gòu)銑齒機(jī)上加工。需要說(shuō)明的是，本文方法主要適用于小輪刀傾角較小(最好5°以內(nèi))的齒面修正，當(dāng)小輪刀傾角較大時(shí)，本文的優(yōu)化效果將會(huì)與理論齒面存在較大偏差，導(dǎo)致最終加工的齒面接觸區(qū)與理論設(shè)計(jì)有所偏離。