薛正檜

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是一個(gè)持續(xù)、漸進(jìn)的過程，它不是原始素材的簡(jiǎn)單堆砌，而是相關(guān)要素的逐層遞進(jìn)。教學(xué)活動(dòng)有的放矢，學(xué)生的思維才能逐級(jí)提升。用三角板畫角原本只是“角的認(rèn)識(shí)”課中的一道習(xí)題：“你能用三角尺畫出15°、150°、165°、75°嗎？”這道題在幫助學(xué)生加深對(duì)三角板認(rèn)識(shí)的同時(shí)，可以有效地提升學(xué)生的思維能力，教學(xué)價(jià)值極其豐富。我們將其開發(fā)成一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課，意在為教師尋找培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的路徑提供一種參考。

一、從思考到操作

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是思維的體操，從內(nèi)容的表現(xiàn)形式看，通常分三個(gè)層次，即形象、表象、抽象。數(shù)學(xué)最核心、最本質(zhì)的內(nèi)容必定是抽象的，它脫離現(xiàn)實(shí)，是關(guān)于符號(hào)的知識(shí)體系。但兒童最能理解的數(shù)學(xué)卻是形象的，這和他們的思維水平有很大的關(guān)系。教育的目的是培養(yǎng)人，“基于兒童”之后更要“發(fā)展兒童”，生活化、兒童化只是學(xué)習(xí)的橋梁，最終必須數(shù)學(xué)化。當(dāng)我們面對(duì)問題時(shí)，不要急于解決問題，先靜下心來想一想，抽象有困難再去結(jié)合表象，表象有困難再去結(jié)合形象，千萬不能一直從低階開始。實(shí)踐證明，長(zhǎng)期在直觀、形象、操作的層面解題，學(xué)生的思維就有了惰性，此時(shí)再想發(fā)展思維能力就更難了。

實(shí)踐活動(dòng)“用三角板畫角”一課，我們可以按下面的步驟展開教學(xué)。1.情境感知：三角板中各有哪幾個(gè)角？分別多少度？2.提出問題：用三角板可以畫出哪些不超過180°的角？3.選擇策略：你準(zhǔn)備怎么解決這個(gè)問題？4.初步設(shè)想：你已經(jīng)想到了哪些角？這些角分別是怎么得到的？5.啟發(fā)思考：還會(huì)有其他不一樣的角嗎？6.操作驗(yàn)證：請(qǐng)拼出剛才說的這些角。7.思維頓悟：活動(dòng)中你又發(fā)現(xiàn)了哪些不一樣的角？8.反思質(zhì)疑：拼角、畫角的過程讓你想到了什么？你有哪些收獲？在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，操作的作用是驗(yàn)證、鞏固，以及思考無助后的靈感觸發(fā)。這樣的課堂，有濃濃的數(shù)學(xué)味，學(xué)生能學(xué)到真正的數(shù)學(xué)。

二、從嘗試到聯(lián)想

從熟知的事物及現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后通過驗(yàn)證得出結(jié)論，是人們獲取知識(shí)的一般路徑。在這條路徑下，兒童的觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、概括等能力得到了有效的訓(xùn)練與提升。小學(xué)生喜歡在熟悉的領(lǐng)域內(nèi)按熟悉的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，這是他們這個(gè)年齡段應(yīng)有的狀態(tài)。從實(shí)例中獲取知識(shí)是一種方式，從已有結(jié)論中二次獲取知識(shí)也是一種方式。數(shù)學(xué)可以來源于生活現(xiàn)實(shí)，也可以來源于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。聯(lián)想就是一種有效的學(xué)習(xí)方式。在聯(lián)想中，學(xué)生的思維處于一種發(fā)散狀態(tài)，思維的靈活性、深刻性、敏捷性、創(chuàng)造性等品質(zhì)都會(huì)得到發(fā)展。

在“用三角板畫角”一課中，我們可以在以下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，從熟悉到陌生，有梯度地培養(yǎng)他們的思維能力。第一，運(yùn)算上的聯(lián)想。把兩個(gè)角相加得到新角是學(xué)生熟悉的，但把兩個(gè)角相減得到新角則是學(xué)生陌生的。如圖1，45°角和30°角合并拼，可以得到75°角，如果將它們部分重疊起來拼，又會(huì)得到多少度的角呢？

第二，空間上的聯(lián)想。在三角板內(nèi)部拼角是學(xué)生熟悉的，但從三角板外部找角則是學(xué)生陌生的。如圖2，借助一條直線，在兩塊三角板外，又能得到多少度的角呢？

第三，數(shù)量上的聯(lián)想。利用兩個(gè)角畫角是學(xué)生熟悉的，但利用三個(gè)角或者更多的角畫角則是學(xué)生陌生的。如圖3，在已有75°角（45°+30°）的外延再增加一個(gè)90°角，又能得到多少度的角呢？

這樣的課堂靈動(dòng)而富有張力，教師一兩句的引導(dǎo)、點(diǎn)撥，便能給學(xué)生打開一扇知識(shí)的窗口。

三、從零散到系統(tǒng)

有效的學(xué)習(xí)要體現(xiàn)在對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握上，也要體現(xiàn)在對(duì)既有認(rèn)知系統(tǒng)的擴(kuò)充或重組上。零散的知識(shí)點(diǎn)只有經(jīng)過系統(tǒng)化后，才能內(nèi)化為學(xué)生的所得。一方面，零散的知識(shí)記憶起來麻煩，而且很容易忘記;另一方面，零散的知識(shí)沒有形成體系，容易導(dǎo)致思考問題片面。在教學(xué)中，教師要注重溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，注重多角度、多維度地呈現(xiàn)知識(shí)，幫助學(xué)生把零散的知識(shí)組成系統(tǒng)，逐步建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在系統(tǒng)化過程中學(xué)生的思維更加有條理，這將有利于他們準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)，有利于他們運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，形成良好的思維品質(zhì)。

在“用三角板畫角”一課中，我們至少可以從以下兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)零散知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化整合。一是與“搭配（排列組合）”連接。用三角板畫角，換個(gè)思路看，其實(shí)就是對(duì)三角板中已有的角度（30°、45°、60°、90°）進(jìn)行自由組合。按圖4的方式，先兩兩連線得到16種組合，再分別進(jìn)行加減運(yùn)算得出32個(gè)度數(shù)，最后剔除相同的答案。在此基礎(chǔ)上，為了得到更多的角度，還可以將剛剛得到的度數(shù)再與原有的4個(gè)度數(shù)組合。

二是與“找規(guī)律（等差數(shù)列）”連接。在學(xué)生嘗試以后，可以讓他們將初步得出的角按順序排列起來（15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°）。此時(shí)學(xué)生得出的角可能不全，這很正常，不用刻意補(bǔ)充。教師只須引導(dǎo)他們觀察已有數(shù)據(jù)，努力發(fā)現(xiàn)數(shù)值排列的規(guī)律。因?yàn)橛胸S富的找規(guī)律經(jīng)驗(yàn)，他們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)角之間的度數(shù)差大部分是15°或全部是15°。之后，找全的學(xué)生會(huì)根據(jù)“等差”這一特性進(jìn)行更全面的思考;找不全的學(xué)生會(huì)自覺補(bǔ)全遺漏度數(shù)，并進(jìn)行嘗試、驗(yàn)證，最后獲得完整答案。我們還可以從15°的整倍數(shù)這個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納，構(gòu)建出多維的知識(shí)體系。零散的度數(shù)有了系統(tǒng)化的理解后，學(xué)生的思維必將深入而持久。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校）