隨機(jī)3種群時(shí)滯食物鏈系統(tǒng)的持久性和非持久性

李海紅，李海霞

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130118；2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130031)

0 引言

生態(tài)系統(tǒng)不但與當(dāng)時(shí)的因素有關(guān)，也與時(shí)滯效應(yīng)有密切的聯(lián)系.為了更好地還原生態(tài)背景，人們將時(shí)滯引入種群動(dòng)力學(xué)模型[1-2].

本文研究的3種群時(shí)滯食物鏈系統(tǒng)可表示為

(1)

系統(tǒng)(1)描述了后者捕食前者的3種群時(shí)滯食物鏈模型，這里假設(shè)中層和頂層捕食者擁有捕食能力的時(shí)間為τ[3]，獵物成熟時(shí)間為τ，捕食者僅捕食成熟獵物.在系統(tǒng)(1)中引入隨機(jī)擾動(dòng)，得到隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)：

(2)

本文主要研究在白噪聲干擾下隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)(2)的持久性和非持久性.

1 系統(tǒng)(2)的持久性

首先給出隨機(jī)系統(tǒng)在均值意義下持久性的定義[3].

定義1.1稱系統(tǒng)(2)在時(shí)間均值意義下是持久的，若有

引入系統(tǒng)：

(3)

引理1.2若假設(shè)1成立，則系統(tǒng)(3)的解滿足如下結(jié)論：

證明由文獻(xiàn)[5]和假設(shè)1得

(4)

應(yīng)用伊藤公式，系統(tǒng)(3)的第2個(gè)式子可變形為

dlogΦ2(t)=(-r2+b21Φ1(t-τ)-b22Φ2(t))dt-σ2dB2(t).

進(jìn)一步可得

(5)

注意到

則

(6)

由文獻(xiàn)[4]的引理1.3和假設(shè)1可得

dlogΦ3(t)=(-r3+b32Φ2(t-τ)-b33Φ3(t))dt-σ3dB3(t)，

由帶擾動(dòng)的非自治的Logistic方程解的形式[6]，可得

x(t)≤Φ(t)，

(7)

其中Φ(t)為隨機(jī)時(shí)滯微分方程(3)的解.

綜上，再由文獻(xiàn)[4]的引理1.2，下述結(jié)論顯然成立：

定理1.1若假設(shè)1成立，則系統(tǒng)(2)的解x(t，ξ)滿足

進(jìn)一步有：

定理1.2若假設(shè)1成立，則系統(tǒng)(2)的解x(t，ξ)滿足

證明由系統(tǒng)(2)可得

類(lèi)似有

且

則

且由(7)式可知

(8)

2 系統(tǒng)(2)的非持久性

分兩種情況分析隨機(jī)系統(tǒng)的非持久性.

情形1r1<0.

由伊藤公式，系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程可變形為

dlogΦ1(t)≤(r1-b11Φ1(t))dt-σ1dB1(t).

則

類(lèi)似有：

顯然，由情形1的證明過(guò)程可得

類(lèi)似有

由上述討論可得如下結(jié)論：

定理2.1若假設(shè)1成立，x(t，ξ)是系統(tǒng)(2)的解，則有：

3 數(shù)值模擬

由Milstein方法，得到系統(tǒng)(2)的離散方程：

其中ε1，k，ε2，k，ε3，k是服從N(0，1)的高斯隨機(jī)變量.選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，通過(guò)Matlab軟件，模擬計(jì)算下列實(shí)例：

(1) 確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)(2)的持久性.選取初始條件和系數(shù)為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.通過(guò)Matlab軟件計(jì)算，得到確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)(2)的持久性(圖1).圖1表明，當(dāng)白噪聲很小時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)使其滿足定理1.2條件，則系統(tǒng)(2)的解將在均值意義下持久.

圖1 確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)(2)的持久性

(2) 3個(gè)物種將依概率滅絕.選取初始條件為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=-0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.易驗(yàn)證其滿足定理2.1結(jié)論(1)，選取參數(shù)滿足r1<0.由Matlab軟件模擬系統(tǒng)解的圖像(圖2).由圖2可知，當(dāng)白噪音很大時(shí)，捕食者和被捕食者均依概率死亡，這在確定性系統(tǒng)中是不會(huì)發(fā)生的.

圖2 定理2.1當(dāng)r1<0時(shí)，解的非持久性

圖3 定理2.1當(dāng)時(shí)，解的非持久性