劉乃志，傅海倫，法洪雪

摘? 要：在章起始課教學(xué)中有效構(gòu)建并使用“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”是在整體統(tǒng)領(lǐng)觀念下實(shí)施教學(xué)的一種策略. 建構(gòu)章節(jié)學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，既是先前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的外化，又為后續(xù)其他類似數(shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)積累了新的經(jīng)驗(yàn)，豐富了數(shù)學(xué)研究的范式. 依據(jù)這一理念，以“認(rèn)識(shí)三角形”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行說明.

關(guān)鍵詞：章起始課;數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖;整體建構(gòu);整體統(tǒng)領(lǐng);三角形

一、問題的提出

章起始課教學(xué)是一個(gè)章節(jié)教學(xué)的開始，是學(xué)生學(xué)習(xí)的起步階段. 學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就像進(jìn)行一次有意義的“旅游”，正如旅游時(shí)要提前規(guī)劃一個(gè)導(dǎo)游圖一樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，章起始課的教學(xué)同樣需要給學(xué)生構(gòu)造一個(gè)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)有個(gè)整體的感知，以增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，然后再根據(jù)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”展開后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí). 經(jīng)過對(duì)北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊第四章的起始課“認(rèn)識(shí)三角形”的研討，認(rèn)為章起始課教學(xué)要重視“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的構(gòu)建和使用，以發(fā)揮章起始課的統(tǒng)領(lǐng)作用.

二、教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)

1. 經(jīng)歷研究對(duì)象的獲得，感受圖形間的邏輯關(guān)系

問題1：猜謎語：形狀似如山，穩(wěn)定性能堅(jiān)，三竿首尾連，學(xué)問不簡單.（打一圖形.）

問題2：你能給出一個(gè)學(xué)習(xí)三角形的理由嗎？

對(duì)于問題2，總結(jié)學(xué)生觀點(diǎn)如下.

（1）三角形的形象在我們身邊隨處可見，它們有趣、美觀、有用、神秘，需要我們好好研究.（2）我們前面研究了線和角等基本的幾何圖形，按照由簡單到復(fù)雜的研究路徑，研究由三條線組成的三角形是必然.（3）線、角等圖形都是不封閉的，三角形是最簡單的封閉圖形，是研究其他封閉圖形的基礎(chǔ).

教師總結(jié)并形成三角形在基本平面圖形中的“位置圖”，以及三角形的“來歷圖”如圖1所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)兩個(gè)方面獲得“三角形”這個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，讓學(xué)生體會(huì)研究的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生研究三角形的欲望，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 特別關(guān)注了按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯性發(fā)現(xiàn)研究三角形是遵循從簡單到復(fù)雜、從不封閉圖形到封閉圖形的必然選擇. 學(xué)生基于已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)表自己的觀點(diǎn)，教師引導(dǎo)構(gòu)建宏觀的幾何圖形關(guān)系圖譜，讓學(xué)生感受三角形在平面圖形中的位置及與其他圖形之間的邏輯關(guān)系，形成獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一般套路，為構(gòu)建系統(tǒng)研究三角形的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”做好鋪墊.

2. 構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，明確研究內(nèi)容和路徑

學(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了線段、射線、直線和角等幾何圖形，積累了一定的幾何圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 從封閉圖形的視角來看，三角形是學(xué)生將要系統(tǒng)學(xué)習(xí)的第一個(gè)封閉圖形，包括定義、分類、性質(zhì)、特例、關(guān)系等完整的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)形成后續(xù)其他封閉圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)套路具有重要意義. 目前，學(xué)生還缺少這方面系統(tǒng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為此，教師在教學(xué)中采用“幾何圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn) + 其他學(xué)科學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”的方式引導(dǎo)構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”. 部分課堂教學(xué)實(shí)錄呈現(xiàn)如下.

師：根據(jù)以往研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)，你能預(yù)測我們需要研究關(guān)于三角形的哪些內(nèi)容嗎？

生1：研究一個(gè)圖形，首先要給它下定義.

生2：我們還需要研究三角形的性質(zhì).

生3：還要知道三角形的分類.

師：很好！定義、性質(zhì)和分類是研究一個(gè)圖形的基本套路. 研究一個(gè)圖形和研究其他對(duì)象的道理是相通的. 例如，生物課上我們要研究“種子植物”這個(gè)對(duì)象，是不是也要研究種子植物的定義、性質(zhì)和分類呢？根據(jù)你對(duì)“被子植物”等的研究經(jīng)驗(yàn)或者其他學(xué)科對(duì)象的研究經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們還需要研究關(guān)于三角形的哪些內(nèi)容？

生4：對(duì)“種子植物”分類中的特例需要進(jìn)一步研究，那么對(duì)三角形分類中的特例也需要進(jìn)一步研究.

生5：我們需要知道怎樣分辨“種子植物”“裸子植物”和“被子植物”？同樣的道理，我們需要研究三角形及特殊三角形的判定問題.

生6：我知道可以把一些生物原理應(yīng)用到科學(xué)技術(shù)方面，幫助人們改善生活，這屬于應(yīng)用問題. 三角形是不是也應(yīng)該研究它的應(yīng)用？

生7：生物課中我們還需要研究不同生物之間的關(guān)系. 相應(yīng)地，是不是也要研究三角形和其他圖形或者特殊三角形之間的關(guān)系？

師：（對(duì)學(xué)生的想法表示肯定）大道相通，萬物一理. 通過我們以往幾何圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以及結(jié)合對(duì)其他學(xué)科學(xué)習(xí)對(duì)象的研究經(jīng)驗(yàn)，我們可以大致總結(jié)出三角形要研究的內(nèi)容. 大家嘗試在練習(xí)本上用自己的方式畫出三角形要研究的內(nèi)容圖譜并進(jìn)行展示.

教師在學(xué)生展示的基礎(chǔ)上給出三角形研究的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”（如圖2），指出本章將要研究哪些內(nèi)容. 并進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何圖形的研究一般遵循“定義—分類—性質(zhì)—判定—特例—關(guān)系—應(yīng)用”的路徑展開.

【設(shè)計(jì)意圖】由于學(xué)生之前積累的幾何圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不足，三角形又是學(xué)生系統(tǒng)研究的第一個(gè)封閉圖形，其研究經(jīng)驗(yàn)是進(jìn)一步研究其他圖形的基礎(chǔ). 因此，采用了“幾何圖形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn) + 其他學(xué)科學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”的方式引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建三角形學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，既包含了“學(xué)什么”，又體現(xiàn)了“怎樣學(xué)”，蘊(yùn)含著研究三角形的基本路徑和方法. 這樣設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)“一覽眾山小”，還給出了幾何研究的基本內(nèi)容和基本套路.

3. 利用“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”展開教學(xué)，發(fā)揮其整體統(tǒng)領(lǐng)作用

活動(dòng)1：三角形的定義.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過呈現(xiàn)的豐富圖片（圖略）抽象出三角形定義，然后根據(jù)定義找出圖3（房梁）中的三角形. 學(xué)生在表達(dá)時(shí)出現(xiàn)困難，自然提出三角形的表示問題. 觀看微課：三角形的定義及表示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過生活中的三角形形象抽象出三角形的定義，這也是圖形定義的一般套路. 設(shè)置學(xué)生表達(dá)三角形的障礙來讓學(xué)生理解三角形表示的意義，讓學(xué)生知道表示三角形就像給人起名字一樣，是必要而有用的，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體統(tǒng)領(lǐng)觀念.

活動(dòng)2：三角形的性質(zhì).

按照我們確定的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，在初步認(rèn)識(shí)三角形之后，我們還要研究它的性質(zhì)，以期對(duì)三角形進(jìn)行更加深入地理解. 我們要從哪里入手研究三角形的性質(zhì)？

學(xué)生發(fā)言、交流，明確從邊和角兩個(gè)方面研究，教師指出本節(jié)課先從學(xué)生熟悉的角開始研究.

先回憶小學(xué)學(xué)過的測量、撕紙等研究三角形角的方法，指出這些方法的不嚴(yán)密性，需要通過逐步、有理有據(jù)的推理方法進(jìn)行驗(yàn)證. 教師先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合撕紙的方法思考和180°相關(guān)的知識(shí)：平角、補(bǔ)角、同旁內(nèi)角（平行的條件下），再組織學(xué)生用不同的方法進(jìn)行證明.

【設(shè)計(jì)意圖】教師按照事先規(guī)劃的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的研究內(nèi)容和路徑（順序稍有調(diào)整）引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行研究，學(xué)生學(xué)習(xí)方向清晰，學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，學(xué)習(xí)主動(dòng)性強(qiáng)烈. 學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°這一結(jié)論，但是對(duì)于結(jié)論的得出采用的是觀察、測量、實(shí)驗(yàn)等方法，教師指出這些方法的不嚴(yán)密性，引出要用推理的方法進(jìn)行證明（這也是初中與小學(xué)研究三角形內(nèi)角和本質(zhì)的不同之處），充分發(fā)揮了章起始課的整體統(tǒng)領(lǐng)作用.

活動(dòng)3：三角形的分類及特例研究.

教師讓學(xué)生演示部分被遮住的三角形，猜一猜：學(xué)生所拿三角形被遮住的兩個(gè)內(nèi)角是什么角？師生交流后對(duì)三角形按照角的大小進(jìn)行分類：鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形.

對(duì)分類中的特例進(jìn)行研究：直角三角形是三角形按照角的大小進(jìn)行分類中最為特殊的一種，是我們研究的重點(diǎn). 關(guān)于它的研究分散在初中數(shù)學(xué)各個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)中. 這節(jié)課讓我們按照研究一個(gè)幾何圖形的基本套路先進(jìn)行初步研究（定義、表示、性質(zhì)等）.

直角三角形的表示：通常，我們用符號(hào)“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”.把直角所對(duì)的邊稱為直角三角形的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角邊.

探究直角三角形和角相關(guān)的性質(zhì)：直角三角形是一種特殊的三角形，除了內(nèi)角和等于180°，它的角還有更特殊的性質(zhì)嗎？如何驗(yàn)證？

學(xué)生思考、交流后，得到結(jié)論：直角三角形中的兩個(gè)銳角互余.

練一練：如圖4，一艘輪船按箭頭所示方向行駛，C處有一燈塔，試根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)求∠ACB的大小，確定當(dāng)輪船距離燈塔C最近時(shí)∠ACB的度數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】繼續(xù)按照規(guī)劃的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”進(jìn)行分類及特例的研究. 特例是由分類得出的，在分類得出的三類三角形中，每類三角形中最大的角決定了三角形的形狀，只有直角三角形最大角的度數(shù)是確定的，是特例中的特例，因此要進(jìn)行重點(diǎn)研究. 讓學(xué)生明確每一步研究的理由，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的整體性. 同時(shí)，對(duì)于直角三角形的研究又體現(xiàn)了對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象研究的基本套路，學(xué)生前面積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自然遷移過來，進(jìn)一步豐富研究經(jīng)驗(yàn)，又一次發(fā)揮了“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”整體統(tǒng)領(lǐng)的作用.

4. 完善“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，實(shí)現(xiàn)章起始課教學(xué)的“高瞻遠(yuǎn)矚”

三角形的相關(guān)內(nèi)容較多，貫穿整個(gè)初中學(xué)段的學(xué)習(xí). 師生圍繞開始制定的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”進(jìn)行回顧，并進(jìn)一步完善（如圖5），編織一張更加完整的學(xué)習(xí)“網(wǎng)”. 教師指出后續(xù)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生始終站在整體的角度進(jìn)行學(xué)習(xí)，做到“見木見林”，實(shí)現(xiàn)章起始課教學(xué)的“高瞻遠(yuǎn)矚”.

【設(shè)計(jì)意圖】充分發(fā)揮“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”在課堂總結(jié)中的統(tǒng)領(lǐng)作用，通過“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”回顧本節(jié)課所研究的內(nèi)容，猶如在主干上生長出枝葉，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)進(jìn)行展望，讓學(xué)生充滿期待. 完整知識(shí)體系的建立促使學(xué)生進(jìn)一步積累幾何研究的經(jīng)驗(yàn)，形成后續(xù)四邊形等其他幾何圖形的研究范式.

三、結(jié)論與建議

在章起始課教學(xué)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”體現(xiàn)了整體統(tǒng)領(lǐng)的觀念，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“有木有林”，做到大處著眼、小處入手，積極主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 從小處來講，“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”可以統(tǒng)領(lǐng)一個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)，教師的教和學(xué)生的學(xué)都可以按照規(guī)劃的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”有序地展開;從大處來講，學(xué)生通過“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般經(jīng)驗(yàn)和基本套路，又能遷移到其他同類知識(shí)的學(xué)習(xí)中，構(gòu)建更有效的縱橫聯(lián)系的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法等的聯(lián)結(jié)，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果.

1. 章起始課教學(xué)要讓學(xué)生建立起一個(gè)章節(jié)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”

章起始課教學(xué)重視“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的構(gòu)建，就是要發(fā)揮章起始課的整體統(tǒng)領(lǐng)作用.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性. 因此，在本節(jié)課的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生完成對(duì)“三角形”一章的整體認(rèn)知也是必須要考慮的問題.

本節(jié)課的教學(xué)通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，對(duì)數(shù)學(xué)概念是如何建立的、數(shù)學(xué)概念是什么、為什么要建立相關(guān)數(shù)學(xué)概念，以及圍繞研究對(duì)象學(xué)習(xí)的內(nèi)容和路徑等有清晰的認(rèn)知，讓后續(xù)學(xué)習(xí)變得有章可循，有利于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成研究數(shù)學(xué)問題的一般套路.

2. 用整體統(tǒng)領(lǐng)的觀點(diǎn)來搭建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”

整體指事物的全局和發(fā)展的全過程，是事物發(fā)展的統(tǒng)領(lǐng)部分，對(duì)事物的發(fā)展起主導(dǎo)作用. 在章起始課教學(xué)設(shè)計(jì)中，用整體的觀點(diǎn)去理解數(shù)學(xué)、設(shè)計(jì)教學(xué)，對(duì)教學(xué)效果的提升大有裨益.

整體統(tǒng)領(lǐng)的觀點(diǎn)要求我們從數(shù)學(xué)內(nèi)部的前后一致、邏輯連貫出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并提出研究對(duì)象，并能用同類研究對(duì)象的研究套路去構(gòu)建新的研究對(duì)象所要研究的內(nèi)容. 就三角形的教學(xué)來說，前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了線（直線、射線和線段）、角、平行線和相交線等相對(duì)“同化”的幾何知識(shí)，以上圖形從一條線到兩條線，從簡單到復(fù)雜，圖形都是不封閉的. 進(jìn)一步我們還可以研究什么圖形呢？從這個(gè)角度出發(fā)，自然地把三角形推了出來. 按照這個(gè)整體統(tǒng)領(lǐng)的觀點(diǎn)，我們能“同化”出三角形要研究的基本框架：定義、要素、分類、性質(zhì)、特例、關(guān)系等，初步構(gòu)建基本的三角形學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”.

3. 基于“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”進(jìn)行數(shù)學(xué)教材單元整合

章起始課構(gòu)建出的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”統(tǒng)領(lǐng)著一個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)，教師的教（備課）和學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)都可以按照規(guī)劃的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”有序地展開，這就給我們從整體上設(shè)計(jì)單元教學(xué)提供了依據(jù)和“抓手”. 教師可以依據(jù)章起始課構(gòu)建的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”一以貫之，重新整合一個(gè)單元的教學(xué)（甚至是跨越式的整合），更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的前后一致與邏輯連貫. 例如，“三角形”單元教學(xué)可以從更高的視角上設(shè)計(jì)為7個(gè)課時(shí)的教學(xué).

第1課時(shí)：認(rèn)識(shí)三角形（學(xué)習(xí)三角形的定義、分類等內(nèi)容）;

第2課時(shí)：三角形的性質(zhì)（從邊和角兩個(gè)角度進(jìn)行研究）;

第3課時(shí)：特殊三角形（重點(diǎn)研究等腰三角形和直角三角形）;

第4課時(shí)：全等三角形（研究全等三角形的定義、性質(zhì)、判定等）;

第5課時(shí)：相似三角形（研究相似三角形的定義、性質(zhì)、判定等）;

第6課時(shí)：三角形的應(yīng)用（研究三角形、全等三角形、相似三角形等的應(yīng)用）;

第7課時(shí)：單元回顧與反思（回歸“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”）.

4.“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”的構(gòu)建讓學(xué)生積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是構(gòu)建內(nèi)在的心理表征的過程. 學(xué)生并不是把知識(shí)從外界搬到記憶中，而是以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過與外界的相互作用來建構(gòu)新的理解. 在章起始課教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生或?qū)W生自主建構(gòu)章節(jié)學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，既是先前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的外化，又為后續(xù)其他類似數(shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)積累了新的經(jīng)驗(yàn).

在“三角形”一章起始課中構(gòu)建“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，可以很好地引領(lǐng)和激發(fā)學(xué)生進(jìn)行章節(jié)后續(xù)的學(xué)習(xí)，讓后續(xù)學(xué)習(xí)“見木見林”. 學(xué)生對(duì)于“三角形”一章的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)又會(huì)對(duì)幾何大家庭中的其他幾何圖形的學(xué)習(xí)起到程序固化和統(tǒng)帥的作用，豐富幾何研究的范式. 例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)四邊形時(shí)，自然會(huì)聯(lián)想到三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主構(gòu)建四邊形學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)導(dǎo)游圖”，讓學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.

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