Maple軟件在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用

林挺

（福建廣播電視大學(xué)南平分校 福建省南平市 353000）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科，它從定量的角度來研究與揭示現(xiàn)實世界中不確定現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）的統(tǒng)計規(guī)律性。概率論是從數(shù)量側(cè)面研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，數(shù)理統(tǒng)計則是以概率論為主要數(shù)學(xué)工具，研究怎樣用有效的方法去收集和使用受隨機性影響的數(shù)據(jù)，并對所研究的問題作出推斷和預(yù)測，直至為決策和行動提供依據(jù)和建議。Maple 軟件是由加拿大Waterloo 大學(xué)開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，具有強大的符號運算、數(shù)值計算、圖形繪制功能。與其他流行的數(shù)學(xué)軟件相比，Maple 的優(yōu)勢在于它具有強大的符號計算能力，而且它能夠逐步演示理論推導(dǎo)和計算過程。研究的總體思路，隨機變量概率、分布密度、隨機變量數(shù)字特征是概率統(tǒng)計中的重要的知識點與難點，在概率統(tǒng)計教學(xué)中，常常會遇到一些概率統(tǒng)計的求解過程是怎樣的、結(jié)果對不對、解題速度快不快等問題，現(xiàn)借助Maple 強大的計算功能，使用相應(yīng)函數(shù)工具，能夠較輕松、快速、正確、直觀地解決傳統(tǒng)教科書上一些概率統(tǒng)計問題。

1 概率統(tǒng)計實例

例1[1P38]：（離散型隨機變量的概率）已知100個球中有5個白球，現(xiàn)從中有放回地抽取3 次，每次任意抽取1 個，求在抽取的3 次中恰有2 個白球的概率。

解：打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:（要加冒號）回車；binomial(3,2)*(0.05)^2*(1-0.05)^(3-2)（不能加冒號）回車后得0.007125

例2：（連續(xù)型隨機變量的概率）已知X ～ N(8,0.5^2),求P{7.5 ≤X ≤10}[1P56]

解：依題意得，P{7.5 ≤X ≤10}=Φ(4)- Φ(-1)；打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:回車;with(Statistics):回車;X:=RandomV ariable(Normal(0,1)):回車;CDF(X,4,numeric)- CDF(X,-1,numeric)回車后得0.841313074826710

例3：二項分布[2P32]，如.X ～ B（50,0.6）的分布密度的圖象。

解：打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:回車;with(plots):回車;with(combinat):回車;with(Statistics):回車;X:=RandomVariable(Binomial(50,0.6)):回車; plots[display](DensityPlot(X))# DensityPlot密度圖;回車后得圖象如圖1所示。

例4：正態(tài)分布[1P55]，如.X ～ N（0,1）的分布密度]的圖象。

解:打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:回車;with(Statistics):回 車;X:=RandomVariable(Normal(0,1)):回車;PDF(X,x):回車;plot(PDF(X,x),x=-3.5..3.5)（不能加冒號）回車后得圖象如圖2所示。

例5：x^2 分布[1P148]，如.X ^2～x^2（3）.X ^2～x^2（5）.X^2～x^2（9）的分布密度的圖象。

解：打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:回車 ;with(Statistics):回 車 ;X:=RandomVariable(ChiSqua re(3)):回 車;PDF(X,x):回 車;a1:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回車; X:=RandomVariable(ChiSquare(5)):回 車;PDF(X,x):回車;a2:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回 車; X:=RandomVariable(ChiS quare(9)):回 車;PDF(X,x):回 車;a3:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回車;plots[display](a1,a2,a3)回車后圖象如圖3所示。

圖1

圖2

例6：二維正態(tài)分布[1P77]，如.(x,y)～ N(0,0,1^2,1^2,0)的分布密度的圖象。

解：打開Maple18，分別輸入程序代碼：restart:回車;with(plots):回車;plots[display](plot3d(exp(-(x^2+y^2)/2)/2Pi,x=-5..5, y=-5..5))回車后得圖象如圖4所示，通過旋轉(zhuǎn)可以多角度觀察圖象[3]，如圖5。

例7[1P122]：（隨機變量數(shù)字特征，期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）已知隨機變量（X，Y）具有概率密度

圖3

圖4

圖5

解、打開Maple18，分別輸入程序代碼：（實際上是求二重積分）restart:回車；with(Student[MultivariateCalculus]):回車；EX:=MultiInt(x*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2,output=steps)回車得7/6 即為E(X),并且逐步演示[4]計算過程如圖6； EY:=MultiInt(y*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回車得7/6 即為E(Y)；EXY:=MultiInt(x*y*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回車得4/3 即為E(XY)；covXY:=EXY-EX*EY 回車得-1/36即為cov(X,Y)；EX2:=MultiInt((x^2)*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回車;EY2:=MultiInt((y^2)*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回車 ; DX:=EX2-EX^2 回車;DY:=EY2-EY^2 回車;pXY:=(EXY-EX*EY)/sqrt(DX*DY)回車得-1/11即為ρ(XY);D=DX+DY+2*covXY回車得D=5/9，如圖6所示。

圖6

2 結(jié)語

通過Maple在概率統(tǒng)計中數(shù)值計算[5]與繪圖的探索研究與實踐,有利于提高實際應(yīng)用能力及綜合素質(zhì)。長期以來“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程采用板書式的教學(xué)方法，求取概率分布傳統(tǒng)的方法經(jīng)常用查詢表格的方式來解決，課程教學(xué)還是陳舊的教學(xué)方法及學(xué)習(xí)方法，教學(xué)手段非常落后，函數(shù)圖象曲線曲面的形成過程，是通過傳統(tǒng)的教師講授、靜態(tài)圖示呈現(xiàn)出來,效果差。實踐證明，數(shù)學(xué)教學(xué)中多輔以一些數(shù)學(xué)軟件，借助多媒體技術(shù)實現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)概念和理論的直觀可視化，數(shù)學(xué)軟件可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解，提高學(xué)生熟練運用計算機軟件的能力。數(shù)學(xué)軟件與概論統(tǒng)計課程的深度融合，改變了傳統(tǒng)的粉筆加黑板的課堂教學(xué)模式，利用數(shù)學(xué)軟件的繪圖功能繪制復(fù)雜函數(shù)的圖像，使課程更為直觀形象，幫助學(xué)生深入理解基本知識，提高教學(xué)質(zhì)量。