■湖北省沙市第七中學
求解直線或圓錐曲線過定點問題是近幾年高考的熱點題型。同學們解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的思想方法,體現(xiàn)出大家的數(shù)學核心素養(yǎng)。2020 年全國高考Ⅰ卷文科卷第21題就是過定點問題,我們借此機會再次研究這類問題,探討這類熱點問題的解決方法與技巧。
例1(2020年全國Ⅰ卷)已知A、B分別為橢圓E:+y2=1(a>1)的左、右頂點,G為橢圓E的上頂點,=8,P為直線x=6上的動點,PA與橢圓E的另一交點為C,PB與橢圓E的另一交點為D。
(1)求橢圓E的方程;
(2)證明:直線CD過定點。
解析:依據(jù)題意作出圖1。
圖1
(2)設P(6,y0),則直線AP的方程為y=,即y=(x+3)。
聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程:。
(1)求橢圓C的方程。
(2)點M,N在橢圓C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足。證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值。
解析:依據(jù)題意作出圖2。
圖2
(2)設 點M(x1,y1),N(x2,y2)。因 為AM⊥AN,所以=-1。
例3(2018 年新課標)設橢圓C:+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與橢圓C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0)。
(1)當直線l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB。
解析:(1)答案略。
(2)當直線l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°。
當直線l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB。
當直線l與x軸不重合也不垂直時,設直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。
解此類題的常見方法是聯(lián)立消元法。依題目條件設出相關(guān)參數(shù),如設出直線的斜率截距;求出直線方程,聯(lián)立直線與圓錐曲線,利用根與系數(shù)的關(guān)系,把直線與圓錐曲線方程中的變量x,y看成常數(shù),把方程的一端化為零,將方程轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為主變量的方程。這個方程對任意參數(shù)都成立,這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個關(guān)于x,y的方程組,這個方程組的解所確定的點就是直線或圓錐曲線所過的定點。
圖3
聯(lián)立消元方法是解決這一類問題的常見方法,需要一定的運算技巧與運算量。我們是否可以嘗試一下別的運算技巧與方法? 尤其在題目條件中給出斜率之積或之和時,不妨用這種構(gòu)造齊次式的方法。下面用此法解2020年新高考的第22題,具體方法與步驟如下。
過一個定點P作兩條直線與圓錐曲線交于A、B兩點,在直線PA和PB斜率之和或斜率之積為定值的情況下,直線AB過定點問題,可以利用平移構(gòu)造齊次式的方法秒殺。只是要注意構(gòu)造齊次時巧妙利用直線方程mx+ny=1,需要一次直接乘,需要二次可以將其平方再乘。接著將齊次式兩邊同時除以x2,整理為關(guān)于k的一元二次方程,從而由韋達定理得到兩斜率之和或之積的表達式,整理成關(guān)于m,n的關(guān)系式,就可以知道平移后的直線過定點,那么原來的直線過定點也就一目了然。
定點問題是常見的出題形式,化解這類問題的關(guān)鍵就是引進參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問題通法是聯(lián)立消元法,設出直線方程,通過韋達定理和已知條件找出斜率和截距的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可。只是計算量比較大,演算過程比較麻煩,這便成為很多同學畏懼不前的障礙。如果能夠從圓錐曲線、直線的方程的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),采取齊次式的轉(zhuǎn)化,那么解題必然會事半功倍,柳暗花明!