陳佳辰, 榮喜民, 趙 慧

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300354)

1 引言

上世紀(jì)50 年代，Markowitz[1]提出的資產(chǎn)選擇理論認(rèn)為投資的分散化有利于消除非系統(tǒng)性投資風(fēng)險.保險基金的規(guī)模巨大，其安全性直接關(guān)系到被保險人利益和社會穩(wěn)定，因此應(yīng)該考慮采用組合投資的方式進(jìn)行風(fēng)險分散，來消除非系統(tǒng)風(fēng)險.以Sharpe[2]、Lintner[3]和Mossin[4]為代表的經(jīng)濟(jì)學(xué)家從實證出發(fā)，探索Markowitz 理論在現(xiàn)實實踐的簡化，從而產(chǎn)生了資本資產(chǎn)定價模型.該模型描述了投資者采用Markowitz理論進(jìn)行投資管理的條件下，市場價格均衡狀態(tài)的形成，實現(xiàn)了證券理論從定性分析到定量分析的轉(zhuǎn)變，成為研究證券市場中資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險之間關(guān)系的基本模型.其中Sharpe[2]給出的資本資產(chǎn)定價模型，提供了一種衡量風(fēng)險價值的方法，可以幫助投資者判斷風(fēng)險與投資收益是否匹配.榮喜民等[5]提出的組合證券投資最優(yōu)化模型在一定程度上克服了Markowitz 理論的不足.

養(yǎng)老保險是一種重要的社會保險，有兩種不同的設(shè)計方式，一種是DB 型，另一種是DC 型.在DB 型養(yǎng)老金中，每期的給付額是在繳費(fèi)前確定的，是依據(jù)被保險人的最終工資水平以及工作年限計算得到，而繳費(fèi)率是在估值過程調(diào)整得到的.而在DC 型養(yǎng)老金計劃中，每期的繳費(fèi)率是在繳費(fèi)前確定的，而積累過程中每期的給付額是依靠繳費(fèi)率和保險基金投資的收益計算得出的，投資過程的風(fēng)險是由投保人承擔(dān)[6].在DC 型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資策略的研究中，現(xiàn)在一般有兩種方式，一種是期望效用最大化，另一種是以均值-方差為目標(biāo).Boulier 等[7]、Cairns 等[8]在冪效用函數(shù)下考慮了DC 型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題；Xiao 等[9]在對數(shù)效用函數(shù)下分析了DC 型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題；Devolder 等[10]、Battocchio 和Menoncin[11]在指數(shù)效用函數(shù)下研究了DC 型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題.Markowitz[1]在1952 年提出了單期離散時間的均值-方差模型；Zhou 和Li[12]得到連續(xù)時間的均值-方差模型；Li 和Ng[13]利用隨機(jī)控制理論改良模型，將單期離散時間模型推廣到了多期.H?jgaard 和Vigna[14]在均值-方差模型下研究了DC 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題.

He 和Liang[15]研究了一種帶有退還保費(fèi)條款的DC 型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資策略.而這種有返還條款計劃強(qiáng)調(diào)了被保險人在保險有效期內(nèi)死亡，保費(fèi)退還給其繼承人的條款.因其涉及死亡退出，所以對本文研究的帶有死亡和傷殘返還的養(yǎng)老金計劃有借鑒意義.研究帶有返還條款的文章還有柴忠芃等[16]、Bian 等[17]以及Li 等[18]等.本論文將依據(jù)被保險人壽命的不確定性，借鑒有返還條款的養(yǎng)老保險最優(yōu)投資策略的相關(guān)研究，探討帶有死亡和傷殘返還的養(yǎng)老保險投資問題，通過建立養(yǎng)老金及其風(fēng)險投資的財富過程，應(yīng)用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，得到相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.通過設(shè)解和分離變量等方法求解得到最優(yōu)投資策略.所得基金投資的最優(yōu)策略，可為保險公司提供有價值的決策依據(jù).

本文共分五節(jié)，其中第2 節(jié)和第3 節(jié)為本文的核心部分：第1 節(jié)為文獻(xiàn)綜述，介紹國內(nèi)外DC 型養(yǎng)老金相關(guān)問題的研究進(jìn)展，對本文研究思路以及文章結(jié)構(gòu)進(jìn)行了概括.第2 節(jié)建立了數(shù)理模型，包括金融市場以及養(yǎng)老金的財富過程.第3 節(jié)運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃方法得到相關(guān)的HJB 方程，求解投資問題的最優(yōu)投資策略以及有效邊界.第4 節(jié)分析各個參數(shù)對價值函數(shù)和有效邊界的影響.第5 節(jié)是文章的總結(jié)，概括了本文的創(chuàng)新點，提出了本文模型的局限性及日后可以改進(jìn)提升之處.

2 數(shù)理模型

本節(jié)將引入金融市場模型以及帶有返還條款的養(yǎng)老金模型，并給出相應(yīng)養(yǎng)老金計劃的財富過程.

假定市場上有兩種資產(chǎn)供保險人選擇，即一種風(fēng)險資產(chǎn)和一種無風(fēng)險資產(chǎn).定義t 時刻無風(fēng)險資產(chǎn)的價格為S0(t)，其滿足如下微分方程

其中r >0 為無風(fēng)險資產(chǎn)利率.

定義風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程為S1(t)，假設(shè)其服從幾何布朗運(yùn)動，即滿足以下微分方程

其中c 和σ 分別為風(fēng)險資產(chǎn)收益率和波動率，都為正常數(shù).B1(t)為概率空間(?,F,P)上的一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.

在本文中，我們研究養(yǎng)老金計劃在積累過程中的最優(yōu)投資策略.在養(yǎng)老金計劃中，被保險人會在積累過程中投入一個確定的保費(fèi)P，其中這個保費(fèi)是提前確定好的，每期都不會發(fā)生改變.被保險人在投保階段內(nèi)將一直持續(xù)投入保費(fèi)，積累過程將在此過程中一直持續(xù).假設(shè)積累過程從ω0歲開始持續(xù)到ω0+T 歲，即養(yǎng)老金計劃的時間長度為T.在這個過程中，基金管理者將會把養(yǎng)老金投資在股票和債券上進(jìn)行保值增值，其中一部分π 將會分配在股票上，剩余部分1 ?π 將會分配在債券上，這里的π 是一個可控變量.若被保險人在積累過程中未發(fā)生意外，即保險合同中的賠付條款未被執(zhí)行，他/她將會在積累過程結(jié)束后得到養(yǎng)老金的投資收益，這個數(shù)目不是提前確定的，它會受到意外發(fā)生概率以及養(yǎng)老金的投資收益所影響.在這里，我們假定該意外為被保險人死亡和傷殘事故.若被保險人在積累過程中死亡，按照養(yǎng)老金合同的一般規(guī)定，受益人將會獲得一筆事先確定的賠償金；同理，當(dāng)被保險人發(fā)生傷殘事故時，受益人也會獲得相應(yīng)的賠償.在模型中，我們假設(shè)死亡賠償金為M，用?tqω0+t表示從ω0+t 歲到ω0+t+?t 歲的死亡率，這里的?tqω0+t是一個精算符號，表示在ω0+t 時刻存活，但在?t 時間段內(nèi)死亡的可能性.所以在t 到t+?t 時刻要賠付的保險金數(shù)額為M?tqω0+t，賠付后，積累值和賠付值之差將會分配給存活的被保險人的養(yǎng)老金賬戶.而當(dāng)被保險人生存時，就有可能發(fā)生傷殘事故，在本文中，我們假設(shè)在t 到t+?t 時間段內(nèi)，傷殘事故的賠償由一個復(fù)合Poisson 過程表示.又因為被保險人依然存活，所以積累值和賠付值之差將不會在存活的被保險人的養(yǎng)老金賬戶上進(jìn)行分配.

首先，定義傷殘事故的賠償為R(t)，其形式為

其中N(t)是一個強(qiáng)度為λ 的時間一致泊松過程，表示t 時間段內(nèi)發(fā)生傷殘事故的次數(shù)；Yi為均值為η、二階矩為σ22的隨機(jī)變量，表示發(fā)生傷殘賠償金.

然后，考慮基金規(guī)模為X(t)在時間t+?t 時的形式

從(3)可以看出，基金規(guī)模X(t)會受以下因素影響：投資分配，保險費(fèi)，死亡率以及積累值與賠付值的差值等.

設(shè)

則等式(3)變?yōu)?/p>

采用精算中的死亡力函數(shù)μ(t)來簡化(5)，則條件死亡概率滿足

根據(jù)上式計算?tqω0+t可以得到

當(dāng)?t →0 時，μ(ω0+t)在積累過程中的值不大時上式成立，從而可以得到

因此可知

從而等式(5)化為

根據(jù)?δ?tt 和?R(t)的定義，當(dāng)?t →0 時，有

因此，基金規(guī)模X(t)可以表示為如下連續(xù)時間隨機(jī)微分方程

為了簡化模型，我們引入Abraham De Moivre 模型[19]來描述死亡力函數(shù)μ(t).在這個模型中，生存函數(shù)s(t)和死亡力μ(t)有以下形式

其中ω 是生命年表的最大值，則隨機(jī)微分方程有以下形式

根據(jù)文獻(xiàn)[20-22]，我們對復(fù)合泊松過程進(jìn)行近似

其中B2(t)為概率空間(?,F,P)上的一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，與B1(t)的相關(guān)系數(shù)為ρ.代入(10)中，可得

因此，保險賬戶的基金累計值可以被一個根據(jù)保險精算規(guī)則建立的連續(xù)時間隨機(jī)過程描述.從積累過程結(jié)束后保險人的角度看，保險公司希望可以使基金規(guī)模X(t)最大化，并且X(t)的波動最小化.本文選擇均值-方差作為評價準(zhǔn)則，則問題可以化為養(yǎng)老金連續(xù)時間優(yōu)化控制問題.基金經(jīng)理可以選擇最優(yōu)投資策略，即在股票和債券上分配投資來滿足保險人的目標(biāo)要求.該優(yōu)化問題可以描述為

這里的Π ={π|π ∈[0,∞)}是投資策略的集合.

3 最優(yōu)投資問題求解

在這部分中，我們將求解優(yōu)化問題(12)，優(yōu)化分配在股票和債券上的比例，求出有效邊界的形式.首先，利用Bjork 和Murgoci[23]的方法將(12)等價轉(zhuǎn)化為下面的帶價值函數(shù)的時間不一致優(yōu)化控制問題

最優(yōu)投資策略π?滿足V(t,x)=J(t,x,π?).這里γ 是一個正常數(shù)，代表的是Vart,xXπ(T)的風(fēng)險厭惡系數(shù)，即通過它描述被保險人的風(fēng)險厭惡程度.在這里，γ 同時作為一個參量，代表被保險人有不同的風(fēng)險厭惡程度，會影響投資策略的策略的選擇.

假設(shè)

則價值函數(shù)V(t,x)變?yōu)?/p>

定理1(驗證定理) 若存在三個實函數(shù)F, G, H :[0,T]×R →R 滿足下面的HJB方程

其中

則滿足V(t,x)=F(t,x), yπ?=G(t,x), zπ?=H(t,x)的π?是(13)的最優(yōu)投資策略.

證明 該定理的證明與文獻(xiàn)[15,24]類似，在這里略去證明.

接下來，我們將求解上述HJB 方程.首先，根據(jù)f(t,x,y,z)的形式，可以得到

則有

將上式代回(14)，并對π 求微分可得

將(18)代回(14)和(15)

假定F(t,x)和G(t,x)有以下形式

將(21)代回(19)和(20)，可得

使上面兩個式子中x 的系數(shù)和常數(shù)項之和為0，則有

則最優(yōu)投資策略π?(t)滿足

其中Xπ?(t)為隨機(jī)微分方程(11)的特解.

顯然，Xπ?(t)是在時間t，最優(yōu)投資策略π?所對應(yīng)的最優(yōu)基金規(guī)模.從式(24)可以看出π?是風(fēng)險厭惡程度γ 的函數(shù).因此，不同的風(fēng)險厭惡程度的保險人有不同的投資策略，則會產(chǎn)生不同的效用邊界.

接下來給出效用邊界，首先由式(13)，有

代入α(t), β(t)和B(t)計算可得有效邊界為

其中

相比于文獻(xiàn)[15]中僅有死亡賠償、沒有傷殘賠償?shù)挠行н吔?，這里的有效邊界多出了兩項，分別為

其中第二項在[0,T)內(nèi)恒小于0，而第一項在通常參數(shù)設(shè)定下也是小于0 的.這也表明，考慮傷殘賠償后，有效邊界會向下平移，即在承擔(dān)相同的風(fēng)險的情況下，獲得的收益會下降.所以保險公司若要獲得與之前相同的收益，需要承擔(dān)更大的風(fēng)險，將有更多的資金投資于風(fēng)險資產(chǎn).

本文假設(shè)兩個布朗運(yùn)動的相關(guān)系數(shù)ρ ?= 0 是考慮到實際情況中可能存在一些重大的造成傷殘的事故，也會同時影響金融市場.比如：若煤礦發(fā)生重大安全事故，在造成人員傷亡的同時，國家可能會進(jìn)一步加強(qiáng)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的安全監(jiān)管，要求企業(yè)加強(qiáng)安全措施及安全教育，造成企業(yè)運(yùn)營成本增加，從而影響市場對該行業(yè)未來盈利能力的信心，導(dǎo)致金融市場出現(xiàn)波動.若確定B1(t)與B2(t)為相互獨(dú)立的，可以得到以下推論.

推論1 若布朗運(yùn)動B1(t)與B2(t)相互獨(dú)立，則可以得到DC 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略及有效邊界分別為

4 數(shù)值模擬

在這一節(jié)中，將討論各個參數(shù)對效用邊界、價值函數(shù)以及投資策略的影響.首先，本節(jié)中各個參數(shù)的默認(rèn)值如表1 所示.

表1 本節(jié)中參數(shù)的取值

在第三節(jié)中，得到了價值函數(shù)V(t,x)的表達(dá)式，其形式如下

圖1 V(t,x)在不同死亡賠償金M 和傷殘賠償金η 下關(guān)于t, x 的變化趨勢

根據(jù)該表達(dá)式可以得到圖1.從圖1 左圖來看，價值函數(shù)的取值關(guān)于M 是減函數(shù)，這說明提高死亡賠償金，會降低養(yǎng)老金計劃的最終收益，此時保險人為了保證經(jīng)營管理活動正常進(jìn)行，應(yīng)該要提高在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資比例，來獲得更高的投資收益，來保證有足夠的資金來支付給被保險人.同理，從圖1 右圖可以看出，提高傷殘賠償金，也會降低養(yǎng)老金計劃的最終收益，所以應(yīng)該采取和以上同樣的方法.

從圖2 可以看出，當(dāng)死亡賠償金和傷殘賠償金上升時，有效邊界會向y 軸下方移動.這就意味著，在承擔(dān)相同風(fēng)險的時候，獲得的收益會下降，在獲得相同收益的時候，承擔(dān)的風(fēng)險會升高.這表明，保險人應(yīng)采用合理的賠償金，否則過高的賠償金，會增加公司的運(yùn)營成本，使公司承擔(dān)更多的風(fēng)險.

圖2 有效邊界在不同死亡賠償金M 和傷殘賠償金η 下關(guān)于t, x 的變化趨勢

5 結(jié)論

本文中所用的精算模型是單生命模型，是以概率論為工具，討論個體從生存狀態(tài)到死亡狀態(tài)的轉(zhuǎn)換規(guī)律的模型.而本文所討論的連續(xù)時間投資組合優(yōu)化問題則是金融數(shù)學(xué)所研究的核心內(nèi)容之一，是將金融數(shù)學(xué)理論運(yùn)用到實際之中的有效渠道.目前，組合證券投資方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在養(yǎng)老保險投資策略中，相關(guān)研究成果很多，He 和Liang[15]考慮了帶有死亡返還的養(yǎng)老保險投資策略，本文的創(chuàng)新點是在考慮死亡返還的同時，加入傷殘返還，是對之前工作的深化.

由于研究工具等方面所限，本文對于保險公司實證研究還沒有深入展開，僅停留在理論階段，而且還存在一些局限性：

1) 在簡化個人的死亡力時，采用了Abraham De Moivre 模型，這個模型提出時間較早，并不能很好的描述實際中的個人壽命，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人們可以借助計算機(jī)處理更復(fù)雜的死亡力函數(shù)，所以目前在實務(wù)中已經(jīng)很少使用De Moivre 模型；

2) 本文假設(shè)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動模型，很明顯這個模型不能很好的描述金融市場的實際情況，我們可以進(jìn)一步考慮股票符合其他可以更好描述市場的模型，如CEV 模型、Heston 模型等，來改進(jìn)本文結(jié)果，使其更貼近實際情況.