丁媛媛 費嶺峰

摘? ? 要

HPM是研究數(shù)學史與數(shù)學教育的關系，發(fā)揮數(shù)學史在小學數(shù)學教育中的價值，積極探尋將數(shù)學史融入課堂教學的方式。人教版《數(shù)學》四年級上冊“數(shù)的產(chǎn)生”是比較典型的“數(shù)學史”學習內(nèi)容。教學時，從重循發(fā)展之路、重構認知之序、重歷規(guī)則之美三個方面著手精心設計課堂教學，引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的重構體驗，為數(shù)學史與課堂教學的契合提供思路。

關鍵詞

數(shù)學史 認知規(guī)律 知識脈絡 思想方法

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），即研究數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系。早在19世紀，一些數(shù)學家和數(shù)學史家就開始關注數(shù)學史在數(shù)學教育中的價值。如美國數(shù)學史家卡約黎認為“學生所遭遇的往往是相關學科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實際困難”，所以數(shù)學史為教學提供了一面鏡子，是數(shù)學教學的有效工具[1]?，F(xiàn)使用的小學數(shù)學教科書中，也有一些借助數(shù)學史知識引導學生體驗數(shù)學知識形成過程的內(nèi)容，比如人教版《數(shù)學》四年級上冊“數(shù)的產(chǎn)生”一課，便是較為典型的內(nèi)容。

當然，在實踐中，數(shù)學史內(nèi)容的教學不能僅僅體現(xiàn)在數(shù)學情感、動機視角和激勵因素上，而且需要有對學生數(shù)學學習及數(shù)學活動本質的認識的學習目標定位。學生對一些數(shù)學概念的認識與古代數(shù)學家的認識相似，對某些概念理解上的困難與歷史上數(shù)學家遭遇的障礙一致，所以數(shù)學史融入小學數(shù)學教育的教學方式需要體現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學體驗的意義與價值[2]?，F(xiàn)以人教版《數(shù)學》四年級上冊“數(shù)的產(chǎn)生”一課的教學為例，談談如何將數(shù)學史有效地融入課堂教學之中的一些實踐與思考。

一、重循發(fā)展之路，形成認知規(guī)律

數(shù)學家龐加萊說：“若想預見數(shù)學的將來，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?！蔽覀冊跀?shù)學學習時，如果不知道知識的由來，那就無法體會到知識產(chǎn)生的必要性和存在的價值，也無法正確地理解和運用。所以，教師在設計教學時，引導學生經(jīng)歷數(shù)學家發(fā)明或發(fā)現(xiàn)知識的過程，經(jīng)歷知識形成的來龍去脈，也就是重走數(shù)學知識的形成之路，鼓勵學生去探索、歸納、概括、交流和內(nèi)化，不僅順應兒童好奇心重的心理特點，而且在學生的學習過程中能感受知識產(chǎn)生的必要性，激發(fā)學生的學習興趣，調動學生主動學習、自主建構知識的積極性。

教材通過簡單的3幅圖，展示了原始人的記數(shù)方法，隨后簡單說明了數(shù)字產(chǎn)生的緣由，并列舉了3種古代數(shù)字來揭示數(shù)字的發(fā)展，這樣的學習資源是靜態(tài)的、貧乏的，缺乏生動性和思考性，學生的學習并不能深入和產(chǎn)生共鳴。實踐中，我們進行了一定的補充和修改，讓教材上靜態(tài)的圖片結合技術變成動畫的情境圖：

出示幾幅原始人的生活場景圖，并引導：在遠古時代，我們的祖先為了生存，需要打獵和放牧，每次捕到獵物需要知道捕獲的數(shù)量，他們需要數(shù)數(shù)，記錄數(shù)的多少，你知道他們用的是什么方法嗎？

結合學生的猜測、議論，依次呈現(xiàn)教材上的“用實物記數(shù)”“刻道記數(shù)”與“結繩記數(shù)”等情境，然后繼續(xù)描述：隨著打獵水平越來越高，獵物也越來越多，繼續(xù)用這樣的記數(shù)方式，你有什么想法？

是的，就是因為很麻煩，慢慢的這樣的方法就被淘汰了，后來隨著語言的發(fā)展，人們發(fā)明了一些符號來記數(shù)，這些記數(shù)的符號就是最初的數(shù)字，呈現(xiàn)不同國家的記數(shù)符號。

繼續(xù)引導：由于每個國家的文化背景不同，所以各國的數(shù)字也不一樣。你對采用不同的符號記數(shù)有什么想法？隨著社會的發(fā)展，人們需要進行商品交易，數(shù)字不同很不方便，經(jīng)過很長時間逐漸統(tǒng)一成現(xiàn)在的“阿拉伯數(shù)字”。阿拉伯數(shù)字是誰發(fā)明的呢？教師對“阿拉伯數(shù)字的產(chǎn)生和流傳”的故事稍作展開。

最后再次發(fā)問：了解了“數(shù)”走過的路，你有什么想法和感受？

在教學過程中，教師運用多媒體呈現(xiàn)資料，把靜態(tài)的教材變成動態(tài)的、豐富的學習資源，讓學生的學習變得豐盈有趣，并通過4個關鍵問題的精心設問和適時追問，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，把學生的思維引向深入。讓學生在觀察、思考與交流中，解決“是什么”“為什么”的問題，切實體會到“‘數(shù)是隨人類生活、生產(chǎn)及社會的發(fā)展，經(jīng)歷了漫長的由具體到抽象，逐步發(fā)展和完善的歷史過程”[3]。在整個學習過程中，學生一次次解決問題，又一次次面臨挑戰(zhàn)，重走了古人的數(shù)學思考之路，促進學生對知識更好地理解和掌握。

二、重構認知之序，厘清知識脈絡

許多數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展常常經(jīng)歷比較長的歷史過程，“數(shù)”的產(chǎn)生也是如此。人類的智慧是從計數(shù)開始的，數(shù)的出現(xiàn)意味著數(shù)學的起源。在這個歷史過程中，會有一些關于這一數(shù)學知識整個發(fā)展過程的關鍵階段，這些標志性的階段是人類認識這一數(shù)學知識的必經(jīng)過程[4]。龐加萊指出：“教育工作者的任務就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳躍任何階段?！睂W生個體的心理過程和人類的認識過程是對應的，在教學中可以借鑒人類歷史上認識這一數(shù)學知識的主要階段，重新設計教學的順序，建構引導學生數(shù)學學習的序。

“數(shù)”的產(chǎn)生發(fā)展主要的歷史階段為：實物記數(shù)→符號記數(shù)→阿拉伯數(shù)字。

根據(jù)“數(shù)”產(chǎn)生的歷史發(fā)展順序及學生的具體情況，重構“數(shù)”產(chǎn)生的序，從古到今，設計三個環(huán)節(jié)。此“序”與教材編排比較，教材對這三個關鍵節(jié)點的呈現(xiàn)是無序和點狀的，學生看完后對于知識的理解和掌握仍舊是模糊和不自覺的。教師在教學設計時通過序的排列串聯(lián)，輔以板書的展現(xiàn)（如圖2），充分體現(xiàn)了“數(shù)”發(fā)展的教學架構，就像把散落的珍珠都串了起來，抓住了數(shù)產(chǎn)生的歷史脈絡，使學生知道所學知識的“前世今生”。

第二個環(huán)節(jié)符號記數(shù)的產(chǎn)生是“數(shù)”產(chǎn)生的第一個關鍵步驟，是本課學習的第一個突破。由遠古時代需要對物體的個數(shù)作出準確記數(shù)而形成的，體現(xiàn)以匹配為目的的一一對應的計數(shù)法開始，在人類歷史發(fā)展過程中不斷優(yōu)化發(fā)展。目的是既培養(yǎng)學生的符號意識，實現(xiàn)表征符號化，又讓學生領會到數(shù)學的發(fā)展是和人類文明的發(fā)展相聯(lián)系的。阿拉伯數(shù)字的產(chǎn)生是“數(shù)”產(chǎn)生的第二個關鍵步驟，是本課的核心，目的是幫助學生了解在人類文明的發(fā)展中數(shù)學的作用。通過讓學生了解古羅馬與中國商人進行商品交易時產(chǎn)生的交流障礙，感受到符號不統(tǒng)一帶來的后果，全世界統(tǒng)一的阿拉伯數(shù)字才會應運而生。這樣的教學從具體到抽象，從真實事例的再現(xiàn)到數(shù)字演變的過程，實際上就是數(shù)學的發(fā)展史。學生了解了數(shù)學的發(fā)展史，就能幫助學生理解數(shù)學，彰顯數(shù)學史在數(shù)學教學中的教育價值。

三、重歷規(guī)則之美，滋養(yǎng)思想方法

古羅馬數(shù)字是阿拉伯數(shù)字還沒有傳入歐洲之前使用的一種記數(shù)法，現(xiàn)在很多鐘表還在用它表示時間，比如上海外灘海關大樓上的大鐘就是用羅馬數(shù)字表示的。這種計數(shù)方法雖然沒有我們現(xiàn)在的十進制計數(shù)法那么方便，但在當時已經(jīng)非常先進了，具備其獨有的思維方式，而且具有藝術價值，被人們沿用至今[5]。在教學中增加認識古羅馬數(shù)字的環(huán)節(jié)，能拓寬學生的視野，激發(fā)學生思考，在古今不同方法的對比中，體會數(shù)學思維的靈活性、豐富性和創(chuàng)新性，得到數(shù)學思想方法的滋養(yǎng)。實踐中，我們組織了如下四個層次的學習活動。

1.聯(lián)手繪本——激發(fā)學習的欲望

引問：生活中哪里可以看到羅馬數(shù)字？

教師出示繪本《古羅馬人的數(shù)字》中的一幅圖片，問：你能讀出這個市政廳建造的年代嗎？（MCMLXVII表示哪一年呢？）你想認識羅馬數(shù)字嗎？

2.交流方法——感受組數(shù)的規(guī)則

呈現(xiàn)下表（4至10的羅馬數(shù)字記法是空著的）：

提出問題：羅馬數(shù)字的1、2、3是用什么表示的？4呢？

結合學生的回答說明規(guī)定：起初古羅馬人是用IIII來表示4的，但是這樣寫下去花的時間太多了，所以他們規(guī)定：基本數(shù)字連用不能超過三個，如果5用V來表示，那猜猜4怎么表示？

結合4與6的表示，補充規(guī)定：小數(shù)放在大數(shù)左邊，表示減;小數(shù)放在大數(shù)右邊，表示加。

練習：根據(jù)已學的兩條規(guī)則，嘗試表示7、8、9、10。

3.根據(jù)問題——翻越學習的障礙

教師適當引導學生梳理古羅馬數(shù)字的記數(shù)規(guī)則，并布置任務：用古羅馬數(shù)字試著寫出11～20，能寫出幾個就寫出幾個。

學生獨立完成后分兩個層次交流。

第一層次交流11、12、13的寫法，并說說理由。

第二層次交流14、19的寫法。

關于14，學生有兩種不同的記法：IXV和XIV。

分別請學生說明理由，并統(tǒng)一認識：XIV比較合理，因為 X表示10，IV表示4，10+4=14。

同理可知：19的記法為XIX，理由：10+9， XIX。

4.回顧比較——體悟組字的特征

呈現(xiàn)1至20的阿拉伯數(shù)字的記法與羅馬數(shù)字的記法的對比表，請學生再次討論梳理羅馬數(shù)字的記法規(guī)則，加深理解。

引導：看了阿拉伯數(shù)字的記法與羅馬數(shù)字的記法后，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學生：古羅馬數(shù)字第二行比第一行多加一個X。

學生：古羅馬數(shù)字和阿拉伯數(shù)字一樣，阿拉伯數(shù)字十幾在前面放一個10，后面加1、加2……

師：如果你把這個看懂了，21～30怎樣表示呢？

……

增加學習古羅馬數(shù)字這一環(huán)節(jié)有兩個原因：一是讓學生感悟古羅馬數(shù)字的字符由來以及組字規(guī)則;二是經(jīng)歷數(shù)字由復雜到簡便發(fā)展的過程，體會數(shù)學簡潔的思想。在教學中教師以古羅馬數(shù)字為中心，對相關的數(shù)學內(nèi)容進行聯(lián)想、類比，讓學生感悟數(shù)學，并對數(shù)學內(nèi)容進行深入地思考，逐步體會其中蘊含的數(shù)學思想，也使得我們的數(shù)學知識更豐盈，使數(shù)學思想方法反復滲透，提高學生的認識水平。

從以上的實踐中可以發(fā)現(xiàn)，HPM視角下的課堂教學是一個充滿活力、富有魅力的時空，它既影響了教師，也改變了學生。它讓教師通過研讀“數(shù)”產(chǎn)生的歷史，結合學生個體認知特征，緊抓發(fā)展過程中的關鍵轉折點，使學生知規(guī)律、清脈絡、懂方法，在重構的教學環(huán)節(jié)中推動關鍵問題的理解，體驗思想方法的美妙，這正是“數(shù)的產(chǎn)生”一課的價值所在。

參考文獻

[1] 汪曉勤.HPM視角下的小學數(shù)學教學[J].小學數(shù)學教師，2017（7，8）.

[2] 岳增成.中國HPM發(fā)展之路[J]. 教學月刊：小學版（數(shù)學），2019（11）.

[3] 人民教育出版社課程教材研究所小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書數(shù)學教師教學用書（四年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[4] 賈春波.歷史發(fā)生原理對小學數(shù)學教學的幾點啟示[J].教學月刊：小學版（數(shù)學），2017（7，8）.

[5] 張奠宙.小學數(shù)學教材中的大道理 [M].上海：上海教育出版社，2018.

[責任編輯：陳國慶]