郭志明

摘要：為了研究超橢圓纖維化，肖剛引入了一系列奇異性指數(shù).然而第二個(gè)奇異性指數(shù)的非負(fù)性仍是不確定的問(wèn)題.本文得到了局部情況下一組使第二個(gè)奇異性指數(shù)隨著虧格增大趨近負(fù)無(wú)窮的例子.此外，通過(guò)分析分歧軌跡，得到了指定虧格時(shí)奇異性指數(shù)的一個(gè)下界估計(jì).由此證明了g=2，3，4時(shí)纖維化第二個(gè)奇異性指數(shù)的非負(fù)性.

關(guān)鍵詞：代數(shù)曲面;超橢圓纖維化;奇異性指數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O187.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.007

Singularity indices of hyperelliptic fibrations

GUO Zhiming

（School of Mathematical Sciences，Soochow University，Suzhou Jiangsu 215006，China）

Abstract：Xiao introduced a series of singularity indices to survey hyperelliptic fibrations. However，it remains unknown whether the second singularity index，s，is non-negative. In this paper，I demonstrate a series of examples of degeneration of curves where s tends to -∞as the genus g grows. Moreover，I obtain a lower bound for sfor a given genus g，thereby confirming that the index s of fibrations for genus g=2，3，4 is non-negative.

Keywords：algebraic surfaces;hyperelliptic fibrations;singularity indices

0引言

本文中，除了特別指出的情形外，我們所說(shuō)的曲面都是指定義在復(fù)數(shù)域C上的代數(shù)曲面.曲面S在B上的一虧格為g的纖維化是指一個(gè)纖維連通的滿態(tài)射f：S→B.從歷史上看，纖維化的研究起源于Kodaira對(duì)緊復(fù)曲面的系統(tǒng)性研究，這也成為代數(shù)幾何中很多其他研究方向的開(kāi)端.

為研究橢圓纖維化，Kodaira首先完成了奇異纖維（實(shí)際也是纖維芽）的分類(lèi)與構(gòu)造[1].在這種情況下，這個(gè)分類(lèi)本質(zhì)上是由奇異纖維的拓?fù)鋯沃狄约澳｜c(diǎn)完全決定.

受Kodaira關(guān)于橢圓纖維化研究的啟發(fā)，人們嘗試著將類(lèi)似的方法推廣到高虧格纖維化上.然而此時(shí)遇到了種種橢圓纖維化時(shí)不曾遇到的困難：

（i）隨著虧格增大，奇異纖維的種類(lèi)會(huì)變得極多.

（ii）奇異纖維的類(lèi)型不能完全決定奇異纖維的芽[2].

（iii）即使奇異纖維的拓?fù)鋯沃狄约澳｜c(diǎn)一致，也不能說(shuō)明奇異纖維的芽同構(gòu)[3].

為此，Namikawa和Ueno[2]在拓?fù)鋯沃狄约澳｜c(diǎn)以外引入了“次數(shù)”這一某種意義上估計(jì)模映射的量，完成了g=2奇異纖維的分類(lèi).但是同時(shí)，上面發(fā)現(xiàn)的種種復(fù)雜現(xiàn)象也暗示著Kodaira意義下的分類(lèi)對(duì)于一般虧格纖維化已經(jīng)失去了實(shí)際意義.

此后，Horikawa[4-6]利用二次覆蓋和典范解消等技巧完成了虧格2纖維化奇異纖維的一種更實(shí)際的分類(lèi).受Horikawa的啟發(fā)，肖剛[7-8]通過(guò)引入一系列奇異性指數(shù)s，s，…，s，將Horikawa意義下的研究方法推廣至一般虧格超橢圓纖維化.與纖維化其他重要的不變量一樣，這些奇異性指數(shù)也可以局部化至臨界值.

由定義，s以外的奇異性指數(shù)都是非負(fù)的.一般地，我們無(wú)法確切知道s是否成立.但至少局部時(shí)，Kornio[9]構(gòu)造了第一個(gè)s（F）<0的局部纖維化.

設(shè)f：S→B是相對(duì)極小的虧格g超橢圓纖維化，本文的主要研究對(duì)象是奇異性指數(shù)s，特別是局部纖維化奇異纖維F的奇異性指數(shù)s（F）.對(duì)于局部纖維化的情況，我們構(gòu)造了一組隨著虧格增長(zhǎng)第二個(gè)奇異性指數(shù)趨近負(fù)無(wú)窮的例子（見(jiàn)例4），并通過(guò)分析對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)貢獻(xiàn)的分歧軌跡中的分支，給出了指定虧格時(shí)s（F）的一個(gè)下界，得到了如下結(jié)論.

定理1設(shè)f：S→B是一個(gè)虧格g、相對(duì)極小的超橢圓纖維化，F(xiàn)是f的一條奇異纖維，則

其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).

1預(yù)備知識(shí)

本章將簡(jiǎn)述奇異性指數(shù)的定義以及所需的基礎(chǔ)知識(shí)，更多的細(xì)節(jié)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-10].

如無(wú)特殊說(shuō)明，用f：S→B表示一相對(duì)極小的虧格g超橢圓纖維化，F(xiàn)表示臨界值p（∈B）上的奇異纖維.

定義1設(shè)D是S上的一條既約曲線.定義D的分歧指數(shù)為（K+D）D，這里K表示纖維化f的相對(duì)典范除子.

此時(shí)，分歧指數(shù)可以局部”至的臨界值.

事實(shí)上，取p∈B，設(shè)是D的正規(guī)化，與分別是中在下關(guān)于點(diǎn)p的水平與垂直分支.令.此時(shí)有

其中ω是對(duì)偶化層.于是，對(duì)于p∈B，我們可以定義：

（i）r（p）為在的所有點(diǎn)上，在通常意義下的分歧指數(shù)之和.

（ii）r（p）為的各不可約分支的拓?fù)銭uler示性數(shù)之和.

（iii）r（p）為上線叢的次數(shù).

記r=r（p）-r（p）+r（p），則對(duì)于D上的光滑點(diǎn)p，r=0.

稱(chēng)r是D在p的局部分歧指數(shù).

注1如果中有有理分支，那么r（p）>0，故r有可能為負(fù).

對(duì)于上述的f，一般纖維F的超橢圓對(duì)合σ可以誘導(dǎo)S的一個(gè)雙有理B-對(duì)合.因?yàn)閒相對(duì)極小，這個(gè)雙有理B-對(duì)合可以唯一擴(kuò)張為S的一個(gè)B-對(duì)合σ：S→S.

用表示對(duì)σ的所有孤立不動(dòng)點(diǎn)的爆發(fā)，是由σ誘導(dǎo)的的B-對(duì)合.則是一個(gè)光滑射影曲面，商映射是一個(gè)二次覆蓋.此外，f誘導(dǎo)了上的一個(gè)直紋.記此二次覆蓋對(duì)應(yīng)的二次覆蓋數(shù)據(jù)[2，5]為.

取的一個(gè)相對(duì)極小模型，是對(duì)應(yīng)的雙有理態(tài)射.將分解為爆發(fā)的復(fù)合：，其中ψ：P→P是以x∈P為中心的爆發(fā).令P=P，，，.對(duì)于每個(gè)二次覆蓋數(shù)據(jù)（R，δ），i=，r-1，…，1，歸納地定義R=（ψ）R，則R上x(chóng)的重?cái)?shù)為m.此時(shí)

此外，存在δ∈Pic（P），使得，R～2δ.通過(guò)R構(gòu)造[2]正規(guī)曲面S，使得S→P是在R分歧的二次覆蓋.記θ：S→P，可以看出存在雙有理態(tài)射τ：S→S，使得

記，則就是文獻(xiàn)[4]第2節(jié)意義下的典范解消.從二次覆蓋的角度看，就是既約偶除子在文獻(xiàn)[7-8]意義下的極小偶解消.

由于相對(duì)極小模型的選法不唯一，需要規(guī)定一種標(biāo)準(zhǔn)的選法.

定義2[7-8]的一個(gè)相對(duì)極小模型?：P→B稱(chēng)為是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型，如果上面定義的既約偶除子R滿足：

（i）R關(guān)于?的水平部分R上的奇點(diǎn)的階不超過(guò)g+1.

（ii）R是滿足（i）的的所有極小模型中最小的.

注2根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]，標(biāo)準(zhǔn)模型存在.

命題1[7]對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)模型?：P→B，如果纖維化的虧格g是偶數(shù)，則R上奇點(diǎn)的階至多為g+1.

為了計(jì)算中收縮的（-1）曲線的個(gè)數(shù)，需要引入下面這樣特殊的奇點(diǎn).

定義3[7-8]設(shè)R上的點(diǎn)x是階為2k+1的奇點(diǎn)，如果以x為中心的爆發(fā)產(chǎn)生的例外曲線E上只有唯一的一個(gè)2k+2階奇點(diǎn)y，那么，把兩個(gè)奇點(diǎn)的對(duì)（x，y）看作一個(gè)奇點(diǎn)，稱(chēng)作一個(gè)（2k+1→2k+1）型奇點(diǎn).根據(jù)二次覆蓋不變量的公式，我們還可以定義可忽略奇點(diǎn)：如果x是一個(gè)階為2或階為3的奇點(diǎn)，但不屬于某個(gè)（3→3）型奇點(diǎn)，那么稱(chēng)x為一個(gè)可忽略奇點(diǎn).如果x不是可忽略奇點(diǎn)，稱(chēng)其為不可忽略奇點(diǎn).

設(shè)是R的不可忽略奇點(diǎn)的偶解消，是對(duì)應(yīng)的既約偶除子.記是將中除去孤立垂直（-2）曲線后剩余的部分.

在進(jìn)行了以上的準(zhǔn)備后，我們便可以給出奇異性指數(shù)的定義了.

定義4[8]設(shè)?：P→B是f的標(biāo)準(zhǔn)模型，?在f（F）處的纖維為F.對(duì)于f的任意纖維F，定義第i個(gè)奇異性指數(shù)s（F）（i= 2，3，…，g+2）如下.

（i）F上R的（2k+1→2k+1）型奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和定義為s（F）（k≥1）.

（ii）F上R的階數(shù)是2k或者2k+1，且不屬于某個(gè)（2k+1→2k+1）或（2k-1→2k-1）型奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和定義為s（F）（k≥2）.

（iii）在f（F）上的局部分歧指數(shù)定義為s（F）.由于除了有限個(gè)F外s（F）=0，定義

為f的第i個(gè)奇異性指數(shù).如果不產(chǎn)生混淆，也可以記作s.由命題1，如果g是偶數(shù)，則s=0.

注3這里定義的奇異性指數(shù)以及關(guān)于奇異纖維的奇異性指數(shù)的合理性見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

具體的計(jì)算可以利用定義1來(lái)完成.

例1設(shè)（x，t）是上的局部坐標(biāo)，這里?是單位圓盤(pán).考慮由

y=x+t

定義的局部纖維化，F(xiàn)是0∈?處的奇異纖維.

由于R上有唯一一個(gè)（3→3）型奇點(diǎn).經(jīng)不可忽略奇點(diǎn)的偶解消，是3個(gè)光滑的局部分支的不交并.于是在0的局部分歧指數(shù)只有定義1意義下的r部分不為零，且每個(gè)分支對(duì)整體的貢獻(xiàn)量為2-1=1.于是，s（F）=3，s（F）=1.

根據(jù)定義，對(duì)于i=3，…，g+2，s≥0.但s的非負(fù)性并不是顯然的.這是因?yàn)橛勺?，在纖維芽（局部）的情況下，奇異纖維的第二個(gè)奇異性指數(shù)s（F）有可能為負(fù).有Konno的如下例子.

例2[9]設(shè)（x，t）是上的局部坐標(biāo)，這里?是單位圓盤(pán).考慮由

y=t（x+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）

定義的虧格g=5的局部纖維化，其中a，a，a是兩兩不同的非零復(fù)數(shù).F是0（∈?）上的奇異纖維.此時(shí)是由直紋P在0（∈?）上的纖維Γ在的原像以及12個(gè)水平光滑分支構(gòu)成的.于是奇異性指數(shù)s（F）僅有垂直（-4）曲線的貢獻(xiàn)量.由此，s（F）=-2.

關(guān)于s（F）的非負(fù)性，有以下已知的結(jié)論.

命題2[9]如果F是f在p上的奇異纖維，s（F）≠0，則s（F）≥g+1.

命題3[8]如果f：S→B是半穩(wěn)定的，F(xiàn)是f在p上的奇異纖維.那么s（F）≥O.

注4進(jìn)一步，劉小雷[11]通過(guò)比較半穩(wěn)定纖維化模不變量與奇異性指數(shù)之間的關(guān)系，給出了此時(shí)奇異性指數(shù)在?？臻g下的幾何意義.

命題4[8]如果f：S→B是虧格2的纖維化，F(xiàn)是p上的奇異纖維.那么s（F）≥0.

注5文獻(xiàn)[12]中實(shí)際上證明了此時(shí)奇異性指數(shù)由奇異纖維本身唯一決定，并且計(jì)算出了此時(shí)所有虧格2奇異纖維的奇異性指數(shù).

2奇異性指數(shù)的估計(jì)

本章中，f：S→B仍表示一相對(duì)極小的虧格g超橢圓纖維化.用F表示p（∈B）上的奇異纖維.

下面是除例2外另一個(gè)滿足s（F）<0的重要例子.

例3設(shè)（x，t）是上的局部坐標(biāo)，這里?是單位圓盤(pán).考慮由

y=t（x+t）（（x-t）+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）

定義的虧格g=5的局部纖維化，F(xiàn)是0（∈?）處的奇異纖維.其中a，a是不同的非零復(fù)數(shù).此時(shí)由以下部分組成：P在0上的纖維Γ在的原像C（這是一個(gè)垂直（-3）曲線），爆發(fā)奇點(diǎn)（0，0）產(chǎn)生的例外曲線在中的原像C′（也是一個(gè)垂直（-3）曲線）以及12個(gè)水平光滑分支.此外，C與C′橫截相交.奇異性指數(shù)s（F）為兩個(gè)垂直曲線C、C′的Euler數(shù)的和與通常二重點(diǎn)q=C∩C′的貢獻(xiàn)之和.經(jīng)計(jì)算得s（F）=-2.

從例2和例3這兩個(gè)例子可以看出，為了使s（F）取負(fù)值，偶解消時(shí)的奇點(diǎn)不能太一般.

為了估計(jì)s（F）可能的下界.我們需要考慮中對(duì)奇異性指數(shù)產(chǎn)生負(fù)的貢獻(xiàn)量的分支.可以證明，這樣的分支只有上面兩類(lèi)，這里的證明參考了文獻(xiàn)[9].

引理1設(shè)F是f的一個(gè)奇異纖維，若s（F）<0，則中含有關(guān)于p的垂直曲線D，其中，D是以下兩類(lèi)曲線之一：

（i）D=C+C′是中的孤立垂直曲線，且C=-2m-1，C′=-2n-l，C與C′橫截相交，這里m，n是正整數(shù).

（ii）D=C是中的孤立垂直（-2n）曲線，這里n是大于1的正整數(shù).并且經(jīng)計(jì)算知，的每一個(gè)這樣的分支都對(duì)s（F）產(chǎn)生-2的貢獻(xiàn).

證明由注1，中對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)的貢獻(xiàn)的分支是關(guān)于p垂直的有理曲線.設(shè)C是這樣的一個(gè)分支.注意到

由我們的取法，此式是負(fù)的.這意味著.

（i）假設(shè)，則C是孤立曲線，且其對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)為-2.由此C是的孤立垂直（-2n）曲線.根據(jù)的定義，n≥2.

（ii）假設(shè)，這意味著存在與C橫截相交的的分支C′.假如C′是水平分支，則此時(shí)C對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)為-1，因?yàn)橥ǔ６攸c(diǎn)C∩C′對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)為+2，所以對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)合計(jì)為+1，矛盾.因此，C′是垂直分支.如果，同樣的理由可以推出矛盾.從而，這意味著C+C′是孤立的曲線.經(jīng)計(jì)算，C+C′對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)為-2.

復(fù)雜的奇點(diǎn)使我們期待s（F）可能有一致下界.但下面這一系列的例子說(shuō)明，隨著虧格增大，s（F）可以趨向-∞.

例4設(shè)j是正整數(shù)，（x，t）是上的局部坐標(biāo)，考慮由

定義的虧格為9j-1的局部纖維化，F(xiàn)是0上的奇異纖維.以j=1為例，不可忽略奇點(diǎn)的偶解消如圖1所示.

類(lèi)似例2，可計(jì)算得s（F）=-4j.

由例4，不存在關(guān)于奇異性指數(shù)的統(tǒng)一下界，故我們的目標(biāo)是對(duì)于指定虧格g，找到s（F）的一個(gè)下界.

由于中對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)的貢獻(xiàn)的垂直分支只有引理1中的兩類(lèi)，故為了找到s（F）的一個(gè)下界，只需要估計(jì)對(duì)于指定虧格g的超橢圓纖維化f：S→B，中這兩類(lèi)垂直分支的個(gè)數(shù).注意到KF=2g-2，且f相對(duì)極小，于是對(duì)于F的任意分支Γ，KΓ≥0.

下面回到我們的問(wèn)題，為了估計(jì)s（F）的下界，只需要估計(jì)引理1中兩類(lèi)垂直曲線D的數(shù)量.為此，注意到為了得到引理1中的第1類(lèi)曲線，我們至少需要爆發(fā)2n個(gè)奇點(diǎn);為了得到引理1中的第2類(lèi)曲線，我們至少需要爆發(fā)2m+2n+1個(gè)奇點(diǎn).

如果爆發(fā)的奇點(diǎn)中存在如（3→3）型奇點(diǎn)，那么中分歧指數(shù)（定義1中的r（p））對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)至少為+2.從而我們需要忽略這種情況，只計(jì)算對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)貢獻(xiàn)的D的數(shù)量.由于今后的討論對(duì)于引理2中的兩種情況都類(lèi)似，本文只考慮（i）中的情況.

我們首先證明以下引理.

引理2設(shè)D=C為如上的曲線，直紋P→B在p的纖維為Γ.則C或者來(lái)自爆發(fā)Γ上的2n個(gè)不同奇點(diǎn)，或者來(lái)自爆發(fā)某個(gè)奇點(diǎn)后產(chǎn)生的例外曲線E，爆發(fā)E上的2n-1個(gè)不同奇點(diǎn).

證明假設(shè)C是來(lái)自爆發(fā)Γ上奇點(diǎn)得到的.如果爆發(fā)Γ上的奇點(diǎn)后，Γ的嚴(yán)格原像上仍有奇點(diǎn)，那么這個(gè)相切的（不可忽略）奇點(diǎn)對(duì)s（F）的分歧部分的貢獻(xiàn)（定義1中的r（p））大于+2，這樣D與我們的約定矛盾.于是，以上奇點(diǎn)都在不同位置.

如果C是某個(gè)落入分歧軌跡中的例外曲線爆發(fā)其上奇點(diǎn)產(chǎn)生的，同樣的理由，這些奇點(diǎn)也需要在不同的位置.

下面的引理是估計(jì)D數(shù)目的關(guān)鍵部分.

引理3對(duì)于引理2中每一個(gè)奇點(diǎn)的爆發(fā)，奇異纖維F中都至少存在分支?！?，使得K?！?.

證明考慮這樣的一個(gè)奇點(diǎn).設(shè)對(duì)這個(gè)奇點(diǎn)的爆發(fā)產(chǎn)生的例外曲線為E.如果經(jīng)過(guò)一次爆發(fā)，在E上分歧軌跡只有光滑點(diǎn)，或者通過(guò)計(jì)算分歧指數(shù)對(duì)s（F）的貢獻(xiàn)可知：為了使整體對(duì)s（F）的影響為負(fù)，或者分歧軌跡與例外曲線都是橫截交，或者存在一個(gè)2次相切的光滑點(diǎn).經(jīng)過(guò)分析，根據(jù)存在與不存在2次相切的光滑點(diǎn)，例外曲線的原像在F中或者是自交數(shù)為（-2）的橢圓或超橢圓曲線（根據(jù)交點(diǎn)數(shù)目），或者是自交數(shù)為（-2）帶一個(gè)結(jié)點(diǎn)且虧格分別比上面情況小1的曲線（這是由2次相切得到的）.但無(wú)論哪種情況發(fā)生，都說(shuō)明了奇異纖維F中至少存在分支?！洌沟肒?！洹?.

假如經(jīng)過(guò)一次爆發(fā)后例外曲線上分歧軌跡仍有奇點(diǎn).此時(shí)，為了使s（F）為負(fù)，由于可忽略點(diǎn)的導(dǎo)子的貢獻(xiàn)（定義1中r（p）的部分）至少為+2，這些奇點(diǎn)必是不可忽略奇點(diǎn).對(duì)這個(gè)不可忽略奇點(diǎn)的爆發(fā)產(chǎn)生的例外曲線是與Γ在F原像相連的是一個(gè)自交數(shù)至多（-4）的有理曲線?！?，KΓ′≥2.

下面，我們來(lái)證明本文的主要定理.

定理1的證明由上面兩個(gè)引理，對(duì)于引理1中對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)貢獻(xiàn)的任意D，對(duì)情況（i），奇異纖維F中至少存在分支?！洌沟肒?！洹?.對(duì)于情況（ii），也有相同的結(jié)論.

于是，中至多存在個(gè)對(duì)s（F）產(chǎn)生負(fù)的貢獻(xiàn)的垂直分支.每個(gè)這樣的垂直分支對(duì)s（F）有不超過(guò)-2的貢獻(xiàn)，故.

注6從證明可以看出，我們的不等式不是嚴(yán)格的.

作為推論，我們可以得到小虧格纖維化f的第2個(gè)奇異性指數(shù)是非負(fù)的.

推論1如果f：S→B是虧格g<5的相對(duì)極小超橢圓纖維化，則s（F）≥0.

證明當(dāng)g≠4時(shí)，直接由定理1可得結(jié)論.當(dāng)g=4時(shí)，由命題1，R上奇點(diǎn)的階最多為5.于是引理2中的第二種情況不可能發(fā)生.重復(fù)定理1的證明得.

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（責(zé)任編輯：林磊）