基于矩陣束算法的油紙絕緣變壓器去極化電流等效電路參數(shù)辨識(shí)

陳俊鴻，劉慶珍，高浩

(福州大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

許多學(xué)者通過搭建油紙絕緣老化診斷等效電路模型作為分析基礎(chǔ)，其中在經(jīng)典德拜模型的基礎(chǔ)上，匈牙利學(xué)者博格納等人最早提出擴(kuò)展德拜模型對(duì)時(shí)域介質(zhì)響應(yīng)過程進(jìn)行建模，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證其準(zhǔn)確性[8-9]，擴(kuò)展德拜模型因能夠合理解釋復(fù)合絕緣介質(zhì)的弛豫響應(yīng)機(jī)理，目前被廣泛應(yīng)用與普遍接受[10]。

擴(kuò)展德拜等效電路模型的參數(shù)辨識(shí)方法主要分為2大類，一類是通過回復(fù)電壓法的測試數(shù)據(jù)(如初始斜率、回復(fù)電壓峰值和回復(fù)電壓峰值時(shí)間)，建立對(duì)應(yīng)的回復(fù)電壓與初始斜率的電路計(jì)算方程組，然后通過各種群智能優(yōu)化算法，如區(qū)間粒子群優(yōu)化[11]、混沌-粒子群優(yōu)化[12]、改進(jìn)果蠅算法[13]、回復(fù)電壓曲線分解法[14]等對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。這些方法都能在一定精度上得到辨識(shí)結(jié)果，但在迭代過程中由于初始粒子生成的隨機(jī)性，對(duì)同一臺(tái)變壓器多次執(zhí)行同一群智能算法，卻不能保證得出來的辨識(shí)結(jié)果唯一；并且大多文獻(xiàn)均采用試探性的方法假設(shè)德拜模型的支路數(shù)為6條，會(huì)產(chǎn)生試探性假設(shè)誤差，降低參數(shù)辨識(shí)可信度。

另一類是通過極化去極化電流(polarization depolarization current，PDC)法的測試數(shù)據(jù)來辨識(shí)擴(kuò)展德拜等效電路模型的參數(shù)。有學(xué)者利用小時(shí)間常數(shù)的子譜線在末端的貢獻(xiàn)幾乎為零、大時(shí)間常數(shù)的子譜線在末端幾乎與極化電流曲線重合的規(guī)律，從末端開始解譜，將多指數(shù)函數(shù)擬合轉(zhuǎn)化為單指數(shù)函數(shù)擬合，實(shí)現(xiàn)德拜參數(shù)辨識(shí)[15]，但這種方法在解譜過程中，需要在每條曲線的末端任取2點(diǎn)進(jìn)行求解，存在人為選點(diǎn)的主觀性。還有學(xué)者對(duì)去極化電流進(jìn)行一次微分[16]或二次微分[17]處理，通過判斷其局部峰值點(diǎn)的數(shù)量來確定極化支路數(shù)，但在后續(xù)研究中發(fā)現(xiàn)，一次微分法無法辨識(shí)衰減時(shí)間常數(shù)大于測試時(shí)間的弛豫支路，二次微分法無法辨識(shí)衰減時(shí)間常數(shù)大于測試時(shí)間一半的弛豫支路。另有學(xué)者用數(shù)學(xué)分析法直接對(duì)去極化電流曲線進(jìn)行圖解[18]，在去極化電流曲線末端任取3點(diǎn)，對(duì)子譜線參數(shù)進(jìn)行求解[19]，最后通過一系列修正計(jì)算均能得到各極化支路參數(shù)，但也都同樣存在選點(diǎn)的隨機(jī)性，造成參數(shù)計(jì)算結(jié)果不唯一。為了避免選點(diǎn)主觀性，文獻(xiàn)[20]對(duì)去極化電流曲線進(jìn)行三次微分處理，推導(dǎo)三次微分子譜線參數(shù)與德拜模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，但未考慮到現(xiàn)場測試的去極化電流數(shù)據(jù)會(huì)有噪聲的影響。

綜上所述，目前對(duì)擴(kuò)展德拜模型參數(shù)辨識(shí)的研究存在群算法初始點(diǎn)隨機(jī)、計(jì)算繁瑣復(fù)雜、支路數(shù)不確定、末端選點(diǎn)主觀性、辨識(shí)結(jié)果不唯一、未考慮數(shù)據(jù)噪聲影響等缺點(diǎn)。為此，本文提出用矩陣束算法[21]對(duì)擴(kuò)展德拜模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，首先通過去極化電流數(shù)據(jù)構(gòu)建漢克爾矩陣；然后根據(jù)矩陣奇異值數(shù)值大小判斷擴(kuò)展德拜模型的極化支路數(shù)；接著在此基礎(chǔ)上擬合出各條支路的弛豫系數(shù)Ai和時(shí)間常數(shù)τ，并對(duì)比分析矩陣束算法在不同噪聲水平下的擬合效果；最后通過現(xiàn)場實(shí)測的去極化電流數(shù)據(jù)，驗(yàn)證本文算法在現(xiàn)場噪聲干擾下的擬合魯棒性。

1 去極化電流測量的擴(kuò)展徳拜建模

1.1 PDC法的測量過程

PDC法是一種基于時(shí)域介電響應(yīng)的無損檢測方法[7]，其測量接線圖如圖1所示。具體測量過程是：①經(jīng)過完全放電后，閉合開關(guān)S1，打開開關(guān)S2，在變壓器繞組兩端施加時(shí)間為tc的直流高壓U0，此時(shí)變壓器內(nèi)部發(fā)生極化響應(yīng)。測量tc時(shí)間段流過繞組兩端的總電流，定義為極化電流ip。②隨后閉合開關(guān)S2，打開開關(guān)S1，即斷開U0，短接繞組兩端時(shí)間td，此時(shí)絕緣內(nèi)部發(fā)生去極化響應(yīng)過程，釋放介質(zhì)儲(chǔ)存的電量。測量并記錄td時(shí)間段流過繞組兩端的反向電流，定義為去極化電流id。極化去極化電流法測量過程中絕緣繞組兩端的電流曲線如圖2所示。

圖1 PDC法測量接線圖Fig.1 Measurement wiring diagram of PDC method

1.2 油紙絕緣變壓器的擴(kuò)展德拜等效電路模型

構(gòu)建油紙絕緣的擴(kuò)展德拜等效電路如圖3所示。等效電路被分成2部分：一部分為幾何等效電路，其參數(shù)取決于油紙絕緣的型號(hào)、結(jié)構(gòu)等固有屬性，均可通過工業(yè)測量得到[17]，其中Rg為絕緣系統(tǒng)的絕緣電阻，Cg為油紙絕緣的幾何電容；另一部分為極化等效電路，由多條RC串聯(lián)支路并聯(lián)而成，用于模擬高壓作用后絕緣內(nèi)部非均勻電介質(zhì)的復(fù)合極化過程[18]，Rpi、Cpi(i=1,2,3，…，n)分別為不同弛豫過程的極化電阻和極化電容，τi=RpiCpi對(duì)應(yīng)各極化等效支路不同弛豫過程的等效時(shí)間常數(shù)。

圖2 PDC測量波形圖Fig.2 Waveforms of PDC measurement

圖3 擴(kuò)展德拜等效電路Fig.3 Extended Debye equivalent circuit

在圖3擴(kuò)展德拜等效電路的基礎(chǔ)上，根據(jù)電路基本理論，去極化過程中每條極化支路的電容電壓

Ui0=U0(1-e-tc/τi).

(1)

由于在去極化過程中，Rg被短接，且Cg放電時(shí)間較短，故不考慮二者的影響，去極化電流是n條極化支路電流的零輸入響應(yīng)疊加，即

(2)

其中弛豫系數(shù)Ai為與t無關(guān)的常數(shù)，所以在擴(kuò)展德拜等效電路的基礎(chǔ)上分析得到的去極化電流是1條由n條指數(shù)函數(shù)疊加而成的曲線[15]。

結(jié)合式(2)可辨識(shí)出擴(kuò)展德拜等效電路每條極化支路的極化電阻和極化電容如下：

(3)

由第1.2節(jié)內(nèi)容可知幾何電容Cg屬于油紙絕緣結(jié)構(gòu)的固有屬性，在老化過程中變化不大，可直接由工業(yè)測量得到[18]。當(dāng)極化充電時(shí)間為無窮大時(shí)，極化電流ip可以表示為

(4)

所以絕緣電阻Rg可表示為

(5)

綜上所述，基于去極化電流曲線的油紙絕緣變壓器等效電路參數(shù)辨識(shí)的關(guān)鍵就是擬合出去極化電流曲線里的各條子譜線的Ai和τi。

母親的百花谷，袁安小時(shí)候偷偷去看過，華麗的衣裳，漂亮的人兒，經(jīng)久不散的女人香與酒臭，官吏打拱，公子搖扇，江湖客掛劍挎刀，是個(gè)有意思的地方?？墒沁@群山之中的萬花谷在哪里呢？母親說有客人曾經(jīng)跟她說過一句話：“白雪皚皚，冬月盈盈，黃粱有夢，萬花有因?！比f花谷就藏在這句話里面，另外又講，“龍化成魚，城化為池，亂世流離，十年為期?！睋?jù)說大唐的命運(yùn)藏在這句話里面。

2 介質(zhì)極化等效電路參數(shù)辨識(shí)的過程

2.1 奇異值曲線確定極化支路數(shù)

將以時(shí)間為序列的去極化電流id(t)構(gòu)建成(N-L)×(L+1)的漢克爾矩陣，記為

(6)

式中：N為等間距采樣點(diǎn)數(shù)；L為矩陣束變量參數(shù)，當(dāng)L的取值范圍為N/4～N/3時(shí)，噪聲濾波處理更有效。

對(duì)矩陣X進(jìn)行奇異值分解得

(7)

式中：S和D分別為(N-L)×(N-L)和(L+1)×(L+1)的正交矩陣；V為(N-L)×(L+1)的對(duì)角矩陣，該矩陣對(duì)角線上的元素σk為矩陣X的第k個(gè)奇異值，并且大小按降序排列。

無論實(shí)驗(yàn)儀器多精密，實(shí)驗(yàn)環(huán)境多理想，實(shí)驗(yàn)信號(hào)數(shù)據(jù)不可避免地會(huì)含有噪聲等干擾誤差，但由于較大的奇異值保留著原始矩陣的主要信息，故本文根據(jù)式(7)奇異值分解的結(jié)果，在坐標(biāo)軸上畫出對(duì)應(yīng)的奇異值曲線，就可判斷出數(shù)值顯著較大奇異值σk(k=1,2,…,n)的數(shù)量，記為n，即為本文方法所確定的極化支路數(shù)n。

2.2 去除噪聲分量

確定了極化支路數(shù)n后，對(duì)矩陣V進(jìn)行有效信號(hào)的降階處理：保留矩陣V中的前n列主導(dǎo)特征向量，記為矩陣V1；分別保留矩陣D的前n列主導(dǎo)特征向量的第1行到第L行，以及前n列主導(dǎo)特征向量的第2行到第L+1行，分別記為D1和D2。去除的部分為噪聲數(shù)據(jù)，此時(shí)可認(rèn)為V1、D1和D2里已經(jīng)不存在噪聲信號(hào)。

2.3 構(gòu)造矩陣束擬合曲線

(8)

(9)

通過X1和X2定義矩陣束為X2-λX1，運(yùn)用信號(hào)極點(diǎn)求其廣義特征值，記為λi(i=1,2,…,n)。將得到的λi和已知的n代入下列最小二乘法可得到信號(hào)幅值Ri如下：

(10)

求解出Ri后，進(jìn)而可以求得各子譜線的弛豫系數(shù)Ai和衰減時(shí)間常數(shù)τi：

(11)

式中Ts為采樣時(shí)間間隔。

3 實(shí)例分析

3.1 仿真理想去極化電流曲線驗(yàn)證

為了驗(yàn)證矩陣束算法擬合理想無噪的去極化電流和辨識(shí)公式的準(zhǔn)確性，選擇型號(hào)為SZG-31500/110油浸式變壓器，并將其編號(hào)為T1，其擴(kuò)展德拜模型的各條極化支路參數(shù)見表1，其中Rg=88.80 nF，Cg=1.12 GΩ。

表1 變壓器T1的德拜電路參數(shù)Tab.1 Debye circuit parameters of T1

首先利用本文奇異值曲線確定極化支路數(shù)的方法確定變壓器T1的極化支路數(shù)，通過對(duì)信號(hào)的奇異值分解，得到一系列從大到小的奇異值，由于隨著i的增大，對(duì)應(yīng)的奇異值只會(huì)越來越小，所以本文只取前50個(gè)點(diǎn)的奇異值，繪制得到的奇異值曲線如圖4所示。由圖4可知，變壓器T1有6條極化支路數(shù)，與已知對(duì)應(yīng)仿真電路的支路數(shù)一致，驗(yàn)證了本文的極化支路數(shù)判定方法的準(zhǔn)確性。設(shè)置充電時(shí)間為5 000 s，用變壓器T1的擴(kuò)展德拜參數(shù)進(jìn)行PDC法的仿真，得到仿真后的去極化電流曲線如圖5所示，圖5中仿真曲線與擬合曲線重合。

圖4 奇異值曲線Fig.4 Singular value curve

其次利用上述矩陣束算法對(duì)仿真的去極化電流進(jìn)行擬合，擬合參數(shù)結(jié)果見表2。

圖5 仿真理想信號(hào)擬合效果圖Fig.5 Simulating ideal signal fitting effect diagram

表2 變壓器T1的仿真去極化電流擬合結(jié)果Tab.2 Simulating depolarization current fitting results of transformer T1

將表2中擬合的弛豫參數(shù)Ai和τi代入式(3)中對(duì)變壓器擴(kuò)展德拜模型進(jìn)行極化支路參數(shù)辨識(shí)，計(jì)算得到的各極化支路參數(shù)結(jié)果，見表3。

表3 變壓器T1支路參數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculation results of T1 branch parameters

將計(jì)算得出的各極化支路參數(shù)的數(shù)據(jù)和表1中的已知仿真極化支路參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，可知二者的吻合度超過99%，由此證明了本文所提出的矩陣束算法對(duì)于擬合不含噪聲的理想去極化電流曲線的準(zhǔn)確性。

3.2 仿真含噪去極化電流曲線的對(duì)比驗(yàn)證

為了進(jìn)一步分析矩陣束算法對(duì)含有噪聲的去極化電流的擬合結(jié)果，對(duì)圖5仿真得到的理想去極化電流依次加入信噪比分別為60 dB、50 dB、40 dB和30 dB的高斯白噪聲。信噪比越大，說明混在信號(hào)里的噪聲含量越小[22]，即噪聲水平越低，所以本實(shí)驗(yàn)所加的噪聲水平依次增大。用矩陣束算法分別對(duì)不同噪聲水平的同一條去極化電流曲線進(jìn)行擬合，對(duì)應(yīng)的奇異值大小(只取前30個(gè)奇異值)如圖6所示，對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果如圖7所示。

圖6 不同噪聲水平下的奇異值曲線Fig.6 Singular value curves at different noise levels

圖7 不同噪聲水平下的擬合效果Fig.7 Fitting effects under different noise levels

由圖6可知，加入60 dB、50 dB和40 dB信噪比噪聲的去極化電流辨識(shí)出來的極化支路數(shù)都是6條，而加入30 dB信噪比噪聲的去極化電流辨識(shí)出來的極化支路數(shù)只有5條，說明奇異值曲線定階方法對(duì)含有中低噪聲水平的去極化電流信號(hào)的定階具有較為準(zhǔn)確的保真性，而對(duì)于含有高噪聲水平的信號(hào)，其準(zhǔn)確性會(huì)隨著噪聲強(qiáng)度的增大而降低。

由圖7可知，無論所加噪聲水平是高還是低，運(yùn)用本文所提出的方法進(jìn)行擬合，都能達(dá)到較好的擬合效果，說明了矩陣束算法有去除噪聲擬合的能力，即矩陣束算法能夠有效地對(duì)含有噪聲信號(hào)的去極化電流進(jìn)行較為準(zhǔn)確的參數(shù)辨識(shí)。

3.3 現(xiàn)場實(shí)測噪聲環(huán)境下去極化電流曲線驗(yàn)證

為了驗(yàn)證矩陣束在現(xiàn)場實(shí)測噪聲干擾下的有效性，利用DIRANA介電絕緣分析儀對(duì)型號(hào)為TDJA-A0/0.5的單相油浸式調(diào)壓器進(jìn)行現(xiàn)場實(shí)測，并將測量得到去極化電流數(shù)據(jù)繪制成圖8，同時(shí)利用矩陣束算法對(duì)其進(jìn)行擬合，得到的擬合曲線也同樣繪制于圖8中，擬合過程中奇異值的大小繪制成圖9。

圖8 矩陣束算法擬合實(shí)測數(shù)據(jù)Fig.8 Fitting measured data by using Matrix pencil method

圖9 實(shí)測數(shù)據(jù)奇異值大小曲線Fig.9 Singular value size curve of measured data

由圖8可知，本臺(tái)調(diào)壓器在現(xiàn)場實(shí)測環(huán)境的噪聲干擾下，去極化電流曲線的毛刺較多且不太光滑，但根據(jù)圖9的奇異值大小分布，可以清楚判斷分離噪聲信號(hào)后，信號(hào)子區(qū)間里奇異值的數(shù)量為2，即有2條極化支路。觀察圖8矩陣束算法的擬合效果，可知矩陣束算法把原本1條毛刺較多且不太光滑的含噪信號(hào)，變成1條光滑平整的擬合曲線，并且擬合曲線大致都位于毛刺的中心位置，有效濾除了現(xiàn)場實(shí)測環(huán)境下噪聲的干擾。

4 結(jié)論

a)去極化電流曲線是由多條指數(shù)函數(shù)相加而成的曲線，故只需求出每條指數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的弛豫系數(shù)和弛豫衰減時(shí)間常數(shù)就可辨識(shí)出各極化參數(shù)。

b)根據(jù)去極化電流數(shù)據(jù)構(gòu)建漢克爾矩陣并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，便可通過奇異值曲線中奇異值大小判斷去極化電流信號(hào)的有效階數(shù)，即為擴(kuò)展德拜等效電路模型的極化支路數(shù)。

c)矩陣束算法通過內(nèi)積的數(shù)學(xué)計(jì)算有效地增強(qiáng)了其抑噪能力，避免了因迭代而產(chǎn)生的迭代誤差，對(duì)實(shí)測環(huán)境下的含噪信號(hào)具有濾波去噪擬合的作用。