郭建華 于 健 寧連華 張?jiān)骑w

(1．江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005； 2．南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023；3．南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 210017)

1 問題提出

圓錐曲線是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，具有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用．運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想，其中圓錐曲線綜合題是每年高考的必考題型，它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一．雖然學(xué)生在考前都做了大量的習(xí)題，但是考生在考場上遇到圓錐曲線綜合題時(shí)，還是束手無策、舉步維艱．“會(huì)而不對，對而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象普遍存在，究其原因是學(xué)生害怕其“運(yùn)算”，具體表現(xiàn)為對運(yùn)算對象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思路的探究、運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)和運(yùn)算路徑的選擇上存在不足．因此，在平時(shí)的教學(xué)中教師要不斷為學(xué)生創(chuàng)造自主探究的機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，在做中學(xué)、學(xué)中悟、悟中思，加強(qiáng)對運(yùn)算能力的培養(yǎng)．教師在常態(tài)課堂教學(xué)中應(yīng)多關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算過程，指導(dǎo)和幫助學(xué)生為“運(yùn)算”找出路，通過運(yùn)算教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，從而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

日前，筆者所在學(xué)校高三的一次月考中，選用了2020年山東省數(shù)學(xué)高考第22題作為壓軸題，學(xué)生的卷面反應(yīng)與教師的預(yù)期差距較大，結(jié)果不甚理想．筆者借此機(jī)會(huì)進(jìn)行了一些思考，并嘗試在課堂上和學(xué)生一起探究，反饋效果較好．現(xiàn)將拙見整理成一些文字，望得到讀者的指正.

2 真題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

本題以考查橢圓中的定點(diǎn)問題為載體，其背景熟悉、表達(dá)簡練、內(nèi)涵深刻．試題蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想．同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的考查，能較好地甄別學(xué)生的思維水平和檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及學(xué)習(xí)潛能．

試題的命題特色如下：一是動(dòng)靜結(jié)合，化動(dòng)為靜；二是化繁為簡，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突破．這兩點(diǎn)既是本題的亮點(diǎn)，也是難點(diǎn)．

3 解法探究

處理圓錐曲線問題一般要經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：首先要明晰解決的目標(biāo)是什么樣的幾何問題；其次要尋找解決目標(biāo)所需要的代數(shù)條件是什么，再把幾何問題代數(shù)化(有時(shí)候這個(gè)代數(shù)化的過程不是很直觀，需要把幾何問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問題后再進(jìn)行代數(shù)化)；第三步是利用已知的題設(shè)條件，分析這些條件的關(guān)聯(lián)，研究并解決轉(zhuǎn)化之后的代數(shù)問題；最后要返回去研究幾何問題[1]．

(2)這是一道與定點(diǎn)有關(guān)的問題，定點(diǎn)在哪兒，哪兒有定點(diǎn)?這是本題求解的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)．根據(jù)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，定點(diǎn)一般存在于變化的直線或曲線中．注意到本題中的曲線為定的，而動(dòng)的直線有四條，即：AM，AN，AD，MN，其中前三條都經(jīng)過定點(diǎn)A，我們要找的定點(diǎn)不在這三條直線上，它最有可能在動(dòng)直線MN上．利用教學(xué)軟件GeoGebra演示，發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線MN的確過定點(diǎn)E，如圖1．

圖1

為了更利于學(xué)生理解直線MN過定點(diǎn)，設(shè)計(jì)其思維導(dǎo)圖如下：

只有想得到，才能算得好．下面重點(diǎn)從運(yùn)算的視角針對(2)中直線MN過定點(diǎn)問題做一些探究．

3.1 理解運(yùn)算對象，為運(yùn)算找出路

對于第(2)問，其中一部分同學(xué)的想法：先求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，寫出直線MN的方程，再依據(jù)直線MN方程的結(jié)構(gòu)特征探究它是否過定點(diǎn)．由于直線MN的斜率和它在y軸上的截距都是與k有關(guān)的變量，二者之間的關(guān)系比較隱蔽，學(xué)生未能理解運(yùn)算對象間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致解題失?。浣夥ㄈ缦拢?/p>

解法1：如圖2，當(dāng)直線AM的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AM：y=k(x-2)+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入橢圓C的方程，消去y得

圖2

(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+8k2-8k-4=0①，

由題意得2為方程①的一個(gè)根，

又AM⊥AN，

由直線MN：y-y1=kMN(x-x1)得

大部分同學(xué)寫到這里就做不下去了．

教師可利用這個(gè)契機(jī)，讓學(xué)生重新認(rèn)識直線過定點(diǎn)的問題，并聯(lián)想與定點(diǎn)相關(guān)的直線方程的形式：(1)點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)，直線過點(diǎn)(x0，y0)；(2)將直線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)λ為主元的方程，即λ(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0，直線過兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)；(3)斜截式：y=kx+b．讓學(xué)生思考：如果直線過定點(diǎn)，那么該定點(diǎn)與k，b存在怎樣的關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，讓學(xué)生動(dòng)手操作，得出結(jié)論：(1)當(dāng)b為定值時(shí)，直線過定點(diǎn)(0，b)；(2)當(dāng)b=mk時(shí)，直線過定點(diǎn)(-m，0)；(3)當(dāng)b=mk+n時(shí)，直線過定點(diǎn)(-m，n)，這種情況更具有一般性．于是上述學(xué)生的困難，便迎刃而解．其解法如下：

整理得(2t-m)k2-(3m+3t+3)k-2t+m=0，

于是得直線MN：

如圖3，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，

圖3

由于|AE|為定值，并且AE為直角△ADE的斜邊，所以AE中點(diǎn)Q滿足|DQ|為定值，即

3.2 掌握運(yùn)算方法，為運(yùn)算找出路

也有同學(xué)這樣想：既然目標(biāo)是探究直線MN過定點(diǎn)，設(shè)直線MN：y=kx+m進(jìn)行求解，但依然會(huì)被運(yùn)算擋道．其解法如下.

即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0①，

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，

設(shè)其方程為y=kx+m，并聯(lián)立橢圓C的方程，

消去y得 (1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0，

由韋達(dá)定理得

將y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①中得

(1+k2)x1x2+(mk-k-2)(x1+x2)

+(m-1)2+4=0④，

再將②、③代入④中，得

+(m-1)2+4=0，

上式可化為4k2+3m2+8mk-2m-1=0⑤.

一部分學(xué)生費(fèi)了九牛二虎之力得到⑤式，后面就不知道如何計(jì)算了．

教師提出問題：觀察運(yùn)算對象所滿足方程的結(jié)構(gòu)特征，同學(xué)們能想到什么?停頓，讓學(xué)生分析和思考．學(xué)生2提出了自己的想法：把⑤式看做以k為“主元”的一元二次方程，其判別式Δ=16(m+1)2>0(m≠-1，否則直線MN過點(diǎn)A)，

利用求根公式求得

于是⑤式可化為

即(2k+3m+1)(2k+m-1)=0⑥，

由于點(diǎn)A不在直線MN上，所以2k+m-1≠0，

于是2k+3m+1=0，

在學(xué)生2的啟發(fā)下，學(xué)生3也提出自己的想法：其實(shí)，對⑤式的處理其本質(zhì)是“降次”，而因式分解又是“降次”的工具，利用兩次因式分解便可完成，即4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=0，從而得⑥式．后面的解答同解法1．通過求根公式、因式分解等方法的選擇，將運(yùn)算目標(biāo)分解并有機(jī)地融合到代數(shù)運(yùn)算體系中，感悟因式分解在運(yùn)算中的必要性，從而為運(yùn)算找到出路．其目的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題能力，積累問題解決的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的認(rèn)知水平．

3.3 借助平移變換，為運(yùn)算找出路

圖4

設(shè)M′(x3，y3)，N′(x4，y4)，由OM′⊥ON′，

當(dāng)直線M′N′斜率存在時(shí)，設(shè)直線M′N′：

y=kx+m(m≠0)，即點(diǎn)O不在直線M′N′上，

聯(lián)立直線M′N′與橢圓D的方程，

消去y并整理得

(1+2k2)x2+(4mk+4k+4)x+2m2+4m=0，

由韋達(dá)定理，得

將y3=kx3+m，y4=kx4+m代入①中，

整理可得

(1+k2)x3x4+mk(x3+x4)+m2=0④，

上式可化簡為m(3m-4k+4)=0⑤，

當(dāng)直線M′N′的斜率不存在時(shí)，易證直線M′N′也過定點(diǎn)E′，

即直線MN過定點(diǎn)E，以下同解法1．

在平時(shí)的教學(xué)中要讓學(xué)生關(guān)注和了解一下平移變換的實(shí)質(zhì)，即：平移變換僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大?。闷揭谱儞Q得到的⑤式明顯比解法2得到的⑤式簡潔，并且將變量m與k的線性關(guān)系由“隱性”變?yōu)椤帮@性”，降低了運(yùn)算難度．平移變換為該題求解提供了一個(gè)工具，也為簡化運(yùn)算找到一個(gè)新的出路．

3.4 深度理解方程，為運(yùn)算找出路

將①式變形為x2+2y2+4x+4y=0②，

當(dāng)直線M′N′的斜率存在時(shí)，設(shè)直線M′N′：

將③代入②中，

化簡并整理為

設(shè)直線OM′，ON′斜率分別為k1，k2，

由題意得k1，k2為方程④的兩個(gè)相異實(shí)根，

又OM′⊥ON′，得k1·k2=-1，

解法一出，同學(xué)們便自發(fā)地鼓掌，感嘆其思維深刻、解法巧妙、運(yùn)算簡潔．緊接著讓學(xué)生感悟、反思、梳理巧法背后所隱藏的思維路徑．

在解法不斷優(yōu)化的過程中，讓學(xué)生感受“數(shù)”與“形”的對立統(tǒng)一，滲透運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．

4 結(jié)論推廣

學(xué)生9提出：如果本題中直線AM與AN的斜率之積為某一定值，那么直線MN是否過定點(diǎn)?能否得到一個(gè)更一般的結(jié)論?學(xué)生9將問題的探究又向前推進(jìn)一步．經(jīng)過筆者和學(xué)生一起探索，得到如下結(jié)論.

點(diǎn)M，N按向量n平移后分別對應(yīng)點(diǎn)M′，N′，由橢圓D得

聯(lián)立方程①、②得

b2x2+a2y2+2b2x0x+2a2y0y=0③，

當(dāng)直線M′N′的斜率存在時(shí)，

將其代入③式得

化簡并整理為

a2(m+2y0)y2+(2b2x0-2a2y0k0)xy+b2(m-2k0x0)x2=0④，

將④式兩邊同時(shí)除以x2(x≠0)，得

a2(m+2y0)k2+(2b2x0-2a2y0k0)k+b2(m-2k0x0)=0⑤，

由題意得k1，k2為方程⑤的兩個(gè)相異實(shí)根，

設(shè)平移前直線MN過定點(diǎn)E(x1，y1)，由題意，得

所以平移前直線MN過定點(diǎn)

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，易證點(diǎn)E也在直線MN上，綜上，直線MN過定點(diǎn)

結(jié)論1的證法與結(jié)論2完全相同，本文不再贅述．

通過對一般性結(jié)論的探索，讓學(xué)生體會(huì)平移法在解決圓錐曲線問題中的優(yōu)越性，讓學(xué)生感悟整體法在處理圓錐曲線運(yùn)算中的妙用．學(xué)生在探索優(yōu)化運(yùn)算的過程中，應(yīng)養(yǎng)成獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣，同時(shí)也應(yīng)學(xué)會(huì)與他人交流合作，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神[2]．

教師繼續(xù)拋出探究問題，在雙曲線和拋物線中是否也存在類似的結(jié)論．供有興趣的同學(xué)開展課外研究性學(xué)習(xí)．

5 結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．它不僅是一種特殊的邏輯推理，而且能較好的甄別學(xué)生解決問題的能力．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面“情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”在這道高考題的探究中得到較好的體現(xiàn)和詮釋，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)提供載體．由于解析幾何是運(yùn)用代數(shù)的方式解決幾何問題，涉及到“數(shù)”與“式”的靈活轉(zhuǎn)換和整合，“運(yùn)算”便成了問題解決過程中的“攔路虎”．因此，在平時(shí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從多元視角分析影響運(yùn)算的主要因素，加強(qiáng)對理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路等數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)的理解和運(yùn)用，不斷滲透數(shù)學(xué)思想和方法，從而發(fā)展“四基”和提高“四能”．通過提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流問題的習(xí)慣，將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處．