李文娟 馮維明 王少偉

(山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，濟(jì)南250061)

小變形概念是材料力學(xué)中非常重要的概念之一，涉及到幾何近似。材料力學(xué)中的眾多定義和演繹都是在小變形假設(shè)前提下完成的[1-3]。而利用小變形的概念建立變形幾何關(guān)系(或稱變形協(xié)調(diào)方程)是求解超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵所在，且引起許多高校任課教師的關(guān)注。常學(xué)平等[4]基于小變形假設(shè)對某超靜定結(jié)構(gòu)采用不同的幾何分析來建立變形協(xié)調(diào)方程，并做了有益的比較。鄧宗白等[5]對不同的幾何分析中帶來的誤差進(jìn)行了詳細(xì)分析，表明小變形假設(shè)的合理應(yīng)用所產(chǎn)生的誤差是可以接受的。周道祥[6]和熊慧而等[7]提供了利用小變形假設(shè)對較為復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)建立變形協(xié)調(diào)方程的方法。但鮮有文章考慮小變形假設(shè)的實(shí)質(zhì)，如認(rèn)識不清，有可能從看似合理的變形分析得出錯誤的結(jié)果，本文正是通過超靜定結(jié)構(gòu)建立變形協(xié)調(diào)方程的過程中產(chǎn)生的誤區(qū)，分析了小變形概念的本質(zhì)，即對高階無窮小量的理解，指出了在變形分析中應(yīng)用小變形假設(shè)的條件。

1 問題的提出

在材料力學(xué)緒論中，小變形假設(shè)是這樣敘述的：“假設(shè)實(shí)際構(gòu)件的變形以及由變形引起的位移與構(gòu)件的原始尺寸相比甚為微小。這樣，在研究構(gòu)件的平衡和運(yùn)動時(shí)，仍可按構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算”[3]。在研究拉壓超靜定問題中，許多教材都會講到這個(gè)例題。

如圖 1(a)所示的三桿桁架為一次超靜定問題。設(shè)1和2兩桿的抗拉剛度為EA，桿3的抗拉剛度為E3A3；α，F(xiàn)和l均為已知，求三桿的軸力。

圖1 三桿桁架的受力圖和變形圖

設(shè)桿1，2和3的軸力分別為FN1，F(xiàn)N2和FN3(圖1(b))，討論節(jié)點(diǎn)A，由靜力平衡方程可得

靜力平衡方程不可能將三個(gè)未知力全部解出，還需一個(gè)補(bǔ)充方程。結(jié)構(gòu)在力F的作用下節(jié)點(diǎn)A移動到A1點(diǎn) (圖 1(c))，由于桿 1與桿 2長度和抗拉剛度完全相同，A1點(diǎn)應(yīng)在CA的延長線上。連接BA1，DA1，線段BA1，DA1是桿1與桿2變形后的位置。以B為原點(diǎn)，BA為半徑畫弧交BA1于點(diǎn)E，設(shè)∠ABE=Δα。由于結(jié)構(gòu)變形為小變形，Δα?1，可用BA1的垂線段AE來代替圓弧，Δl1，Δl3分別為桿1，桿3的近似變形量。設(shè)結(jié)構(gòu)變形后桿1(或桿2)與桿3之間的夾角為α′，而α′=α-Δα≈α，因而有

式(2)兩次應(yīng)用了近似條件：一是“以直代曲”[5]，二是α′≈α。根據(jù)物理關(guān)系得到補(bǔ)充方程為

聯(lián)立式(1)和式(3)，可以解得3個(gè)桿的內(nèi)力分別為

從上述解的過程可以看到，建立變形協(xié)調(diào)條件關(guān)系式 (2)是求解超靜定問題的關(guān)鍵。下面我們用另外一套幾何關(guān)系來建立變形協(xié)調(diào)條件，由圖2

如前所述，考慮α′≈α，代入式(4)可得

圖2 三桿桁架的變形圖

由原始幾何關(guān)系：l1cosα=l3，代入式 (5)化簡后可得

比較式(2)和式(6)，發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)完全不同的變形協(xié)調(diào)方程，錯在哪里？

2 幾何分析

現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)中的幾何方法來分析一下式(4)。由圖2的幾何關(guān)系

由式(4)和式(7)可得

式(8)等式兩端平方并相加

注意由原始尺寸l1cosα=l3，展開并化簡可得

式 (9)即為變形協(xié)調(diào)方程的精確表達(dá)式。略去式中高階無窮小量 (Δl1)2和 (Δl3)2，再消掉式兩端l1，可得

式(10)與式(2)完全一致。另一方面也說明式(4)是正確的?，F(xiàn)在判斷式(5)出現(xiàn)了問題，難道將α′≈α代入到式 (4)有錯嗎？答案是肯定的。究竟錯在哪里，僅憑式(5)難以說明。我們從式(4)進(jìn)行分析，由三角形幾何關(guān)系(圖2)可得

將式(11)代入式(4)，得

式中，當(dāng) Δα足夠小時(shí)，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(12)變?yōu)?/p>

由原始幾何關(guān)系：l1cosα=l3，式(13)簡化為

由圖 1，弧長為lΔα，其近似垂線段為

1則有

略去式 (14)中的高階無窮小量 Δl1Δαsinα，并將式(15)代入可得

式(16)兩端同乘cosα，則有

式(17)與式(10)及式(2)完全一致。

比較式 (14)和式 (6)，發(fā)現(xiàn)式 (6)缺少了(l1+Δl1)Δαsinα項(xiàng)，這不是一個(gè)高階微量，是不能忽略的，說明式(4)到式(5)的近似是不正確的。

式(2)中兩次應(yīng)用了近似條件，現(xiàn)從幾何變形上給出一個(gè)合理的解釋。由圖2

或

將α′=α-Δα代入式(18)，則有

展開可得

對于小變形問題，Δα?1時(shí)，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(19)簡化為

略去式 (20)中高階無窮小量 Δl1Δαcosα，式 (20)可寫成

即在兩項(xiàng)近似關(guān)系下所得到直角三角形，誤差僅為一高階無窮小量。

3 數(shù)學(xué)分析

這里我們從更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析來求證上述問題[8]。首先要證明 Δl1與 Δα是同階無窮小量。圖2中，令這是結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí)唯一不變量，建立如下極限式

由洛必達(dá)法則

式(23)左端是常數(shù)，表明Δl1與Δα是同階無窮小量。由于α′=α-Δα，當(dāng)使用近似等式α′≈α?xí)r，有可能忽略了同階小量，這是式(5)的錯誤所在。下面完全用數(shù)學(xué)分析中的極限定義建立Δα→0+時(shí)Δl1與Δl3的關(guān)系。

式(24)求解過程中應(yīng)用了洛必達(dá)法則。由極限的性質(zhì)，得到精確表達(dá)式

其中β為一無窮小量，略去。式 (25)兩端同乘以cosα，則有

4 總結(jié)

事實(shí)上，靜力平衡方程 (式 (1))是利用了小變形假設(shè)，即α′≈α，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)為桁架系統(tǒng)，各桿為直桿，以節(jié)點(diǎn)A為研究對象的平衡方程是利用了結(jié)構(gòu)原始幾何關(guān)系而建立的。而其后的變形幾何關(guān)系式(2)也用到α′≈α，但不是小變形假設(shè)，而是小變形的近似幾何關(guān)系，筆者認(rèn)為，近似幾何關(guān)系就是低階無窮小量與高階無窮小量之間的舍取問題 (深入考慮一下，小變形假設(shè)歸根結(jié)底也是此類問題)。很顯然，方程(2)是小變形間的幾何關(guān)系式，α′≈α的近似等式應(yīng)該慎用。讀者可嘗試將等式α′=α-Δα代入式(2)中，展開并舍取高階無窮小項(xiàng)，仍可得到正確的變形協(xié)調(diào)方程，但對于式 (4)卻得到不同結(jié)果。為了避免上述錯誤，首先應(yīng)理解“小變形假設(shè)”與幾何小變形近似的不同；其次建立力學(xué)問題的精確數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)處理過程中合理使用 “小變形近似”。