基于Kriging模型的工程土方量計算方法分析

洪成晶

(中國路橋工程有限責任公司，北京100010)

土方量的計算是工程建設施工中重要的一環(huán)，直接關(guān)系到工程造價，是有效控制工程成本的重要依據(jù)[1]。目前土方量的計算方法主要由方格網(wǎng)法、等高線法、斷面法以及DTM(數(shù)字地面模型)等，眾多學者對這些方法進行了詳細地研究，如常青[2]對上述四種方法的精度和適用性進行了研究分析，并用實例進行了證明；陳愛梅[3]等基于南方CASS軟件平臺對上述方法進行了對比分析，并提出了在使用過程中應注意的事項。

本文基于方格網(wǎng)法，針對方格網(wǎng)法的不足，減少外業(yè)的工作量，提出一種計算土方量的新方法，并通過具體案例進行分析驗證，證明了本文方法的正確性和精確性。

1 方格網(wǎng)法概述

方格網(wǎng)法[4]是工程土方量計算的一種常用方法，其基本原理就是將待測區(qū)域劃分為多個正方形網(wǎng)格，根據(jù)每個網(wǎng)格頂點的原地面高程和設計高程采用平均值法計算每個方形區(qū)域的填、挖方量，最后進行匯總，從而得到整個區(qū)域的填方和挖方的總量。基本的計算式如下：

(1)

式中:Hij為第i行第j列的方格網(wǎng)的高差；a、b為方格網(wǎng)的邊長；n式待測區(qū)域的方格數(shù)量。

方格網(wǎng)法適用于大面積的土方量計算，尤其是地形變化較小，地勢較為平坦的區(qū)域。對于地形起伏較大的區(qū)域，由于方格網(wǎng)法中假定同一網(wǎng)格線上高程同，最終土方量的計算精度會有所降低。因此在計算地形起伏較大區(qū)域的土方量時，往往需要對網(wǎng)格點進行加密，外業(yè)的工作量會隨之大大增加，不利于工作效率的提高。

為了彌補方格網(wǎng)法的不足，將Kriging模型引入其中。其基本思路為：

(1)在待測區(qū)域均勻采集原地面的高程，獲取一系列樣本點。

(2)利用外業(yè)采集的樣本點建立Kriging模型，實現(xiàn)對原地面地形的模擬。

(3)根據(jù)模擬的地形條件，采用方格網(wǎng)法劃分網(wǎng)格并進行土方量的計算。

上述方法的優(yōu)勢在于在采用方格網(wǎng)法計算土方量時，網(wǎng)格頂點處的原地面高程可以由模擬出的地形直接給出，當網(wǎng)格需要加密時，不再需要進行外業(yè)測量，大大減少了工作量。

2 Kriging模型

2.1 Kriging模型基本原理

Kriging模型是1951年由南非工程師Krige提出的一種給予隨機過程的無偏估計模型[5]，最早用于礦產(chǎn)儲量分布的估計。在Giunta[6]、Sacks[7]等學者的推動下，Kriging模型目前已在氣象、水文地質(zhì)、地理信息系統(tǒng)、航空航天的多個領(lǐng)域獲得廣泛的應用。

Kriging模型是一種插值模型，在已知樣本點x=[x1x2…xn]T和對應的n個函數(shù)響應值ys=[y1y2…yn]T的情況下，其插值結(jié)果由已知樣本點的函數(shù)值線性加權(quán)得到，即：

(2)

因此，只要能給出加權(quán)系數(shù)ω=[ω1ω2…ωn]T，便可以估計出任一點處的函數(shù)響應。為此，Kriging模型引入統(tǒng)計學的假設，即將未知函數(shù)看作是某個高斯靜態(tài)隨機過程的具體體現(xiàn)。換言之，對于任意位置x，對應的函數(shù)響應y(x)被一個隨機函數(shù)Y(x)代替，y(x)只是Y(x)可能的結(jié)果之一，即：

Y(x)=β0+Z(x)

(3)

式中：β0是未知常數(shù)，代表Y(x)的數(shù)學期望值；Z(·)是均值為0，方差為σ2的靜態(tài)隨機過程。

在設計空間中，不同未知處的隨機變量之間的相關(guān)性可以用下式進行描述。

Cov[Z(x),Z(x′)]=σ2R(x,x′)

(4)

其中：R(x,x′)為相關(guān)函數(shù)，表示不同位置處隨機變量之間的相關(guān)性。

為使Kriging模型預估值準確，要求下式所示的均方根誤差：

(5)

最小，且滿足無偏估計的條件。

引入拉格朗日方法，將上述問題轉(zhuǎn)化為下式所示的求最小值問題：

minH(ω,λ)=σ2(1+ωTRω-2ωTrx)-λ(FTω-1)

s.t.FTω-1=0

(6)

式中：R為相關(guān)矩陣，由樣本點之間的相關(guān)函數(shù)計算得到，R=(R(xi,xj))i,j∈n×n；rx為相關(guān)向量，計算方法為rx=[R(x1,x),R(x2,x),…,R(xn,x)]；F為n維單位列向量，F(xiàn)=[1 1 … 1]∈n。

對式(6)進行求解，可得：

λ=-2σ2(FTR-1F)-1(FTR-1rx-1)

(7)

ω=R-1(rx-F(FTR-1F)-1(FTR-1rx-1))

(8)

并將其帶入到式(2)中，可以得到：

(9)

其中:β0可根據(jù)最大似然估計得到，其值為：

β0=(FTR-1F)-1FTR-1ys

(10)

2.2 相關(guān)函數(shù)

相關(guān)矩陣R和相關(guān)向量rx的建立都與相關(guān)函數(shù)的選取有關(guān)。目前許多學者采用高斯相關(guān)函數(shù)，主要由以下幾類[8]：

(1)高斯函數(shù)：

Rk(xi,xj)=exp[-θk|xi-xj|2]

(11)

(2)各項同性高斯指數(shù)函數(shù)：

Rk(xi,xj)=exp[-θk|xi-xj|p] 1≤p≤2

(12)

(3)各向異性高斯指數(shù)函數(shù)：

Rk(xi,xj)=exp[-θk|xi-xj|pk] 1≤p≤2,k=1,2,3,…

(13)

式中:θ，p為相關(guān)函數(shù)參數(shù)。

3 土方量計算案例分析

3.1 案例選擇

為對本文中提出的方法進行驗證，假設有一方形場地，其尺寸為200m×200m，并且該場地內(nèi)的地形滿足式(14)所示的函數(shù)關(guān)系式。該方形場地的地形如圖1所示。

(14)

圖1 原地面地形

從圖1中可以看出，該場地內(nèi)地形起伏較大，在四個波峰處(坐標分別為(-50,-50)、(-50,50)、(50,-50)、(50,50))原地面標高最大，為32.4m，在(0,0)處原地面標高最小，為0m。據(jù)此可以計算出該場地內(nèi)最大平均坡度約為15°，若采用傳統(tǒng)的方格網(wǎng)法進行土方量的計算，則需要對網(wǎng)格進行加密，工作量十分巨大。

3.2 均勻采樣與地形模擬

為保證采樣點能夠均勻分布于場地之中，本文中采用均勻設計法來進行采樣點的選取。均勻設計法是方開泰于1978年提出的[8]。首先產(chǎn)生均勻設計表，然后根據(jù)均勻性的度量標準如中心偏差、卷積偏差等來產(chǎn)生使用表，即最終的樣本點。通過這一系列的過程，使樣本點在設計空間內(nèi)均勻分散。

圖2為100個樣本點的分布情況，從圖中可以看出，樣本點在場地內(nèi)的分布十分均勻，滿足均勻性的要求。

根據(jù)均勻設計獲得的樣本點之后，通過式(14)獲取樣本點處在該方形場地內(nèi)的標高，然后采用Kriging模型對該場地的地形進行模擬，模擬出的地形如圖3所示。在模擬過程中，各采樣點之間的相關(guān)函數(shù)采用各向同性高斯指數(shù)函數(shù)，取θ=0.1，p=1。

圖2 樣本點均勻分布情況

圖3 Kriging模型擬合出的地形

對比圖1和圖3可以發(fā)現(xiàn)，Kriging模型能夠較好地模擬出地形的起伏特點，模擬效果較好。

3.3 土方量計算結(jié)果分析

假設需要對該場地進行整平，整平后標高為15m。由于描述地形的函數(shù)已知，可以用積分方法算出填挖方的精確值。表1列出了本文中方法在不同采樣點數(shù)量下的填挖方計算值。

從表中計算結(jié)果可以看出，隨著樣本點數(shù)量的增加，Kriging模型對地形的模擬越精確，最終填方量和挖方量的計算越準確，同時也標明本文中提出的方法的可行性與精確性。當樣本點數(shù)量為120時，即樣本點的平均間距為18.3m時，填方量和挖方量的計算誤差均在5 %以內(nèi)。

比較樣本點的平均間距為20m時的計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)本文方法計算結(jié)果比傳統(tǒng)方格網(wǎng)法的計算結(jié)果更加精確，與精確解相比，本文方法計算的填方量偏差為5.2 %，挖方量的計算偏差為2.7 %，而傳統(tǒng)方格網(wǎng)法計算的填方量偏差和挖方量偏差分別為16.8 %和14.8 %，本文中方法的計算結(jié)果遠遠優(yōu)于傳統(tǒng)方格網(wǎng)法。從表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在相同的計算精度下，本文中方法所需的外業(yè)工作量遠遠小于傳統(tǒng)方格網(wǎng)法。

表1 不同樣本數(shù)量下的計算結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文基于方格網(wǎng)法，引入Kriging模型，提出了一種計算工程土方量的新方法，并用該方法對一起伏較大的地形進行了土方量的計算，主要結(jié)論如下：

(1)隨著樣本數(shù)量的增加，土方量的計算精度也就越高，在本文的算例中，當樣本數(shù)量大于等于120時，與精確解相比，計算誤差小于5 %。

(2)與傳統(tǒng)的方格網(wǎng)法相比，本文中提出的方法計算精度更高，在相同的計算精度下，所需的外業(yè)工作量更少。