隨機種群模型的平穩(wěn)分布和數值模擬

付 靜，魏麗莉，陳 巖

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130031)

1 預備知識

20世紀40年代，Leslie[1]提出：捕食者的環(huán)境容納量與食餌的數量成正比；捕食者和食餌的增長率都有一個上限，對于捕食者來說，當食餌與捕食者的比例充分大時達到上限，對于食餌來說，當捕食者的數量充分小時達到上限；給出了著名的捕食-食餌模型

(1)

其中α1是正常數.給出了：系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點；如果其是局部漸近穩(wěn)定的，那么它是全局漸近穩(wěn)定的.

為了方便計算，Huang等[13]將模型轉化為如下形式：

(2)

由于現(xiàn)實環(huán)境中會受到很多因素的影響，越來越多的學者研究了隨機種群模型，而生物種群模型的確定性忽視了環(huán)境噪聲的干擾，依據中心極限定理知，這種擾動可以由均值為零的正態(tài)分布來刻畫[14].本文根據文獻[15]的方法添加了隨機因素

其中：B1(t)，B2(t)是獨立的白噪聲；σi>0(i=1，2)代表噪聲強度.得到了如下隨機捕食-食餌模型：

(3)

因為隨機種群模型沒有內部平衡點，所以不能像確定性模型那樣通過討論內部平衡點的穩(wěn)定性來確定隨機種群的持久性.隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布是一種弱穩(wěn)定性，遍歷性表示時間均值意義下隨機系統(tǒng)是持久的.因此研究隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布和遍歷性具有非常重要的意義.本文研究了隨機系統(tǒng)(3)的平穩(wěn)分布，并且將結果與確定性模型進行了比較，給出了兩種模型的數值模擬.

下面給出文中需要的幾個重要結論：

定理1(伊滕公式)[16-17]設X(t)(t≥t0=0)是方程(13)的解，V∈C2，1(Rn×R+；R).則V(X(t)，t)仍是一伊滕過程，且滿足隨機微分方程：

(4)

稱此公式為伊滕公式.

定理2(隨機比較定理)[16-18]設Xi(t)(i=1，2)是隨機微分方程

dXi(t)=fi(Xi(t)，t)dt+ɡ(Xi(t)，t)dB(t)

的解，其中：f(X，t)∈C([0，∞)×R)，ɡ(X，t)∈C([0，∞)×R).如果：

|ɡ(X，t)-ɡ(Y，t)|≤ρ(|X-Y|)，X，Y∈R，t≥0；

(2)f1(X，t)≤f2(X，t)，X∈R，t≥0；

(3)X1(0)≤X2(0).

則對t≥0有

X1(t)≤X2(t)，a.s..

定理3(隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布)[19]設X(t)是El中的一自治Markov過程，滿足下面的隨機微分方程：

(5)

其擴散陣為

假設存在具有正則邊界的有界區(qū)域U?El滿足下列條件:

(A1)在U和它的一些鄰域內，擴散陣Λ(x)的最小特征值是非零的；

令f(·)是關于測度μ可積的函數，則對所有的x∈El，有下面的公式成立：

驗證(A1)成立，只需證明F在U中是一致橢圓的，其中Fu=b(x)·ux+1/2tr(A(x)uxx)，即證存在正數M，滿足

驗證(A2)成立，只需證明存在非負C2類函數和鄰域U使得對任意EU，LV是負的.

2 隨機系統(tǒng)(3)的遍歷性

假設(Ω，F(xiàn)，P)是完備的概率空間.考慮F的部分σ-代數構成的類{Ft}t≥0，如果下列條件成立：

(1) 當s≤t時，F(xiàn)s?Ft；

則稱這個類是(Ω，F(xiàn)，P)上的一個流.若它是單調遞增右連續(xù)的，且F0包含所有的零測集，則稱流{Ft}t≥0滿足通常條件.在本文中所有研究都在賦予流{Ft}t≥0的概率空間進行.

由于系統(tǒng)的解表示捕食者和食餌的密度，因此只考慮正解的存在性.對于任何給定的初始條件，方程的系數需要滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[16]，這是方程存在唯一全局解的必要條件.然而系統(tǒng)(3)的系數既不滿足線性增長條件，也不是局部Lipschitz連續(xù)的.首先通過下面引理1，利用伊滕公式和隨機微分方程比較原理，可得到系統(tǒng)(3)的解是全局非負的.

證明考慮如下擴散過程:

(6)

由于方程(6)的系數是局部Lipschitz連續(xù)的，則對于任意給定的初始條件u(0)=lnx(0)，v(0)=lny(0)，在t∈[0，τe)中存在一個唯一的局部解，其中τe是爆破時間[16].則系統(tǒng)(6)存在一個唯一的局部解x(t)=eu(t)，y(t)=ev(t)，只需證明其是全局的.考慮如下兩個隨機微分方程：

(7)

(8)

設其滿足初始條件Φ(0)=φ(0)=x(0)和Ψ(0)=ψ(0)=y(0)，則方程(7)和(8)的解分別為

利用隨機微分方程的比較原理，得到

φ(t)≤x(t)≤Φ(t)，ψ(t)≤y(t)≤Ψ(t) a.s.，

對于t≥0成立，則唯一局部正解是全局的.

證明

得到擴散矩陣

從而定理3的條件(A1)成立.下面需要證明定理3的條件(A2)成立.為了方便，把(x(t)，y(t))記為(x，y).定義一個C2-函數V：R2→R+如下：

V(x，y)=1/x+q/y+x+Qlogy-Qlogq/Q，

(9)

考慮有界集

則

其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

K在后面被定義.下面分4種情況進行討論：

情況1當(x，y)∈D1時，得到

其中

(14)

由(10)式得LV≤-1.

情況2如果(x，y)∈D2，則

由(11)式得LV≤-1.

情況3如果(x，y)∈D3，有

由(12)式得LV≤1.

由(13)式得LV≤-1.

從而證明了定理3的條件(A2)成立，因此隨機系統(tǒng)(3)有唯一的平穩(wěn)分布μ(·)，且是遍歷的.定理證畢.

3 隨機系統(tǒng)(3)的滅絕性

4 隨機系統(tǒng)(3)的數值模擬

這里用文獻[22]中的方法，借助于Matlab軟件來驗證本文的結果.隨機系統(tǒng)(3)的離散化方程為

其中ξk和ηk(k=1，2，…，n)是服從N(0，1)分布的獨立Gaussian隨機變量.根據文獻13]中引理2.1，將分3種情況討論噪聲對種群的影響.

情況1選取適當的參數，使得確定性系統(tǒng)(2)中的Δ>0，那么確定性系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點，白噪聲只要足夠小，那么隨機系統(tǒng)存在遍歷的平穩(wěn)分布.

圖1 給定初始值(x0，y0)=(0.5，0.5)，取參數d1=8，m1=-5，δ=3，β=3，σ1=0.1，σ2=0.1

圖2 給定初始值(x0，y0)=(0.5，0.5)，取參數d1=8，m1=-5，δ=3，β=3，σ1=0.01，σ2=1.8

圖3 給定初始值(x0，y0)=(0.5，0.5)，取參數d1=8，m1=-5，δ=3，β=3，σ1=1.05，σ2= 0.01

(a)隨機模型 (b)確定性模型

(a)確定性模型

(b)隨機模型

(c)密度函數