劉 清 胡典順 張莘鈿

(華中師范大學數學與統(tǒng)計學學院 430079)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出數學學科核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現.國際PISA測試在對閱讀素養(yǎng)、數學素養(yǎng)及科學素養(yǎng)進行界定時，指出這三大素養(yǎng)代表了學生在某一領域的能力.因此素養(yǎng)是抽象的，數學學科核心素養(yǎng)也不容易直接根據其內涵進行測評.在實際操作中，對于一道試題難度的統(tǒng)計，教研者一般采取該試題的通過率(客觀題)或平均得分率(簡答題)來作為該試題的難度.這樣的計算方法得到的試題難度與學生的解答情況密切相關，甚至可以認為該試題的難度由學生決定，但是一道試題的難度應該是由它自身所決定，因此上述統(tǒng)計方法存在較大的誤差.鮑建生提出的綜合難度模型用于刻畫試題的綜合難度，得到了國內許多專家學者的認可，他指出，一道數學題的綜合難度主要由以下五個難度因素來體現：探究、背景、運算、推理以及知識含量[2].不僅如此，為了更直觀地體現其難度，他對上述五個主要難度因素進行水平劃分，并對每一級水平賦值，依此描繪出刻畫試題難度的雷達圖，根據雷達圖分析課程綜合難度.

核心素養(yǎng)的測評是以區(qū)分度為主要依據的，而區(qū)分度與難度又有重要聯系[3]，所以考慮試題難度和核心素養(yǎng)之間的有機聯系.在實際命題過程中既要注重核心素養(yǎng)的嵌入也要把控試題難度，以達到提高試題區(qū)分度和考查數學學科核心素養(yǎng)的雙重目標.本文基于2019年高考數學全國卷理科卷，建立綜合素養(yǎng)水平的概念，試圖探討一道試題所蘊含的核心素養(yǎng)與其難度的關系，并基于結果得出相應的啟示.

2 建立綜合素養(yǎng)水平概念

2.1 數學關鍵能力評價指標框架

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了六大核心素養(yǎng)，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，對這六大核心素養(yǎng)進行了三級水平劃分.然而，在對具體數學試題進行劃分操作中，由于理論的抽象性，很難進行判定該試題的核心素養(yǎng)水平.對于數學學科核心素養(yǎng)的描述，喻平對六個數學關鍵能力的三級水平劃分給出了六個核心素養(yǎng)三級水平的操作性定義，為試題核心素養(yǎng)水平的實踐性劃分提供了簡便易行的方法[4].具體內容見表1.

表1 數學關鍵能力評價指標框架

2.2 綜合素養(yǎng)水平概念的構建

表2 核心素養(yǎng)水平表

根據計算公式，得到該組試題的綜合素養(yǎng)水平為3.

2.3 案例分析

基于全國卷高考數學試題的參考答案中，選擇題和填空題沒有給出詳細解答步驟，所以對試題核心素養(yǎng)水平的劃分將分為兩部分，對于給出參考答案的解答題，將根據答案進行劃分核心素養(yǎng)水平；對于省略具體解答步驟只提供參考答案的選擇題和填空題，將盡可能少地采用特殊技巧，更多地采取一般方法解答，按照上述表格給出的操作性定義，以答案為依據對試題的核心素養(yǎng)水平進行劃分.

下面以2019年高考數學全國卷Ⅰ第17題為例，對其作核心素養(yǎng)水平劃分.

因為0°

表3 17題核心素養(yǎng)水平表

3 試題綜合難度的量化計算

為了更客觀地反映試題難度，本文選擇了鮑建生提出的試題綜合難度模型，模型的構建方法如下所述.

鮑建生認為，數學題的綜合難度由以下五個難度因素來體現：探究、背景、運算、推理以及知識含量[2].不僅如此，他將這五個難度因素進行了水平劃分，如下表所示.

表4 綜合難度因素的水平劃分

在經過等級變量賦值后，根據模型計算公式得到五個難度因素量化后的取值，由此構建五邊形，根據五邊形來分析題目的綜合難度.為了使得本文的探究清晰明了，所以對綜合難度作進一步量化，即采用計算五邊形的“面積”作為綜合難度的一個數值體現.如圖1，若五個因素的判定值分別為x1，x2，x3，x4，x5，那么該五邊形的面積計算公式是

本文中取sin 72°≈0.95.

圖1 綜合難度五邊形

例如，經過分析計算，得到一組試題的五個難度因素取值分別為2，3，4，5，6，那么由此構建的五邊形如圖2所示，它的“面積”為38.為了盡可

能減少誤差，所以在接下來的數據統(tǒng)計和分析中，用于刻畫試題綜合難度的五個因素都按圖1順序進行計算其“面積”.

圖2 綜合難度五邊形

4 基于2019年高考數學全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷(理科)的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度分析

本研究采用增加樣本數量的方法，增加研究

結果的可信度，因此選取2019年高考數學全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷理科卷(以下我們不再對所討論的試卷一一標明)共三份試卷，根據數學關鍵能力評價指標框架以及綜合難度因素的水平劃分表來進行數據統(tǒng)計，分別計算綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度，進行比較分析.由于全國卷中的第22題與第23題屬于選做題，不同省市的考生根據選學內容進行相應選擇，從而沒有相對的統(tǒng)一性.因此，下述分析將對全國卷中的第22題與第23題不予以討論.

4.1 以2019年高考數學全國Ⅰ卷為例的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度具體分析

根據喻平提出的數學關鍵能力評價指標框架[4]，得到2019年高考數學全國Ⅰ卷的數學關鍵能力評價雙向細目表，并在右側計算綜合素養(yǎng)水平，見表5，其中d代表綜合素養(yǎng)水平.

表5 2019年高考數學全國Ⅰ卷數學關鍵能力評價雙向細目表

從表中可以看到，“√”分布的密集度大致分為三個部分，即第1題至第12題，第13題至第16題以及第17題至第21題，也就是選擇題、填空題和解答題.對比最右側計算得到的綜合素養(yǎng)水平，在每個部分內，綜合素養(yǎng)水平相應的開始有增大的趨勢.根據傳統(tǒng)教學觀念，選擇題部分最后兩題、填空題最后兩題以及解答題最后兩題，一般都會是壓軸題，難度較大，區(qū)分度較高，而綜合素養(yǎng)水平的變化趨勢與這相吻合.下面根據鮑建生的試題綜合難度模型對全國Ⅰ卷進行綜合難度分析，并計算每道題的五邊形“面積”，見表6.

表6 2019年全國Ⅰ卷數學試題綜合難度雙向細目表

從表中可以看到，在選擇題部分、填空題部分以及解答題部分，五邊形的“面積”有三個最大值，分別出現在第12題、第16題以及第20題，而且在每個部分內，五邊形的“面積”都是呈現出增大的趨勢，這和表6所得出的綜合素養(yǎng)水平的變化趨勢相一致，為了能夠更加直觀地體現綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度的變化，現在將題目號作為橫坐標，每個題目的綜合素養(yǎng)水平以及對應的五邊形“面積”作為縱坐標，繪制折線圖，得到圖3.

圖3 全國Ⅰ卷試題綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度對比圖

從圖中可以看到，2019年高考數學全國Ⅰ卷試題的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度曲線的變化趨勢大致相同，所體現出來的峰值的位置也幾乎相同，低谷位置也大致相同，沒有明顯的異常值.由此可以看出，分選擇題、填空題、解答題三個部分來看，全國Ⅰ卷的試題難度都遵循由低到高的規(guī)律，相比較而言，難度較大的題目往往出現在選擇題后兩題、填空題后兩題以及解答題后兩題.

4.2 全國Ⅱ、Ⅲ卷綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度分析

重復上述數據統(tǒng)計和分析的步驟，得到全國Ⅱ、Ⅲ卷的試題綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度對比圖，見圖4和圖5.

圖4 全國Ⅱ卷綜合素養(yǎng)水平與綜合難度對比圖

圖5 全國Ⅲ卷綜合素養(yǎng)水平與綜合難度對比圖

從圖4中可以看到，用于刻畫試題綜合難度的“面積”曲線仍然顯示出三個峰值，它們出現在第12題，第16題以及第20題，與全國Ⅰ卷的峰值位置相同；雖然綜合素養(yǎng)水平曲線的峰值不大，但是和“面積”曲線的峰值位置大致一致.兩條曲線相對比，可以看出存在兩個異常點，即15題以及18題，除此之外，變化的大致趨勢一致.在圖5中，用于刻畫試題綜合難度的“面積”曲線顯示出四個峰值，它們是第8題、第12題、第15題以及第20題；試題綜合難度曲線只有兩個峰值，第12題、第16題，異常點出現在第8題、第18題以及第21題，除此之外，兩條折線變化趨勢也相一致.由此可以看出，全國Ⅱ卷與全國Ⅲ卷的試題難度所遵循的分布規(guī)律與全國Ⅰ卷相同.而對于圖4、圖5中顯示的異常點，有可能是誤差所導致的.在本項研究中的數據統(tǒng)計和分析中，存在如下幾個誤差.(1)在對2019年高考數學全國卷進行核心素養(yǎng)水平劃分以及分析全國卷的數學試題綜合難度雙向細目表時，但是依然會存有主觀因素所導致的誤差；(2)為了給試題綜合難度進行量化，在計算五邊形的“面積”時，對sin 72°采取了近似值的辦法，且固定了五個因素的排列順序，因而也會存在一定誤差.

5 結論與啟示

5.1 結論

三個折線圖都無一例外的顯示出了三個高峰，分別出現在選擇題最后兩題其中之一，填空題最后兩題其中之一以及解答題倒數第二題，體現了全國卷壓軸題的位置.因此可以看出，全國卷的命題設置采用的是由簡到難，難度循序漸進的方式，有利于考生合理安排做題順序和考試時間，發(fā)揮正常水平.同時，由折線圖可以看到，綜合素養(yǎng)水平與試題綜合難度兩者的變化趨勢大致相同，這說明一道試題所考查的綜合素養(yǎng)水平與它的難度應該有著密切聯系.除去由于主觀因素的所導致的誤差，從圖中可以看出，一般而言，綜合素養(yǎng)水平越高的試題，其難度也越高；反之，綜合素養(yǎng)水平越低，則該試題的難度越低.

5.2 啟示

(1)把控試題難度，提高試卷區(qū)分度

任子朝指出，通常的高考試卷并不一定每道題都具有高區(qū)分度，但測試諸如理解、掌握、綜合運用和靈活運用等高層次的思維活動時，要有高區(qū)分度的試題.根據上述分析，可以看到2019年高考數學全國卷試題綜合難度曲線以及綜合素養(yǎng)水平曲線的高峰一般是選擇題最后兩題，填空題最后兩題以及解答題最后兩題，這些題作為壓軸題必須具有較好的區(qū)分度，才能達到人才選拔的目的.壓軸題的難度較大，要平衡整體試卷難度，應當在其他題目適當降低難度.從本研究結果可以知道，綜合素養(yǎng)水平與試題綜合難度有著密切的聯系，兩者變化趨勢幾乎一致，因而，在試卷命制中，把控試題的難度可以考慮從以下兩個方面入手：變化試題所蘊含的核心素養(yǎng)個數或者試題所蘊含的核心素養(yǎng)的水平級數.對于非壓軸題，可以考慮綜合少數核心素養(yǎng)并將水平級數控制在二級以內，而對于壓軸題，可以提高其綜合性，一道試題蘊含多個核心素養(yǎng)且適當提高核心素養(yǎng)的水平.

(2)理解核心素養(yǎng)內涵，豐富核心素養(yǎng)的操作性定義

核心素養(yǎng)是抽象的概念，很多專家學者都在研究其內涵，試圖提出其更具操作性的定義.喻平基于知識理解，知識遷移以及知識創(chuàng)新層面對核心素養(yǎng)進行三級水平劃分；彭艷貴等人從宏觀和微觀兩個維度描述核心素養(yǎng)的內涵[5].萬變不離其宗，不論何種操作性定義，都應當回歸核心素養(yǎng)本質.厘清目前已有文獻對核心素養(yǎng)的研究，作為借鑒，在其基礎上探索、豐富，明確理論與實踐相結合的理念，以核心素養(yǎng)的內涵以及核心素養(yǎng)提出的目的為根本出發(fā)點，制定有效的試題，分析現實中對普遍學生核心素養(yǎng)的測評情況，以此在實踐中修正并豐富核心素養(yǎng)的操作性定義，如此循環(huán)，不斷完善，才能逐步提高核心素養(yǎng)測評體系的質量.

(3)分析試題欠缺之處，加強核心素養(yǎng)測評體系的實踐性

在核心素養(yǎng)成為趨勢的大環(huán)境下，根據核心素養(yǎng)合理命制試題愈發(fā)重要.根據數學關鍵能力評價指標框架進行分析試卷試題，可以發(fā)現試卷的欠缺之處.以2019年高考數學全國卷Ⅰ為例，可以看出其蘊含的邏輯推理、數學運算、數學建模以及直觀想象這四大核心素養(yǎng)居多，而數學抽象和數據分析這兩大核心素養(yǎng)涉及較少，這不利于學生的學習能力全面發(fā)展.加強對大規(guī)模教育考試的評價有利于提高考試的科學性，而試題難度以及區(qū)分度對提高考試的質量沒有實質性的幫助[3].考試不應被認為只是評估、診斷或人才選拔的工具，它也應是核心素養(yǎng)測評體系的重要實踐.作為教研人員，在分析學生考試情況時，不應看重學生分數的高低，而應更注重學生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況.對學生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況的分析，不僅可以作為修正核心素養(yǎng)測評體系的指標，也可以豐富核心素養(yǎng)融入試卷的實踐經驗.