關于Sine橢球的研究

張思濤

（商丘工學院基礎教學部，河南 商丘 476000）

1 引言

橢球是凸幾何分析中一個重要的研究對象，近些年來，橢球得到了廣泛的關注并產生了大量的深刻結果[1-3]。本文也將繼續(xù)在L3空間中進行研究。在經典力學中，慣量橢球Γ2K是指在任一方向上有相同的轉動慣量，這個橢球就是我們熟知的Legendre橢球[1]。Lutwak[2]引入了它的對偶模型LYZ橢球。利用數(shù)學領域中的基本定理勾股定理，Li[3]定義了兩種正弦橢球，對于星體K和向量x，橢球Λ2K的支撐函數(shù)定 義為：

對于凸體K和向量x，橢球Λ-2K的徑向函數(shù)定義為：

受上述文獻的啟發(fā)，我們進一步研究正弦橢球，得到了如下結果：

定理：若L是星體，那么

2 定理的證明

我們將列舉有關凸體的一些知識背景，可以參看Schneider的關于凸體的百科全書[4]。對于凸體K，有

若K，L是星體，那么他們的對偶混合體積[5]定義為：

當K=L時，有

對偶Lp Minkowski不等式陳述為：若K，L是星體和3≥p＞0，有

其中等號成立當且僅當K，L是膨脹的。

引理：若K和L是星體，則有

證明：由等式（5），（4），（1）和Fubini’s定理，有

進一步化簡得到等式（8），證畢。

由不等式（7）得：