基于殘差統(tǒng)計的三類北斗衛(wèi)星隨機(jī)模型估計與特性分析

王忠智, 苗維凱，沈云中

(同濟(jì)大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

GNSS觀測值的隨機(jī)模型應(yīng)該充分反映其物理相關(guān)性，包含不同衛(wèi)星之間的空間相關(guān)性、不同類型觀測值之間的交叉相關(guān)性和觀測歷元之間的時間相關(guān)性。 考慮物理相關(guān)性的隨機(jī)模型對GNSS高精度定位至關(guān)重要[1]。早期GNSS隨機(jī)模型主要采用高度角相關(guān)模型[2]，根據(jù)衛(wèi)星高度角對衛(wèi)星觀測值進(jìn)行加權(quán)；后來考慮了時間相關(guān)性和交叉相關(guān)性兩因素的影響[3-4]，此時隨機(jī)模型對基線解算結(jié)果影響不大，但是隨機(jī)模型能夠較為精準(zhǔn)定位；同時研究基于信噪比的隨機(jī)模型[5]，利用C/N0(1赫茲帶寬內(nèi)載波信號與噪聲功率之比)估計相位觀測值的方差。自相關(guān)、交叉相關(guān)函數(shù)和湍流理論[6]等方法用于分析物理相關(guān)性，方差分量估計(VCE)法也廣泛用于估計多種類型GNSS觀測值的隨機(jī)模型[7]。

傳統(tǒng)隨機(jī)模型對所有衛(wèi)星的同一類型觀測值按相同精度模型進(jìn)行高度角相關(guān)定權(quán)。然而，北斗系統(tǒng)包含靜止軌道(GEO)、傾斜軌道(IGSO)和中軌道(MEO)三類衛(wèi)星，忽略觀測值間的相關(guān)性對北斗系統(tǒng)影響比GPS系統(tǒng)更為顯著，因此需要更準(zhǔn)確估計和分析北斗觀測值的隨機(jī)模型?；贕eometry-based函數(shù)模型，本文直接利用觀測值殘差估值使用自相關(guān)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)計算北斗三類衛(wèi)星不同類型觀測值的物理相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了北斗衛(wèi)星觀測值高度角相關(guān)的精度、交叉相關(guān)性、空間相關(guān)性和時間相關(guān)性的特性。

1 基于幾何的單差函數(shù)模型

為了獲得北斗觀測誤差進(jìn)行隨機(jī)模型估計，必須要消除觀測值中的系統(tǒng)誤差。考慮到在短基線或零基線情況下，接收機(jī)間單差可消除觀測值的系統(tǒng)誤差，且該單差觀測值不存在數(shù)學(xué)相關(guān)性，與雙差觀測值相比更利于估計單顆衛(wèi)星的方差[8]。因此，以接收機(jī)間單差觀測值為基礎(chǔ)進(jìn)行隨機(jī)模型估計。

假設(shè)參考站和移動站同時跟蹤s顆衛(wèi)星，則短基線單歷元單差觀測方程在頻率j的形式為[8]：

(1)

單差整周模糊度aj和接收機(jī)鐘差δtj相關(guān)，因為系數(shù)λj，Is和es滿足：

(2)

所以需要重新參數(shù)化：

(3)

(4)

重新參數(shù)化的觀測方程為：

(5)

隨后，將利用長時間觀測值計算得到的基線向量和模糊度作為已知值，代入觀測方程(5)，得到基線向量和模糊度已知的單差觀測方程：

(6)

2 考慮物理相關(guān)性的隨機(jī)模型

估計出各類觀測的殘差，直接利用殘差估值，按下列方法分別計算各類觀測值的方差因子，空間相關(guān)性，交叉相關(guān)性和時間相關(guān)性。

2.1 各類觀測值的方差因子

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)，對于K個歷元的觀測值，第s顆衛(wèi)星觀測值方差分量為：

(7)

為了驗證自相關(guān)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)估計各類觀測值的方差因子，空間相關(guān)性，交叉相關(guān)性和時間相關(guān)性的可行性，本文采用MINQUE方法，對各類型觀測值的方差進(jìn)行準(zhǔn)確估計，并與直接利用殘差估值使用自相關(guān)函數(shù)計算得到的方差進(jìn)行比較。

MINQUE方差分量估計方法解算策略為K個歷元滑動解算s顆衛(wèi)星兩個頻率偽距和相位觀測值的方差因子。K個歷元的方差矩陣為[10]：

(8)

式中：k表示未知的方差分量σi的個數(shù)(k=4×s)，Ui為與σi對應(yīng)的系數(shù)矩陣(待估參數(shù)位置元素為1，其余位置元素為0)。則σi用下式計算：

(9)

其中

S=tr(CUiCUj)，

C=Q-1-Q-1B(BTQ-1B)-1BTQ-1，

W=[VTCU1CV,VTCU2CV,…,VTCUkCV]T.

將兩種方法計算得到的每顆衛(wèi)星每個歷元各類觀測值的方差取平均值作為觀測值最終的方差，并對每類觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，如表1所示。用B1C和B1L表示B1頻率的偽距和相位觀測值，B2C和B2L表示B2頻率的偽距和相位觀測值。

表1 自相關(guān)函數(shù)和MINQUE兩種方法估計的各類觀測值精度比較 m

通過對比兩種方法計算得到的各類觀測值的精度可以看出：直接利用殘差估值，使用自相關(guān)函數(shù)估計得到的觀測值精度與MINQUE方法估計得到的觀測值精度具有較好的一致性，證明此種簡單的估計方法是可行的?？紤]到在估計空間、交叉及時間相關(guān)系數(shù)時待估參數(shù)數(shù)量大，MINQUE方差分量估計方法計算效率將會大大降低，因此，在接下來對空間、交叉和時間相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估計時均采用交叉相關(guān)函數(shù)。

2.2 同類觀測值不同衛(wèi)星間的空間相關(guān)性

在單差模式下，空間相關(guān)性定義為不同衛(wèi)星的同一類型觀測值在同一歷元的相關(guān)性。根據(jù)交叉相關(guān)函數(shù)，對于K個歷元的觀測值，觀測值殘差和的空間相關(guān)系數(shù)定義為：

(10)

(11)

2.3 同一衛(wèi)星不同類型觀測值的交叉相關(guān)性

交叉相關(guān)性被定義為同一衛(wèi)星的不同類型觀測值在同一歷元的相關(guān)性。根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，對于K個歷元觀測值，交叉相關(guān)系數(shù)為：

(12)

式中：p，q表示觀測值類型，且ρpq=ρqp，第i個歷元所有觀測值的方差陣Qi為：

(13)

式中：Cpq和Cqp表示對角的交叉相關(guān)系數(shù)矩陣，

Cqp=diag(ρqp(1),…，ρqp(s))，Cpq和Cqp的形式相同。

2.4 同一衛(wèi)星同類型觀測值的時間相關(guān)性

時間相關(guān)性被定義為同一衛(wèi)星的同一類型觀測值在歷元之間的相關(guān)性。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，歷元間隔為τ的時間相關(guān)系數(shù)定義為：

τ=|i-j|,(i,j=1,…,K).

(14)

其中

因此，K個歷元觀測值的隨機(jī)模型可以表示為下面的形式：

(15)

3 實(shí)驗結(jié)果和分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

本文采用三種類型的雙頻北斗接收機(jī)收集4組北斗數(shù)據(jù)，采樣率為30 s，一組零基線，其余為短基線，具體信息見表2。在數(shù)據(jù)處理中，截止高度角設(shè)置為15°，直接利用觀測值殘差估值使用自相關(guān)和交叉相關(guān)函數(shù)估計物理相關(guān)的隨機(jī)模型。

3.2 北斗隨機(jī)模型的分析

在傳統(tǒng)隨機(jī)模型中，碼和相位觀測值的精度通常設(shè)置為0.2 m和2 mm，且忽略觀測值之間的物理相關(guān)性。而對于北斗系統(tǒng)，導(dǎo)航星座由GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星構(gòu)成，其隨機(jī)模型分別進(jìn)行估計和分析。

表2 北斗觀測數(shù)據(jù)信息

3.2.1 觀測值精度分析

以數(shù)據(jù)4為例對三類衛(wèi)星的觀測值精度進(jìn)行分析。定時間窗口K=6，直接利用殘差估值計算每顆衛(wèi)星每個頻率的載波相位和碼觀測值的方差，按照高度角對觀測值標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行排序，結(jié)果如圖1所示，其中不同顏色表示不同衛(wèi)星的標(biāo)準(zhǔn)差。由圖1可見，觀測值精度與高度角相關(guān)，因此采用式(16)對三類衛(wèi)星精度進(jìn)行擬合[11]：

σ=a1+a2e-θ/θ0.

(16)

式中：σ表示在衛(wèi)星高度角為θ時的觀測值標(biāo)準(zhǔn)差，a1和a2表示未知參數(shù)，θ0表示未知的參考高度角。

擬合曲線在圖1中標(biāo)出，其中藍(lán)色和紅色曲線分別表示B2和B1頻率的方差擬合結(jié)果；顯然，B1頻率偽距觀測值的精度高于B2頻率，而兩個頻率相位觀測值的精度相當(dāng)。在同一高度角下，GEO衛(wèi)星兩個頻率的偽距和相位觀測值精度都低于IGSO和MEO衛(wèi)星，說明對所有衛(wèi)星的同一類型觀測值采用同一精度指標(biāo)是不合理的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中對GEO衛(wèi)星的觀測值應(yīng)適當(dāng)降權(quán)。

圖1 數(shù)據(jù)4的三種衛(wèi)星高度角相關(guān)的精度

表3給出了三類衛(wèi)星相位和偽距的擬合參數(shù)，其中表示擬合誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差，偽距觀測值的單位為米，相位觀測值的單位為毫米?？煽闯鯣EO衛(wèi)星的偽距和相位擬合誤差均大于IGSO和MEO衛(wèi)星，IGSO衛(wèi)星的擬合誤差最小。

表3 數(shù)據(jù)4相位和碼觀測值的高度角相關(guān)擬合模型

3.2.2 交叉相關(guān)性分析

利用四組數(shù)據(jù)分析衛(wèi)星觀測值間的交叉相關(guān)性。對于給定的時間窗口，每顆衛(wèi)星的雙頻觀測數(shù)據(jù)共估計6個交叉相關(guān)系數(shù)，數(shù)據(jù)1全部衛(wèi)星觀測值的交叉相關(guān)系數(shù)如圖2所示，其中藍(lán)色表示5顆GEO衛(wèi)星的交叉系數(shù)，綠色表示5顆IGSO衛(wèi)星的交叉系數(shù)，紅色表示4顆MEO衛(wèi)星的交叉系數(shù)。

圖2 數(shù)據(jù)1的交叉相關(guān)系數(shù)

由于偽距觀測值的噪聲較大，偽距解算結(jié)果的噪聲比相位更大。在圖2中，三類衛(wèi)星的偽距和相位之間(B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L)的交叉相關(guān)系數(shù)總體上接近0。對于同一類型觀測值兩個頻率之間表現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性，GEO衛(wèi)星B1C和B2C之間的平均交叉相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.32，這說明對于Trimble NETR9接收機(jī)存在交叉相關(guān)性，在實(shí)際處理中交叉相關(guān)性不可忽略。

表4給出不同類型接收機(jī)的平均交叉相關(guān)系數(shù)，其中BC-BL表示B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L的平均值。不同接收機(jī)的觀測值相關(guān)程度不同，主要由接收機(jī)內(nèi)部因素影響。數(shù)據(jù)1和2對應(yīng)同一種接收機(jī)，B1C和B2C、B1L和B2L顯著相關(guān)，但相位和偽距之間的交叉相關(guān)性很小。對于數(shù)據(jù)3，B1C和B2C之間存在弱負(fù)相關(guān)，偽距和相位在不同頻率之間基本是獨(dú)立的。對于數(shù)據(jù)4，兩個頻率的偽距和相位觀測值基本不存在交叉相關(guān)。

表4 四組數(shù)據(jù)的平均交叉相關(guān)系數(shù)

3.2.3 空間相關(guān)性分析

利用數(shù)據(jù)2對三類衛(wèi)星間的空間相關(guān)性進(jìn)行分析。在給定的時間窗口K=6下，計算任意兩顆衛(wèi)星間四種類型觀測值的空間相關(guān)系數(shù)，假設(shè)某一歷元下觀測n顆衛(wèi)星，總共有4n×(n-1)/2個空間相關(guān)系數(shù)，數(shù)據(jù)2的空間相關(guān)系數(shù)如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)2的空間相關(guān)系數(shù)

圖3中，G表示GEO衛(wèi)星，S表示IGSO衛(wèi)星，M表示MEO衛(wèi)星?？傮w上兩個頻率偽距觀測值的空間相關(guān)系數(shù)大于相位觀測值的空間相關(guān)系數(shù)。表5給出四組數(shù)據(jù)不同衛(wèi)星之間空間相關(guān)系數(shù)的平均值。從表中可知，對于四組數(shù)據(jù)，GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關(guān)系數(shù)比其他類型衛(wèi)星之間的空間相關(guān)系數(shù)略大。并且GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關(guān)性呈由大到小的趨勢，推測主要原因是GEO衛(wèi)星相對地面幾乎靜止，IGSO相對地面運(yùn)行的速度也較MEO衛(wèi)星小。

表5 四組數(shù)據(jù)的平均空間相關(guān)系數(shù)

3.2.4 時間相關(guān)性分析

利用數(shù)據(jù)1和2分析三類衛(wèi)星觀測值的時間相關(guān)性。采用式(14)計算每顆衛(wèi)星每類觀測值的時間相關(guān)系數(shù)，對同一類衛(wèi)星的同一種觀測值取平均作為圖4和5中的結(jié)果。

圖4 數(shù)據(jù)1的時間相關(guān)系數(shù)

圖5 數(shù)據(jù)2的時間相關(guān)系數(shù)

圖4顯示零基線時間相關(guān)性非常小，幾乎接近零。主要原因是測站之間相關(guān)性太強(qiáng)，差分基本消除了全部誤差，觀測噪聲只剩下時間不相關(guān)的白噪聲。

隨著基線的增長，差分觀測值會受外部環(huán)境的影響，觀測值噪聲增大，且觀測噪聲中包含的有色噪聲項使得觀測值時間相關(guān)。圖5給出的短基線結(jié)果驗證了觀測值具有時間相關(guān)性。

圖5中，對全星座衛(wèi)星，時間相關(guān)性在30 s的時間延遲內(nèi)急劇下降，隨著時間延遲的增大而逐漸減小。時間相關(guān)性在不同頻率和不同類型觀測值之間也不同。對于GEO衛(wèi)星，隨著時間延遲的增大，相位觀測值的時間相關(guān)系數(shù)穩(wěn)定在0.1左右；偽距觀測值的時間相關(guān)系數(shù)下降較為緩慢，GEO衛(wèi)星地球靜止的特性是造成該結(jié)果的主要原因。對于MEO和IGSO衛(wèi)星，同類型不同頻率觀測值的時間延遲相當(dāng)，且隨著時間延遲的增大，時間相關(guān)系數(shù)逐漸接近零。表6給出了四組數(shù)據(jù)的平均時間相關(guān)系數(shù)。

表6 四組數(shù)據(jù)的平均時間相關(guān)系數(shù)

4 結(jié) 論

本文主要研究北斗觀測值物理相關(guān)的隨機(jī)模型，基于幾何觀測模型，通過與MINQUE方差分量估計方法的隨機(jī)模型進(jìn)行比較，驗證直接利用觀測值殘差估值估計隨機(jī)模型的有效性，分析了北斗衛(wèi)星四種類型觀測值高度角相關(guān)的精度、交叉相關(guān)性、空間相關(guān)性和時間相關(guān)性。實(shí)驗結(jié)果表明：北斗對地靜止軌道(GEO)衛(wèi)星的觀測誤差、空間相關(guān)性、時間相關(guān)性均大于傾斜同步軌道(IGSO)衛(wèi)星和中軌道(MEO)衛(wèi)星。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)適當(dāng)降低GEO衛(wèi)星觀測值的權(quán)重；北斗衛(wèi)星的同類型觀測值之間均具有較強(qiáng)的交叉相關(guān)性，不同類型觀測值間的交叉相關(guān)性較弱；且隨機(jī)模型的估計結(jié)果受接收機(jī)的內(nèi)部誤差和測站的外部誤差影響。