胡紅梅

摘要：辮子向量代數(shù)是辮子張量范疇中一類非常重要的霍普夫代數(shù).本文通過(guò)證明量子向量空間和辮子向量代數(shù)作為結(jié)合代數(shù)是同構(gòu)的，從而從量子包絡(luò)代數(shù)U（g）表示的角度詳細(xì)刻畫了辮子向量代數(shù)定義中的關(guān)系式，以及定義中兩個(gè)重要的R-矩陣R′，R滿足的三個(gè)等式關(guān)系的由來(lái).

關(guān)鍵詞：辮子向量代數(shù);R-矩陣;辮子張量范疇

中圖分類號(hào)：O154.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.004

Braided vector algebra V（R′，R）

HU Hongmei

（School of Mathematical Sciences，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu215009，China）

Abstract：Braided vector algebras are an important class of Hopf algebras in braided tensor categories. In this paper，it is shown that braided vector algebras are isomorphic to quantum vector spaces as associative algebras;hence，the algebraic structure of braided vector algebras and three equalities of the pair （R′，R）are recovered from representations of quantized enveloping algebras U（g）.

Keywords：braided vector algebras;R-matrices;braided tensor categories

0引言

量子群理論同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多分支、理論物理等都有著密切的聯(lián)系，一直吸引著很多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注.作為有限維單李代數(shù)g的普遍包絡(luò)代數(shù)U（g）的量子化的量子包絡(luò)代數(shù)U（g）是一類非常重要的量子群，且量子包絡(luò)代數(shù)U（g）的擬三角結(jié)構(gòu)使得它的表示范疇不再是簡(jiǎn)單的張量范疇，而是辮子張量范疇.辮子張量范疇的理論已經(jīng)被Majid在他一系列文章（[1-3]）中發(fā)展得比較完備. Majid將辮子張量范疇中的霍普夫代數(shù)稱為辮子群.特別地，Majid在文獻(xiàn)[4]中建立了辮子張量范疇中著名的雙重玻色化理論.粗略來(lái)說(shuō)，在一個(gè)擬三角的霍普夫代數(shù)的左（右）表示構(gòu)成的辮子范疇中，從和兩個(gè)相互對(duì)偶的辮子群出發(fā)，通過(guò)雙重玻色化在張量空間上構(gòu)造出唯一的霍普夫代數(shù)，使得兩個(gè)玻色化產(chǎn)生的霍普夫代數(shù)和可以作為子霍普夫代數(shù)被嵌入中.由此可見(jiàn)，雙重玻色化理論一方面可以構(gòu)造新量子群，另一方面，從李代數(shù)的Cartan數(shù)據(jù)出發(fā)，Majid構(gòu)造了一個(gè)霍普夫代數(shù)H，然后將量子包絡(luò)代數(shù)的“正（負(fù)）”部分看成表示范疇中相互對(duì)偶的辮子群，雙重玻色化理論得到的新量子群就實(shí)現(xiàn)了量子包絡(luò)代數(shù)U（g）.基于此，Majid認(rèn)為雙重玻色化理論使得所有的量子包絡(luò)代數(shù)U（g）都可通過(guò)一步步遞歸構(gòu)造得到.這個(gè)猜想已經(jīng)被文獻(xiàn)[5]、[6]等一系列文章所證實(shí).在這些文章的遞歸構(gòu)造中用到的一個(gè)非常重要的對(duì)象就是Majid在文獻(xiàn)[7]中定義的辮子向量代數(shù)V（R′，R）.但在文獻(xiàn)[7]中辮子向量代數(shù)V（R′，R）的定義（見(jiàn)下文）不能明顯地得到其代數(shù)關(guān)系，定義中用到的重要矩陣對(duì)（R′，R）滿足的三個(gè)等式（如下文式（1））的來(lái)源是什么都是不得而知的.這就引發(fā)了本文的研究動(dòng)機(jī)：希望能夠從量子包絡(luò)代數(shù)U（g）表示的角度去理解辮子向量代數(shù)定義中的結(jié)構(gòu)關(guān)系式，因?yàn)檗p子向量代數(shù)中重要的數(shù)據(jù)——R-矩陣是同量子包絡(luò)代數(shù)U（g）的擬三角結(jié)構(gòu)及其表示有著密切聯(lián)系的.本文的第1章介紹量子向量代數(shù)、量子向量空間、普遍R-矩陣等預(yù)備知識(shí);第2章介紹同樣與R-矩陣密切相關(guān)的量子向量空間概念，并在其與辮子向量代數(shù)之間建立作為結(jié)合代數(shù)的同構(gòu)關(guān)系（見(jiàn)定理1），從而可以通過(guò)量子向量空間去理解辮子向量代數(shù).

1預(yù)備知識(shí)

首先，我們來(lái)回憶Majid在文獻(xiàn)[7]中給出的辮子向量代數(shù)的定義.設(shè)R是一個(gè)可逆的R-矩陣，且存在另一個(gè)矩陣R′，滿足如下的關(guān)系式：

這里的矩陣P是通常的置換矩陣，即其第（ij）行第（kl）列的元素是.

定義1[7]辮子向量代數(shù)V（R′，R）是由1和生成的結(jié)合代數(shù)，且滿足關(guān)系式：

注記1辮子向量代數(shù)V（R′，R）是文獻(xiàn)[8]中著名的FRT-雙代數(shù)A（R）的右余表示辮子范疇中的代數(shù).同時(shí)它有一個(gè)對(duì)偶對(duì)象——辮子余向量代數(shù).是由1和生成的，且滿足關(guān)系式.

由上面的定義可以看出辮子向量代數(shù)V（R′，R）的代數(shù)關(guān)系式是由矩陣R′決定的，而R′是通過(guò)上面的關(guān)系式（1）和一個(gè)R-矩陣建立關(guān)系的.乍看上去，這個(gè)定義給得很奇妙，但矩陣對(duì)（R′，R）的關(guān)系式（1）是怎么得到的？而且代數(shù)關(guān)系式又是怎么得到的？這引發(fā)了本文對(duì)同樣與R-矩陣有密切關(guān)系的量子向量空間這個(gè)概念的關(guān)注.量子向量空間的定義如下.

定義2[9]設(shè)f={f，…，f}是帶有一個(gè)變量的復(fù)多項(xiàng)式f構(gòu)成的非空集合，R是任意可逆的R- 矩陣，V是帶有基x，…，x的N維向量空間，V′是其對(duì)偶空間.是張量代數(shù)T（V′）商去其雙邊理想的商代數(shù)，由作用在空間的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成.映射f（PR）其實(shí)是張量空間上的變換f（PR）的轉(zhuǎn)置.因此當(dāng)假設(shè)是由x，…，x生成的，則其代數(shù)關(guān)系式為

注記2量子向量空間也有一個(gè)對(duì)偶的對(duì)象，代數(shù)是張量代數(shù)T（V）商去雙邊理想的商代數(shù)，由作用在空間的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成. 也就是說(shuō)，是由x，…，x生成的代數(shù)，且滿足關(guān)系式：

下一章將建立這兩個(gè)對(duì)象之間的同構(gòu)，從而可通過(guò)量子向量空間來(lái)理解辮子向量代數(shù)的概念.

2同構(gòu)定理

復(fù)單李代數(shù)g的普遍包絡(luò)代數(shù)所對(duì)應(yīng)的量子包絡(luò)代數(shù)U（g）是一個(gè)帶有如下普遍R-矩陣的擬三角霍普夫代數(shù)（參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]），

因此從任意一個(gè)不可約的有限維U（g）-模T和普遍矩陣出發(fā)，都可以通過(guò)如下的等式來(lái)得到一個(gè)真正的R-矩陣，將其記為R.

其中映射B的定義是.首先設(shè)表示T的張量空間的分解為，而且假設(shè)這些直和項(xiàng)V是互相不同構(gòu)的，也就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的辮子矩陣PR是可對(duì)稱化的，其存在m個(gè)不同的特征值.將這m個(gè)不同的特征值記為λ，…，λ，因此辮子矩陣PR有如下關(guān)系式：

（PR-λI）…（PR-λI）=0.（4）

定理1令多項(xiàng)式

其中，λ≠0.從矩陣R出發(fā)可以找到矩陣對(duì)（R，R′），使得如下映射

φ：x→e，i=1，…，N，

給出量子向量空間和辮子向量代數(shù)V（R′，R）之間的結(jié)合代數(shù)同構(gòu).

證明首先設(shè)辮子矩陣PR的譜分解為

PR=λP+…+λP，（6）

可通過(guò)關(guān)系式（4）和得出譜分解中每個(gè)投射P（i=1，…，m）可以有如下形式：

另一方面，對(duì)每一個(gè)特征值λ，將關(guān)系式（4）左邊的每個(gè)因式項(xiàng)除以-λ，從而可得

然后令，再將式（7）的分子、分母的每個(gè)因式都除以-λ，可得

將式（9）代入式（8），則可得

因此，令

則有

然后通過(guò)關(guān)系式（10），得到矩陣對(duì)（R′，R）滿足如下等式：

（PR+I）（PR′-I）=0.（13）

同時(shí)將式（9）代入式（11），可得到矩陣R′其實(shí)是關(guān)于矩陣R的多項(xiàng)式形式，因此很容易驗(yàn)證矩陣R′滿足關(guān)系式（1）中的第一個(gè)和第三個(gè)等式.至此，從量子包絡(luò)代數(shù)不可約表示的張量積的譜分解的投射項(xiàng)中得到了辮子向量代數(shù)V（R′，R）定義中需要滿足關(guān)系式（1）的矩陣對(duì)（R′，R）.現(xiàn)在從這些同樣的數(shù)據(jù)出發(fā)，然后取定義2中的多項(xiàng)式集合f ={f（x）}，即只有一個(gè)元素構(gòu)成的集合.然后對(duì)于辮子向量代數(shù)V（R′，R）的關(guān)系式，有如下等價(jià)關(guān)系：

由式（5）確定的多項(xiàng)式f（x）及R，R′的定義，得到

其中第二個(gè)等式由式（10）得到.因此根據(jù)式（14）和式（12），可得

從而得證.

[參考文獻(xiàn)]

[1]MAJID S. Algebras and Hopf algebras in braided categories [J]. Lecture Notes in Pure and Appi Math，1994，158：55-105.

[2]MAJID S. Braided groups [J]. Pure and Applied Algebra，1993，86：187-221.

[3]MAJID S. Foundations of Quantum Group Theory [M]. Cambridge：Cambridge University Press，1995.

[4]MAJID S. Double-bosonization of braided groups and the construction of U（g）[J]. Math Proc Cambridge Philos Soc，1999，125：151- 192.

[5]HU H M，HU N H. Double-bosonization and Majid's Conjecture （I）：Rank-inductive of A，B，C，D [J]. J Math Phys，2015，56：1-16.

[6]HU H M，HU N H. Double-bosonization and Majid's Conjecture （IV）：Type-Crossings from A to BCD [J]. Sci China Math，2016，59：1061-1080.

[7]MAJID S. Braided momentum in the q-Poincarégroup [J]. J Math Phys，1993，34：2045-2058.

[8]KLIMYK A，SCHMüDGEN K. Quantum Groups and Their Representations [M]. Berlin：Springer-Verlag，1997.

[9]RESHETIKHIN N Y，TAKHTAJAN L A，F(xiàn)ADDEV L D. Quantization of Lie groups and Lie algebras [J]. Leningrad Math J，1990，1（1）：193-225.

（責(zé)任編輯：林磊）