陳國林

概率統(tǒng)計(jì)問題能夠較好地考查考生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)，該類問題能夠較好地融合在實(shí)際生產(chǎn)和實(shí)際生活之中，充分讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 下面主要通過實(shí)際例題，以概率統(tǒng)計(jì)命題的實(shí)際出發(fā)，綜合分析該類試題的命題素材.

一、以數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)為載體、落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

【例1】（2021河南鄭州一模）調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列所有正確結(jié)論的編號(hào)是（? ? ）

注： 90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

①互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上

②互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

③互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

④互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

A. ①②③? B. ①②④? C. ①③④? D. ②③④

【解析】由參保人數(shù)比例圖可知，54周歲以上參保人數(shù)最少，30周歲以上的人群約占參保人群的80%，所以選項(xiàng)A，選項(xiàng)D均正確;

由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種更受參保人青睞，所以選項(xiàng)C正確;

由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，18～29周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為20%，所以總費(fèi)用不一定最少.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表（或圖像））問題，多根據(jù)實(shí)際問題為命題背景，落腳于圖表（或圖像）分析，在求解時(shí)要明確圖表（圖像）中各數(shù)字的意義及作用，能夠分析數(shù)字或圖像的變化趨勢(shì)對(duì)實(shí)際結(jié)果的影響.

二、以時(shí)事熱點(diǎn)為命題素材，緊扣時(shí)代脈搏

【例2】（2021新高考Ⅰ卷）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題.? 每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束. A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列;

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【解析】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，

則，P（X=0）=1-0.8=0.2

P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32

P（X=100）=0.8×0.6=0.48，

所以X的分布列為：

（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為：

E（X）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，

若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，

則Y的所有可能取值為0，80，100，

P（Y=0）=1-0.6=0.4，

P（Y=80）=0.6×（1-0.8）=0.12，

P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，

則Y的期望為E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，

因?yàn)镋（Y）>E（X），

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

【點(diǎn)評(píng)】求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.

三、以傳統(tǒng)生活游戲?yàn)槊}素材，推陳出新

【例3】（2021新高考Ⅰ卷）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ? ）

A. 甲與丙相互獨(dú)立? ? B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立? ? D. 丙與丁相互獨(dú)立

【解析】由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），

【點(diǎn)評(píng)】以摸球游戲，抽簽游戲，紙牌游戲、套圈游戲等為命題背景的數(shù)學(xué)素材，是概率模型的常見命題模式，也是較為傳統(tǒng)的命題背景，這類素材最大的特點(diǎn)在于貼近學(xué)生的實(shí)際生活.

四、以科學(xué)探索為命題素材，注重知識(shí)融合

【例4】（2021新高考II卷）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代. 該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，p（X=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E（X）>1時(shí)，p<1;

（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.

【解析】（1）由題意p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，故E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

（2）證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3=1，則E（X）=p1+2p2+3p3，

（3）當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕;

當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

【點(diǎn)評(píng)】在2019年高考全國I卷中，概率問題與數(shù)列問題進(jìn)行了綜合考查，其中命題素材選取了以兩種新藥的研制為背景，而本題的選材大方向也是以科學(xué)探索為命題導(dǎo)向，不同點(diǎn)在于本題融合了函數(shù)問題.

五、以工業(yè)生產(chǎn)為命題素材，提升生產(chǎn)效率

【例5】（2021年高考全國甲卷）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

【解析】由題意，可得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，

所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

【點(diǎn)評(píng)】近年來，以實(shí)際生產(chǎn)生活的數(shù)學(xué)問題，命題難度一般不大，命題背景多是以對(duì)比分析，其中主要呈現(xiàn)形式有，甲、乙兩工廠，甲、乙兩個(gè)機(jī)床，甲、乙兩人等.

六、 針對(duì)練習(xí)

1.（2021安徽蚌埠模擬）北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)色彩系統(tǒng)的主色包括霞光紅、迎春黃、天霽藍(lán)、長城灰、瑞雪白;間色包括天青、梅紅、竹綠、冰藍(lán)、吉柿;輔助色包括墨、金、銀. 若各賽事紀(jì)念品的色彩設(shè)計(jì)要求：主色至少一種、至多兩種，間色兩種、輔助色一種，則某個(gè)紀(jì)念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍(lán)、銀色這三種顏色的概率為（? ? ）

2.（2021天津?yàn)I海七校聯(lián)考）中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神、看過電影“奪冠”后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動(dòng)，一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，現(xiàn)隨機(jī)抽取800個(gè)學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)分成六組[40，50），[50，60）…[90，100]，則成績落在[70，80）上的人數(shù)為（? ? ）

A. 12? ?B. 120? ?C. 24? ?D. 240

【答案】D

【解析】由于所有組頻率之和為1，即圖中所有小長方形的面積之和等于1，則成績落在[70，80）上的頻率為：

p=1-10×（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）=0.3，

而一共抽取800個(gè)學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，即樣本容量為800，

所以成績落在[70，80）上的人數(shù)為：800×0.3=240（人）.

3. 全社會(huì)厲行勤儉節(jié)約，反對(duì)餐飲浪費(fèi). 某市為了解居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包，進(jìn)行了一項(xiàng)“舌尖上的浪費(fèi)”的調(diào)查，對(duì)該市的居民進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，將獲得的數(shù)據(jù)按不同年齡段整理如下表：

假設(shè)所有居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包相互獨(dú)立.

（1）分別估計(jì)該市男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時(shí)間打包的概率.

（2）從該市男性居民中隨機(jī)抽取1人，女性居民中隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時(shí)打包，求X的分布列.