黃明祥 卞宏志 林奕夫

（國網(wǎng)福建經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院 福州 350012）

1 引言

接地網(wǎng)是保證電力操作人員和運(yùn)維人員安全至關(guān)重要的保障設(shè)施。當(dāng)電網(wǎng)中存在雷電流和故障電流時，接地網(wǎng)可以提供放電通道［1］。因此，接地網(wǎng)的導(dǎo)電能力非常重要。隨著運(yùn)行時間的增加，由于腐蝕或分支斷裂，接地網(wǎng)中會出現(xiàn)故障［2］，因此需要提高和完善測量接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)的技術(shù)。接地網(wǎng)通常由銅或鐵導(dǎo)體制成，埋在地下約0.3m～2m 處。這導(dǎo)致通過常規(guī)方法直接測量斷點(diǎn)或接地網(wǎng)拓?fù)浜芾щy［3］。文獻(xiàn)［4］將高頻大電流的方波電流注入電網(wǎng)，通過對表面感應(yīng)磁場強(qiáng)度的測量來研究接地網(wǎng)的完整性。文獻(xiàn)［5］向下引線注入100A 直流電并測量表面磁場，基于電磁理論并借助測量結(jié)果來診斷接地網(wǎng)的斷點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］向下引線注入300Hz的電流并測量表面磁場強(qiáng)度，并基于測量結(jié)果發(fā)出完整的接地網(wǎng)腐蝕或斷點(diǎn)診斷檢測系統(tǒng)。文獻(xiàn)［7］采用電磁法診斷變電站接地網(wǎng)中的分支故障斷裂。上述所有方法的思路都是通過直接測量磁場以檢測接地網(wǎng)的拓?fù)浠驍帱c(diǎn)。但是，這些方法存在的共同問題是需要測量大量數(shù)據(jù)且計(jì)算工作復(fù)雜。磁檢測電阻抗斷層攝影（MDEIT）是用于重建對象電阻率分布的成像技術(shù)，最初用于重建人體的橫截面電導(dǎo)率分布［8～9］。MDEIT 在技術(shù)上基于在對象內(nèi)部生成電流分布并測量對象外部的磁場分布以重建成像對象的電阻率分布［10］。文獻(xiàn)［11］從被檢測物體的表面注入電流并測量物體周圍的磁場，以重建內(nèi)部電阻率分布。在該方法中，當(dāng)前注入的點(diǎn)和測量點(diǎn)位于物體的表面中，這將限制注入點(diǎn)的數(shù)量和測量模式。因此，本文提出了一種基于MDEIT 的電阻率重建方法來確定接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)。本文描述了基于MDEIT 的接地網(wǎng)成像的正反問題。最后通過數(shù)值和實(shí)驗(yàn)例證實(shí)了該方法的可行性。

2 MDEIT中接地網(wǎng)的前向推導(dǎo)問題

2.1 前向推導(dǎo)問題的計(jì)算模型

本文的分析基于以下基本假設(shè)［12］：

1）當(dāng)前場滿足準(zhǔn)靜態(tài)條件。

2）成像對象內(nèi)沒有電流源。

3）成像對象的電阻率是各向同性的。

基于上述假設(shè)和麥克斯韋方程［13］，MDEIT中的前向問題可以簡化如下：

其中式（1）滿足：

則式（3）可以改寫為

其中σ是電導(dǎo)率。流入和流出邊界面的條件如下：

其中n 是法向量，Jn是邊界面的流入電流密度。假設(shè)邊界面的電流密度是均勻的，Jn可以描述如下其中A+是當(dāng)前電流流入面積，A-是當(dāng)前電流流出面積。則式（6）可改寫為

根據(jù)式（5）和（6），使用有限元方法（FEM）［14］來計(jì)算φ，則電流密度可以通過下式計(jì)算：

基于 Biot-Savart 定律［15］，磁通強(qiáng)度 B 可描述如下：

因此，MDEIT 的前向推導(dǎo)問題是在知道當(dāng)前J和電導(dǎo)率σ時求解B。

2.2 計(jì)算方法

為了解決MDEIT 的前向問題，可以使用有限元方法求解式（5）和（8），并使用式（9）來分析MDEIT前向推導(dǎo)問題。式（5）用有限元方法可表述為

根據(jù)格林函數(shù)理論，式（10）可以改寫為

考慮到邊界條件，上式改寫為

式（12）的最小化問題可表述為

如果k是有限元中的單元數(shù)量，那么

式（13）和（14）可改寫為

根據(jù)式（16），φ可以計(jì)算得出，然后J和B也可以分別用式（8）和（9）計(jì)算得出。

2.3 仿真算例

仿真案例研究了典型的方形接地網(wǎng)，接地網(wǎng)大小約為2m×2m，網(wǎng)格大小為1m×1m，如圖1 所示。注入電流為10A，測量平面與接地網(wǎng)之間的垂直距離為h=0.8m。

基于有限元分析，接地網(wǎng)的網(wǎng)格模型如圖2 所示。根據(jù)式（8），測量平面上的磁通密度如圖3 所示。

圖1 簡化的接地網(wǎng)格模型

圖2 接地網(wǎng)的網(wǎng)格模型

從圖3 中可以看出，當(dāng)電流流過導(dǎo)體時，電流將在測量平面上產(chǎn)生磁通密度。

圖3 測量平面上的磁通密度

3 MDEIT中接地網(wǎng)的后向推導(dǎo)問題

3.1 后向推導(dǎo)問題的計(jì)算模型

磁通密度和電阻率分布之間的關(guān)系如式（17）。 MDEIT 的反向問題是在知道B 時找到σ并重建電導(dǎo)率分布：

其中B 和σ是測量平面上的磁通密度和成像區(qū)域的電導(dǎo)率。為了求解式（16）中的σ，根據(jù)最小二乘法，可以得到目標(biāo)函數(shù)如下：

對式（17）求導(dǎo)：

式（19）中A 是雅可比矩陣。式（18）的泰勒級數(shù) 展 開 為其 中是海森矩陣，并且 ΔσK=σK+1-σK，

根據(jù)式（8）和（9），外部磁通密度B 和電導(dǎo)率σ分布矩陣之間的關(guān)系可以寫成如下：

在重建過程中，電導(dǎo)率σ可以通過迭代方法計(jì)算，迭代方程如下：

電阻率δ可根據(jù)下式計(jì)算：

式（22）中δ和σ是分別電阻率和電導(dǎo)率。

3.2 仿真算例

基于圖1 所示的模型，接地網(wǎng)的電阻率分布如圖4 所示。紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別代表接地網(wǎng)的土壤和鋼制接地體。

圖4 接地網(wǎng)模型的電阻率分布

假設(shè)流入的電流為10A，則測量平面上的磁通密度B 可以被測量?；谒岢龅姆椒ǎ梢灾亟娮杪史植?，如圖5所示。

圖5 表明，高電阻率區(qū)域主要集中在接地網(wǎng)的中心，此處主要是土壤，并具有與圖4 類似的電阻率分布。該電阻率的重建結(jié)果表明該方法可用于測量接地網(wǎng)拓?fù)洌约皽y定地網(wǎng)中可能存在的斷點(diǎn)。

圖5 電阻率分布的重建結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖6所示，實(shí)驗(yàn)所搭建的小型的接地網(wǎng)由2×2 方形網(wǎng)格組成，接地網(wǎng)的導(dǎo)體采用?3.5mm 銅軟線。 為了重建接地網(wǎng)的電阻成像，霍爾效應(yīng)探頭和三維數(shù)控電機(jī)平臺用于測量測量平面上的磁通密度。測量點(diǎn)的總數(shù)為100，點(diǎn)間距為1cm。測量探頭在每個點(diǎn)的穩(wěn)定時間是2s。實(shí)驗(yàn)平臺如圖7所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)所用接地網(wǎng)

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺

根據(jù)本文提出的方法所重建的電阻率分布如圖8所示。

可以看出，存在四個具有高電阻率的紅色區(qū)域，這與預(yù)定義的實(shí)驗(yàn)條件一致此外，在存在斷點(diǎn)情況下的電阻率分布如圖9 所示，其中紅色和藍(lán)色區(qū)域分別代表土壤和接地網(wǎng)的導(dǎo)體。

圖8 電阻率分布的重建結(jié)果

圖9 接地網(wǎng)模型的電阻率分布

相應(yīng)的電阻率重建結(jié)果如圖10 所示。可以看出，有三個具有高電阻率的紅色區(qū)域，這與圖9 中的預(yù)定電阻率分布相匹配?？梢缘贸鼋Y(jié)論，所提出的方法可用于測量通過重建接地網(wǎng)的成像來確定接地網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和斷點(diǎn)。

圖10 電阻率分布的重建結(jié)果

5 結(jié)語

本文提出了一種基于MDEIT 的接地網(wǎng)電阻率重建方法。首先分析了基于MDEIT 的接地網(wǎng)成像的正反向推導(dǎo)問題。然后，通過數(shù)值和實(shí)驗(yàn)例驗(yàn)證了所提方法的可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明電阻率重建方法可用于測量接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)。