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      關(guān)于位移水仙花數(shù)的研究

      2021-01-18 04:37:28楊健韋佳玉蔣劍軍
      現(xiàn)代計(jì)算機(jī) 2020年33期
      關(guān)鍵詞:水仙花正整數(shù)位數(shù)

      楊健,韋佳玉,蔣劍軍

      (銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,銅陵244061)

      0 引言

      整數(shù)世界的神秘讓人自小就會產(chǎn)生無窮的求知欲望。水仙花數(shù)是不少人初中時代播下的一顆種子,到大學(xué)時代對它的認(rèn)知徹底清晰起來。所謂水仙花數(shù)是指一個3位數(shù),它各位數(shù)字的3次方之和等于該數(shù)自身[1]。利用枚舉法或計(jì)算機(jī)編程,知水仙花數(shù)共有四個:153、370、371 和 407。

      尋找水仙花數(shù),用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是求解下述關(guān)于x,y,z的不定方程:

      其中x,y,z都是介于0到9的整數(shù),且x≠0。

      有了(1)式的數(shù)學(xué)語言,初中時代播下的求知種子,到大學(xué)時代發(fā)了芽。方程(1)是三位整數(shù)的情況,它在n位的情形是怎么樣的呢?即求下述關(guān)于(n;x1,x2,…,xn)的不定方程的解(或全部解):

      其中xi(1,2…,n)都是介于 0到 9的整數(shù),且x1≠0。

      滿足方程(2)的n位正整數(shù)也稱為水仙花數(shù),它是經(jīng)典的三位水仙花數(shù)往高位整數(shù)上的拓展。

      眾所周知,方程(2)至少有解(3;1,5,3)、(3;3,7,0)、(3;3,7,1)和(3;4,0,7)分別對應(yīng)著上面所列的 4 個經(jīng)典的水仙花數(shù)。當(dāng)n>3呢?查閱文獻(xiàn)知,2002年林宣治[2]及2015年衛(wèi)洪春[3]分別求出了方程(2)的所有解,即得到了所有的水仙花數(shù),其中最大的水仙花數(shù)有39 位:115132219018763992565095597973971522401。

      因?yàn)樗苫〝?shù)的趣味性,以及在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)教學(xué)中的特殊地位,近年來依然有學(xué)者將它作為各種計(jì)算機(jī)語言程序設(shè)計(jì)教學(xué)中的范例[4-8],或做著水仙花數(shù)的科普工作[9]。

      文獻(xiàn)[2]及文獻(xiàn)[3]對水仙花數(shù)的徹底解決并沒有阻擋我們對水仙花數(shù)未知世界的探索。本文進(jìn)一步將水仙花數(shù)推廣為更為廣闊的概念——位移水仙花數(shù),研究該類水仙花數(shù)的性質(zhì),并設(shè)計(jì)基于MATLAB矩陣運(yùn)算的快速算法求解滿足一定條件的所有的位移水仙花數(shù)。

      1 位移水仙花數(shù)

      1.1 定義

      一個n位正整數(shù)若等于它各個位上數(shù)字的n+d次方之和,則稱該n位正整數(shù)為指數(shù)位移d的n位水仙花數(shù),簡稱位移d水仙花數(shù)。此時稱d為位移。設(shè)是一個位移d水仙花數(shù),則下述(3)式成立:

      其中xi(1,2…n)都是介于0到9的整數(shù)且x1≠0。

      例如,4150=45+15+55+05,故4150是位移d=1水仙花數(shù);再如,194979=15+95+45+95+75+95,故194979是位移d=-1的水仙花數(shù)。

      當(dāng)d>0,d=0,d<0時分別稱為正位移、0位移、負(fù)位移的水仙花數(shù)。易知,0位移水仙花數(shù)就是一般意義下的水仙花數(shù)。

      1.2 性質(zhì)

      因?yàn)槲灰扑苫〝?shù)比水仙花數(shù)多一個位移參數(shù),所以具有豐富的性質(zhì)。

      性質(zhì)1【有限性】設(shè)d為一給定整數(shù),則位移d水仙花數(shù)的個數(shù)是有限的。

      易得:

      上式兩邊取以10為底的對數(shù),得:

      將(4)式整理為如下形式:

      時位移d的n位水仙花數(shù)是不存在的,故位移d的水仙花數(shù)的個數(shù)是有限的。

      性質(zhì)2【n和d的關(guān)系性質(zhì)】位移水仙花數(shù)中,位移d與位數(shù)n滿足如下關(guān)系式:

      證明(6)式的左邊不等式已由(5)式給出。下面證明(6)式的右邊不等式。

      對上式右邊放大后易得:

      按上述放大所得的數(shù)n·9n+d,其位數(shù)至多增加1,即n·9n+d至多是n+1位整數(shù),即:

      上式兩邊取以10為底的對數(shù),得:

      這就完成了性質(zhì)2的證明。

      性質(zhì)2意義非常豐富。首先,(6)式可視化如下;然后,由(6)式得到d的最小值為-1;最后,由(6)式,應(yīng)用MATLAB編程計(jì)算給定d對應(yīng)的n值的范圍如表1所示。

      表1 給定d對應(yīng)的n值的范圍

      注意,應(yīng)用(6)式計(jì)算得到的n的上界和下界,并非n的上確界和下確界。例如,當(dāng)d=0時,n的下確界是 1,上確界是 39(見文獻(xiàn)[1-2])。

      圖1

      在描述性質(zhì)3之前,先提出并證明下面的引理。為方便描述下述引理和性質(zhì)3,我們引入如下記號:

      引理 1【7整除1(n)的判別】(1);(2)當(dāng)6|n時,7||1(n)。

      證明:

      (1)簡單計(jì)算知,當(dāng)n=1,2,3,4,5時,7?1(n);當(dāng)n=6時,7|1(n)。

      充分性:設(shè)6|n,可寫為n=6k。則:

      上式右端的k個加項(xiàng)都能被7整除,故能被7整除。

      必要性:設(shè)7|1(n)。

      設(shè)n=6k+r,0<r≤6,下面證明r=6。

      將1(n)改寫為:

      上式右端能被7整除,故左端中必有7|1(r),從而得r=6。

      (2)因?yàn)?(6)=3×7×11×13×17,即 7||1(6),所以當(dāng)6|n時,有

      從而得7||1(n)。

      注:引理1說明,7至多是1(n)的單因子。

      同理可得下述兩個引理。

      引理2【3恰好整除1(n)的判別】3||1(n)?3||n。

      注:引理2說明,當(dāng)且僅當(dāng)3||n時,3是1(n)的單因子。

      引理 3【9 整除1(n)的判別】(1);(2)當(dāng)9|n時,9||1(n)。

      注:引理3說明,9也至多是1(n)的單因子。

      性質(zhì)3【位異性】位數(shù)大于1的位移型水仙花數(shù),至少存在兩個位上的數(shù)字是互異的。

      反證法。假設(shè)存在整數(shù)d(≥-1),使m(n)得是位移d的n位水仙花數(shù),即:

      注意到,m(n)=m·1(n),結(jié)合上式得:

      顯然,(8)式中m≠1,5且m不能為偶數(shù)。于是m只可能是 3、7、9。

      經(jīng)檢驗(yàn),(8)式右端n+d-1≥2,故若m是 3、7、9之一,則必然有m是1(n)的至少2重因子,這矛盾于上面的三個引理。

      性質(zhì)3說明,位數(shù)大于1的各位數(shù)字相同的正整數(shù)不會是位移型水仙花數(shù),從而不會是水仙花數(shù)。這是下述性質(zhì)4的基礎(chǔ)。

      性質(zhì)4【惟一性】設(shè)某個n位的位移d水仙花數(shù)從高位到低位的數(shù)字依次是x1,x2,…,xn,則這n個數(shù)字的其他任意異于x1x2…xn的排列所成的n位正整數(shù)都不是位移d水仙花數(shù)。

      證明:

      設(shè)x1,x2,…,xn是位移d的n位水仙花數(shù)從高位到低位的數(shù)字,xi1,xi2,…,xin(其中xi1≠0)是x1,x2,…,xn的異于x1,x2,…,xn的一個排列,令:

      因?yàn)閤i1,xi2,…,xin和x1,x2,…,xn互異的兩個排列,必然有A≠B。

      因?yàn)锳是位移d的水仙花數(shù),故:

      故B不是位移d的水仙花數(shù)。

      3 算法實(shí)現(xiàn)

      3.1 算法設(shè)計(jì)

      計(jì)算泛水仙花數(shù),計(jì)算量超大是其特點(diǎn)。所以在設(shè)計(jì)基于MATLAB快速計(jì)算泛水仙花數(shù)的算法方面,須充分考慮MATLAB的計(jì)算特點(diǎn)。眾所周知,MAT?LAB計(jì)算特點(diǎn)是數(shù)據(jù)以矩陣為單元,循環(huán)效率相對較低。所以在設(shè)計(jì)算法時必須將輸入、輸出和存儲數(shù)據(jù)都矩陣化,降低對循環(huán)的依賴,以提高效率。本文正是基于MATLAB擅長矩陣運(yùn)算的特點(diǎn)設(shè)計(jì)算法以計(jì)算位移型水仙花數(shù)。算法描述如下。

      算法:基于MATLAB的計(jì)算位數(shù)不超過len、位移為d的所有水仙花數(shù)的矩陣算法

      毋庸諱言,本算法有很大的局限,并不能應(yīng)對任意位數(shù)的水仙花數(shù)的求解。

      3.2 計(jì)算結(jié)果

      由d與n的關(guān)系圖知,d=-1的位移水仙花數(shù)最高位不超過34位,實(shí)際最大值為8,一共有2個:194979,14459929;d=1的位移水仙花數(shù)最高位不超過84位,因?yàn)閭€人電腦算力的原因,本文計(jì)算了10位以內(nèi)的所有d=1的位移水仙花數(shù),獲得兩個該類水仙花數(shù):4150,4151;d=2的位移水仙花數(shù)位數(shù)最小為58,最大為108,本文沒能計(jì)算得到該類水仙花數(shù);更大的位移已沒有計(jì)算能力應(yīng)對。

      表2 計(jì)算結(jié)果

      4 水仙花數(shù)的分類

      現(xiàn)在我們將位移型水仙花數(shù)簡稱為水仙花數(shù),它包括了一般意義上的水仙花數(shù)(即3位經(jīng)典水仙花數(shù)和高位水仙花數(shù)),那么對水仙花數(shù)的描述有2個特征:位數(shù)n和位移d;進(jìn)而對水仙花數(shù)的分類就可按位數(shù)n分類或按位移d分類。那么,按哪個特征分類更好呢?我們認(rèn)為按位移分類更好,因?yàn)椋唵蔚拿杜e計(jì)算就知道n=2時沒有的任何位移的水仙花數(shù)。目前計(jì)算得到的結(jié)果按d分類如表3。

      即位移-1的水仙花數(shù)有2個,位移0的水仙花數(shù)有88個,位移1的水仙花數(shù)最高位不超過84,計(jì)算得到10位以內(nèi)有2個。需要說明的是,由于1的特殊性,我們不將1視為任何位移的水仙花數(shù)。

      表3 水仙花數(shù)的分類

      5 結(jié)語

      本文首先將水仙花數(shù)推廣為更一般的位移水仙花數(shù),使得水仙花數(shù)成為我們研究范疇的一個特例。為了實(shí)際上討論和描述的方便,本文可以從一開始就稱呼位移水仙花數(shù)為水仙花數(shù)。然后對水仙花數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了比較細(xì)致的研究,得到的性質(zhì)既是水仙花數(shù)的特征,也十分有趣。最后對水仙花數(shù)的分類進(jìn)行了一些討論。在對水仙花數(shù)分類的過程中,不禁產(chǎn)生了一些疑惑,其中最大的疑惑就是:

      問題1是否存在任意位移的水仙花數(shù)?

      顯然,無論計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展到什么程度都無法從計(jì)算的角度解決上述問題。于是,我們把上述問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)問題:

      問題2下述關(guān)于(n;d,x1,x2,…,xn)的不定方程:

      的解是否是有限的?其中0≤xk≤9,k=1,2,…,n,且x1≠0。

      期待數(shù)學(xué)工作者給出問題2的解答。

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