韓榮梅 內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

子環(huán)與理想子環(huán)在具體的解題實(shí)例中有怎么樣的應(yīng)用。首先最基本的解題應(yīng)用就是給定一個(gè)環(huán)R，從中找到相應(yīng)的子環(huán)與理想，這時(shí)就結(jié)合了判定子環(huán)的充要條件：或者是結(jié)合判定理想的充要條件：

在理想中，主理想是非常重要的一部分，題型中往往會(huì)涉及證明給定一個(gè)確定的環(huán)R，然后證明兩個(gè)主理想間是否具有相等的關(guān)系。這時(shí)，往往還是回歸到理想的定義進(jìn)行求解。當(dāng)然，素理想與最大理想也是其核心內(nèi)容，在具體的實(shí)例也有重要和廣泛的應(yīng)用。比如給定一個(gè)環(huán)，讓你在其中找出素理想或者是極大理想。這時(shí)我們就要聯(lián)系構(gòu)造素理想或者是極大理想的充要條件來(lái)進(jìn)行判定。

一、關(guān)于基本定理的應(yīng)用

定理1：P 是有單位元的交換環(huán)R 的一個(gè)理想，則P 是R 的素理想當(dāng)且僅當(dāng)R/P 是整環(huán)。

定理2：M 是有單位元的交換環(huán)R 的一個(gè)理想，那么M 是R 的最大理想當(dāng)且僅當(dāng)D/M 是域。

例1：一個(gè)環(huán)R 的兩個(gè)子環(huán)S1與S2的交仍為R 的子環(huán)。

二、證明一個(gè)理想的充要條件與主理想的應(yīng)用

如果我們假設(shè)環(huán)R 是一個(gè)整數(shù)環(huán)，證明（3，7）與（1）這兩個(gè)主理想相等。

解決這個(gè)題目的核心還是要用到判定一個(gè)理想的充要條件，而我們可以把主理想（1）可以看成是R，即有（1）=R。

證明：因?yàn)椋?，7）是R 的理想，而R又是整數(shù)環(huán)，所以存在使得又因?yàn)樗杂芯陀卸鳵=（1），所以就有并可最終推出（3，7） =（1）。

三、素理想與極大理想的判定的應(yīng)用

去找出一個(gè)環(huán)的素理想與極大理想，這時(shí)我們首先應(yīng)當(dāng)掌握的是這個(gè)環(huán)的特性，是屬于整數(shù)環(huán)，是屬于模剩余類環(huán)還是屬于其它類型的環(huán)。

進(jìn)而我們?cè)俑鶕?jù)構(gòu)成素理想或者是構(gòu)成極大理想的定義來(lái)進(jìn)行判斷。例如我們可以比較容易判斷得出單位理想必定是一個(gè)素理想。而當(dāng)R 是無(wú)零因子的交換環(huán)時(shí)，零理想也是素理想。而如果一個(gè)環(huán)R 中只包含平凡理想，則零理想就是R 的最大理想。以及還可以根據(jù)如果p 是一個(gè)素?cái)?shù)，那么（p）也是整數(shù)環(huán)Z 的素理想與果p 是一個(gè)素?cái)?shù)，那么（p）是整數(shù)環(huán)Z 的最大理想。

如：找出整數(shù)環(huán)Z 與模12 剩余類環(huán)Z12的所有最大理想與素理想。

解：通過(guò)上述我們易知

Z 的素理想是：{0}， Z， （p） 其中p 是素?cái)?shù)

Z 的極大理想是：（p）其中p 是素?cái)?shù)

Z12的素理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2],[4], [6], [8], [10]}，Z12

Z12的極大理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2], [4], [6], [8], [10]}。

四、素理想與極大理想的相關(guān)定理的具體應(yīng)用

I：M 是有單位元的交換環(huán)R 的一個(gè)理想，那么M 是R 的最大理想當(dāng)R/M 且僅當(dāng)是域。

II：P 是有單位元的交換環(huán)R 的一個(gè)理想，則P 是R 的素理想當(dāng)且僅當(dāng)R/P 是整環(huán)。

這兩個(gè)定理在實(shí)際的解題與運(yùn)用往往也是十分重要。

如證明R/M 是域，這樣在一定的條件下我們只需把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明M 是R 的最大理想即可。

如：假定R 是由所有復(fù)數(shù)a+bi（a,b 是整數(shù)）所做成的環(huán)，證明D / （1+i）是一個(gè)域

證明：這時(shí)我們就可以把題目轉(zhuǎn)換成為證明（1+i）是R 的一個(gè)極大理想。

五、理想與商環(huán)在同態(tài)基本定理上的應(yīng)用

在之前我們已經(jīng)知道，如果f 是環(huán)R 到R′環(huán)的同態(tài)，則我們可以得到同態(tài)的基本定理I：Ker f 是R 的理想；II：R/Ker f 與f的像Im f 同構(gòu)

所以，通過(guò)聯(lián)系理想與商環(huán)，在解決同態(tài)問(wèn)題或者是同構(gòu)問(wèn)題上也有很好的實(shí)際應(yīng)用。

如：證明Gauss 整數(shù)環(huán)Z[i]同構(gòu)于Z[i]/（x2+1）

六、商域的判定在解題中的應(yīng)用

那么判定一個(gè)域F 是否為環(huán)R 的商域就應(yīng)當(dāng)運(yùn)用商域的判定定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

如：證明實(shí)數(shù)域R 不是整數(shù)環(huán)Z 的商域