李樂(lè)毅

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電與信息工程系，四川618000)

隨著智能模擬軟件的高速發(fā)展，模擬材料斷裂的萌生、擴(kuò)展和最終分離的整個(gè)變化過(guò)程需要高精度的模擬軟件和解析方法，其中，目前一個(gè)重要研究發(fā)展方向是如何利用現(xiàn)有的商用有限元軟件來(lái)準(zhǔn)確高效地模擬材料的裂紋擴(kuò)展。金屬，尤其是彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋萌生、擴(kuò)展和最終分離是一個(gè)強(qiáng)非線性過(guò)程，傳統(tǒng)的有限元解析方法很難有效地模擬彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋萌生、擴(kuò)展和最終分離引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)應(yīng)力與位移擴(kuò)展的不連續(xù)性[1-4]。

近十年來(lái)，為了專門(mén)克服彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋變化過(guò)程所遇到的困難，許多專家學(xué)者提出了許多解析方法，例如改良邊界元法、離散有限元法和虛擬節(jié)點(diǎn)法等[5-6]。上述理論都可以在一定范圍內(nèi)有效地模擬彈塑性復(fù)合金屬材料裂紋的擴(kuò)展，但通用性和運(yùn)用范圍受限，對(duì)于裂紋擴(kuò)展復(fù)雜的彈塑性復(fù)合金屬材料，在模擬時(shí)耗時(shí)較長(zhǎng)或模擬結(jié)果發(fā)散。近幾年，有專家學(xué)者提出了一種基于內(nèi)聚力模型的有限元算法，該算法無(wú)需預(yù)先設(shè)置附加節(jié)點(diǎn)或約束就能處理彈性材料的裂紋發(fā)生、擴(kuò)展和最終分離，由于基于內(nèi)聚力模型的有限元算法具有精度高、穩(wěn)定性好、耗時(shí)短等優(yōu)點(diǎn)，表現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。但是，該方法尚未應(yīng)用在彈塑性復(fù)合金屬材料。

因此，在現(xiàn)有研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，針對(duì)一維彈塑性復(fù)合金屬材料的斷裂問(wèn)題，以一維二節(jié)點(diǎn)桿單元為研究模擬對(duì)象，提出一種基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法，并把該方法嵌入傳統(tǒng)有限元軟件Abaqus中進(jìn)行有限元分析。

圖1 一維彈塑性桿單軸加載Figure 1 One dimensional elastic-plastic rod uniaxial loading

1 基于內(nèi)聚力模型的有限元法

圖1是對(duì)一維彈塑性復(fù)合金屬材料桿進(jìn)行雙向加載，用Ω代表完整的彈塑性復(fù)合金屬材料桿，桿長(zhǎng)為l，橫截面積為A，當(dāng)彈塑性復(fù)合金屬材料桿承受雙向加載時(shí)，桿件下部節(jié)點(diǎn)1的位移量為u1，節(jié)點(diǎn)受力為F1；桿件上部節(jié)點(diǎn)2的位移量為u2，節(jié)點(diǎn)受力為F2。所以，在豎直x軸方向產(chǎn)生的凈位移量為u=u2-u1。

(1)

等向強(qiáng)化函數(shù)為：

(2)

其中p為節(jié)點(diǎn)處應(yīng)變。采用米塞斯屈服強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)一步判斷當(dāng)前時(shí)刻彈塑性復(fù)合金屬材料桿的彈塑性狀態(tài)，屈服函數(shù)為：

f=σ-r-σy

(3)

當(dāng)f<0時(shí)，復(fù)合金屬材料桿發(fā)生彈性變形，滿足Dep=E；當(dāng)f=0時(shí)，復(fù)合金屬材料桿發(fā)生彈塑性變形，滿足Dep=Eh(E+h)，其中Dep為材料切線剛度矩陣。

圖2 三角形內(nèi)聚力關(guān)系Figure 2 Triangle cohesion relationship

彈塑性復(fù)合金屬材料桿的非線性斷裂過(guò)程選用如圖2所示的三角形內(nèi)聚力模型進(jìn)行模擬，數(shù)學(xué)上可表示為：

(4)

在公式中引入上標(biāo)i∈[1，2，3，4]代表內(nèi)聚力關(guān)系段號(hào)，其中，內(nèi)聚力關(guān)系第i段的斜率用α(i)表示，所以，公式(4)中應(yīng)力σ余裂紋張開(kāi)位移δn的關(guān)系式可以改寫(xiě)為：

(5)

(6)

而且內(nèi)聚力關(guān)系斜率α(i)可以表示為：

(7)

與此同時(shí)，復(fù)合金屬材料桿的裂紋張開(kāi)位移δn的取值范圍可以表示為：

(8)

在上述內(nèi)聚應(yīng)力模型中，復(fù)合金屬材料桿的裂紋張開(kāi)度δn對(duì)應(yīng)的能量釋放率G可以表示為：

(9)

復(fù)合金屬材料桿的斷裂準(zhǔn)則可以改寫(xiě)為：

G=Γc

(10)

其中Гc為復(fù)合金屬材料桿的斷裂韌性。

2 基于內(nèi)聚力模型的有限元模擬測(cè)試

如圖3所示，為彈塑性復(fù)合金屬材料一維二節(jié)點(diǎn)桿有限元模擬拉伸測(cè)試的幾何模型，同時(shí)采用兩種模式進(jìn)行加載，一種是當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入塑性變形階段后馬上進(jìn)行卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂，另一種是當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入內(nèi)聚力裂紋擴(kuò)展階段后馬上進(jìn)行卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂，選用上述兩種循環(huán)加載情況進(jìn)行單元測(cè)試。

圖3 一維二節(jié)點(diǎn)彈塑桿單元Figure 3 One dimensional two nodes elastic-plastic rod unit

圖4 應(yīng)力-應(yīng)變曲線及其擬合結(jié)果Figure 4 Stress-strain curve and fitting result

首先，采用當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入塑性變形階段后立即卸載，再重新加載到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂的模擬方案進(jìn)行測(cè)試。即控制外加載荷位移從u=0加載到u=1.2 mm，復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入塑性變形階段，接著卸載到u=1.0909 mm時(shí)，外加載荷變?yōu)?，最后再加載到u=3.6 mm時(shí)，桿件完全斷裂。如圖5所示給出了在整個(gè)加載過(guò)程中彈塑性復(fù)合金屬材料桿的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系數(shù)值解(FEM)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(experimental)、線性擬合結(jié)果(fitting curve)以及解析解(analytical solution)之間的對(duì)比，由圖5可知，上述四種結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法在分析一維桿件進(jìn)入塑性變形段卸載后再加載到完全斷裂時(shí)的準(zhǔn)確性。

圖5 加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 5 Stress-strain curves of loading points

然后采用當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入內(nèi)聚力裂紋擴(kuò)展階段后立即卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂的模擬方案進(jìn)行測(cè)試。即控制位移從u=0加載到u=2.4 mm，復(fù)合金屬材料桿單元進(jìn)入內(nèi)聚力裂紋擴(kuò)展階段，接著卸載到u=2.28 mm時(shí)外力為0，最后再加載到u=3.6 mm時(shí)完全斷裂。圖6給出了整個(gè)加載過(guò)程中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的四種結(jié)果對(duì)比，其結(jié)果也基本一致，驗(yàn)證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法在模擬一維桿件進(jìn)入內(nèi)聚力裂紋擴(kuò)展階段卸載后再加載到完全斷裂整個(gè)加載過(guò)程時(shí)的準(zhǔn)確性。

圖6 加載點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 6 Stress-stain curves of loading points

3 結(jié)論

針對(duì)彈塑性復(fù)合金屬材料的斷裂問(wèn)題，以一維二節(jié)點(diǎn)桿為研究對(duì)象，提出一種基于內(nèi)聚力模型的有限元算法，并借助有限元軟件Abaqus，以一維彈塑性復(fù)合金屬材料桿單軸拉伸為實(shí)驗(yàn)背景，對(duì)兩種循環(huán)加載過(guò)程進(jìn)行了有限元模擬，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、線性擬合結(jié)果以及解析進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法的精確性。