許 黎，何都益，蔣 強(qiáng)，黃 果

（樂(lè)山師范學(xué)院 a.電子與材料工程學(xué)院；b.圖書(shū)館、檔案館；c.人工智能學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

0 引言

2008年，惠普實(shí)驗(yàn)室Dmitri B.Strukov[1]領(lǐng)導(dǎo)的研究小組在Nature上發(fā)表論文“The missing memristor found”，為憶阻的真實(shí)性提供了現(xiàn)實(shí)依據(jù)。論文一經(jīng)發(fā)表，在全世界范圍內(nèi)引起了轟動(dòng)，憶阻吸引了大量科研人員的關(guān)注，掀起了一股研究憶阻的熱潮。2010 年，Sung Hyun.Jo[2]等人提出，憶阻器的行為機(jī)制與人腦的神經(jīng)突觸很相似，具有高連通性和高密度、高效的計(jì)算功能，通過(guò)電壓的變化可改變憶阻器的阻值，記錄現(xiàn)狀信息。外界電壓消失再恢復(fù)后憶阻可直接回到記憶狀態(tài)，有類人腦功能。因此可運(yùn)用于人腦傳感系統(tǒng)，來(lái)收集和傳導(dǎo)神經(jīng)系統(tǒng)的信息。美國(guó)南卡羅來(lái)納州大學(xué)的科學(xué)家Yuriy V.Pershin[3]利用憶阻器構(gòu)造出了簡(jiǎn)單神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。憶阻器的集成微單元可用來(lái)模擬突觸，使系統(tǒng)中的每個(gè)設(shè)備都能和其他設(shè)備交互。憶阻具有高速度和高密度的特點(diǎn)，它可將電子器件的功能濃縮到納米級(jí)的微小空間，構(gòu)成的交叉矩陣也可以以極高的密度作為一個(gè)功能獨(dú)立的單元組織起來(lái)，因此可能被用于CPLD 及FPGA的設(shè)計(jì)中。與以往的存儲(chǔ)器相比，憶阻有幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：非易失性、可擴(kuò)展性良好以及有效的無(wú)泄漏電流。2012 年，段書(shū)凱、胡小方[4]等人基于憶阻的這個(gè)特點(diǎn)，提出了混合納米CMOS 技術(shù)，采用憶阻替代RS 觸發(fā)器實(shí)現(xiàn)了10-9米級(jí)別兼容現(xiàn)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的二進(jìn)制存儲(chǔ)器。Massimiliano Di.Ventra[5]在憶阻器非線性的特性的基礎(chǔ)上提出了憶容和憶感的概念。之后Dalibor Biolek[6]等人設(shè)計(jì)出憶容器和憶感器的SPICE 模型，并提出這些憶阻器衍生器件可應(yīng)用到機(jī)器學(xué)習(xí)、自發(fā)行為等方面的研究。Mineo Kaneko[7]等人應(yīng)用憶阻器設(shè)計(jì)出低功耗的數(shù)字可編程延時(shí)元件。Sangyun Shin[8]等人通過(guò)控制脈沖參數(shù)控制通過(guò)憶阻器的磁通量，從而控制憶阻阻值，即通過(guò)脈沖編碼憶阻器。這種方法可用于設(shè)計(jì)可編程增益放大器，通過(guò)脈沖變化來(lái)改變磁通量從而產(chǎn)生增益效果。憶阻的電阻具有可變性質(zhì)，故可以用于可編程電阻方面。憶阻器在圖像處理、信號(hào)處理、算術(shù)運(yùn)算和模式識(shí)別等方面也有著巨大的應(yīng)用潛力。因此憶阻的記憶特性將對(duì)生物工程學(xué)、通訊工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電子工程等產(chǎn)生極其深遠(yuǎn)的影響。由此可見(jiàn)，憶阻作為遺失的第四類元件，與其他三類基本元件一樣，有著極其遠(yuǎn)大的應(yīng)用前景，憶阻的發(fā)現(xiàn)和最終的應(yīng)用將會(huì)大大改變我們的生活。對(duì)憶阻的研究也極為迫切和重要。

致力于憶阻研究的學(xué)者正在持續(xù)壯大，國(guó)外對(duì)憶阻的研究相對(duì)較多，日趨成熟；但目前為止，國(guó)內(nèi)研究憶阻的學(xué)者卻為數(shù)不多，有關(guān)憶阻的資料也很少，理論仍不系統(tǒng)、不完善。本文參考大量外文文獻(xiàn)，首先對(duì)憶阻的定義、分類以及性質(zhì)進(jìn)行歸納綜述，并對(duì)憶阻的性質(zhì)利用MATLAB 進(jìn)行模擬仿真重現(xiàn)；再對(duì)近年來(lái)學(xué)者提出的諸多憶阻模型進(jìn)行歸納，將憶阻劃分為三種理論模型，并對(duì)不同模型進(jìn)行研究，模擬仿真其性質(zhì)。

1 憶阻的定義及性質(zhì)

眾所周知，電路系統(tǒng)中有四個(gè)基本稟賦變量，見(jiàn)圖1。

如圖1 所示，電路的四個(gè)基本變量為電壓v(t)、電流i(t)、磁通φ(t) 和電荷q(t)，將{v,i,q,φ}稱為電路的基本稟賦變量，這四個(gè)基本稟賦變量有六種組合：{(v,φ),(v,i,),(q,v),(i,q),(φ,i),(φ,q)}；其中組合(v,φ)，(i,q) 之間的關(guān)系為[1,9-10]：

圖1 四種基本電路元件及其稟賦關(guān)系

它們之間是一種非代數(shù)關(guān)系，在圖中以斜虛線表示。另外三種組合為：(q,v)，(v,i,)，(φ,i) ；為嚴(yán)格的代數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)了電路的三種經(jīng)典基本元件——電阻R、電容C 和電感L：

在圖中用三條粗黑直線表示。

最后還剩下一對(duì)變量對(duì)(φ,q)，1971 蔡少棠從邏輯相容性、公理完備性和形式對(duì)稱性等多方面考慮，提出它們之間應(yīng)存在如下稟賦關(guān)系，即

從而得到了一個(gè)完整的“基本電路元件四邊形”。這種稟賦關(guān)系也引入了第四個(gè)基本電路元件——憶阻，它是一種具有記憶功能的非線性電阻元件，用符號(hào)M 表示：

W 為憶阻的憶導(dǎo)。

憶阻分為兩種類型：荷控型憶阻和磁控型憶阻[10]。當(dāng)M(φ,q) 為電荷的單值函數(shù)時(shí)，憶阻為電荷控制型憶阻，簡(jiǎn)稱荷控型憶阻；當(dāng)M(φ,q) 為磁通的單值函數(shù)時(shí)，為磁通控制型憶阻，簡(jiǎn)稱磁控型憶阻。它們的特征曲線如圖2 所示：

圖2 憶阻特性曲線

圖2（a）的斜率為磁通量隨電荷的改變率，即

為憶阻，因此M(q) 為q(t) 的非線性函數(shù)。憶阻具有與電阻一樣的量綱，單位為：歐姆(Ω) 。

圖2（b）的斜率為電荷隨磁通量的改變率，即

為憶導(dǎo)。憶導(dǎo)具有與電導(dǎo)一樣的量綱，單位為：西門(mén)子（S）。

2 憶阻的性質(zhì)及模擬仿真

判斷一個(gè)器件是否為憶阻，基本標(biāo)準(zhǔn)是看這個(gè)器件是否滿足如下三個(gè)本質(zhì)特征[11]：

a）當(dāng)憶阻被一個(gè)雙極性周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)時(shí)，其V-I 圖為一條在原點(diǎn)緊縮的磁滯回線，且周期性響應(yīng)；

b）磁滯旁瓣面積從臨界頻率開(kāi)始，隨著激勵(lì)頻率的增加而減少；

c）當(dāng)激勵(lì)頻率趨近于無(wú)限大時(shí)，磁滯回線收縮為一個(gè)單值函數(shù)。

為驗(yàn)證憶阻的本質(zhì)特征，構(gòu)建一荷控憶阻為：M=aq(t)+b，a,b為常量，q(t)為流經(jīng)憶阻的電荷，是時(shí)間的函數(shù)，取決于流經(jīng)憶阻的電流；選用驅(qū)動(dòng)信號(hào)為正弦電流：I=Imaxsin(ωt)，其中Imax為電壓振幅，ω為角頻率。令a=-60,b=160，Imax=0.1A,ω=2π，利用Matlab 模擬得到該憶阻V-I圖，如圖3 所示：從圖3 可以看出，V-I 圖為一條在原點(diǎn)緊縮的磁滯回線，且周期響應(yīng)。

圖3 憶阻V-I 圖

改變驅(qū)動(dòng)電流頻率，其余參數(shù)保持不變，模擬得到如圖4 憶阻V-I 圖：

圖4 憶阻M=aq(t)+b 磁滯旁瓣面積隨激勵(lì)電流頻率變化的V-I 圖：（a）ω=2 π 時(shí)，元件V-I 圖；（b）ω=5 π時(shí)，元件V-I 圖；（c）ω=7 π 時(shí)，元件V-I 圖；（d）ω=10π 時(shí)，元件V-I 圖

即，V-I 圖磁滯旁瓣面積隨著激勵(lì)頻率的增加而減少。

繼續(xù)增加驅(qū)動(dòng)電流頻率，憶阻V-I 圖變化如圖5 所示：從圖5 可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率繼續(xù)增加，磁滯旁瓣面積持續(xù)減??；當(dāng)激勵(lì)頻率趨近于無(wú)限大時(shí)，磁滯回線收縮為一個(gè)單值函數(shù)，如圖5（d）所示。

圖5 憶阻M=aq(t)+b 激勵(lì)頻率趨近于無(wú)窮時(shí)V-I 變化圖：（a）ω=15π時(shí)，V-I 圖；（b）ω=20π時(shí)，V-I 圖；（c）ω=30π時(shí)，V-I 圖；（d）ω=100π時(shí)，V-I 圖

如若已知一元件為憶阻，則必具有圖3、圖4、圖5 的三個(gè)基本特征；反過(guò)來(lái)，若一元件具備這三個(gè)特征，則可判定其為憶阻。

3 憶阻的數(shù)學(xué)理論模型及性質(zhì)研究

隨著憶阻研究的發(fā)展，多種憶阻模型被相繼提出：2007 年，James C.Scott[12]用有機(jī)化合物構(gòu)造出了憶阻器；2008 年，加州大學(xué)的Yuriy V.Pershin 和Massimiliano Di.Ventra 提出了自旋電子憶阻器器件；2009 年，XB.Wang[13]提出自旋憶阻器；2012 年，D.J.Kim[14]用鐵電隧道結(jié)構(gòu)造出了憶阻器，同年，Ioannis Vourkas 和Georgios Ch.Sirakoulis[15]提出閾值開(kāi)關(guān)憶阻器；2013 年，Shahar Kvatinsky 等[16]提出了電壓/電流自適應(yīng)憶阻器；2014 年，Ahmad Muqeem.Sheri[17]等提出了基于Al/Pr0.7Ca0.3MnO3(PCMO)的憶阻器；2015 年，Shinhyun Choi[18]提出基于TaOx的憶阻器；2017 年，Yang Zhang[19]提出基于Ag/AgInSbTe/Ta(AIST)的憶阻器，以及Gang Dou[20]提出基于Sr0.95Ba0.05TiO3(SBT)的憶阻器等等。為了便于研究憶阻特性，一些憶阻的仿真模型也相繼被提出：Dmitri B.Strukov[1]根據(jù)流經(jīng)憶阻器電荷量與元件摻雜區(qū)域?qū)挾鹊年P(guān)系提出了線性雜質(zhì)漂移憶阻模型；Makoto Itoh[21]提出一種分段線性的憶阻器模型，其本構(gòu)變量 q 和 φ 的關(guān)系是分段線性的；陸益民[22]等人提出一種磁控憶阻器模型，并使用該模型構(gòu)造出Van der pol 振蕩器；俞清[23]等人提出了一階有源廣義憶阻模型。Alon Ascoli[24]提出一種廣義邊界條件的憶阻器模型；包伯成[25-26]等人更是利用二極管橋，放大器等元件搭建了模擬憶阻的等效電路模型。

參考大量相關(guān)資料，學(xué)者提出的憶阻模型可歸納為三種數(shù)學(xué)理論模型：分段線性函數(shù)[27]、二次非線性函數(shù)[28-29]和三次非線性函數(shù)[30-32]。下面將對(duì)這三類憶阻模型進(jìn)行深入探討和研究。

分段線性函數(shù)是被人廣泛認(rèn)可的憶阻數(shù)學(xué)理論模型，分段線性荷控憶阻數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

相應(yīng)的憶阻為：

分段線性磁控憶阻數(shù)學(xué)關(guān)系為：

相應(yīng)的憶導(dǎo)為：

其中，α，β、γ、ζ為正常數(shù)，且α≠β，γ≠ζ；sgn(n)為符號(hào)函數(shù)。則其特征曲線如圖6 所示：

圖6 分段線性憶阻特性曲線

二次非線性磁控憶阻數(shù)學(xué)模型為：

與此對(duì)應(yīng)的憶導(dǎo)為：

三次非線性磁控憶阻的數(shù)學(xué)模型為：

憶導(dǎo)為：

同樣γ ，ζ都為正常數(shù)。

可得非線性磁控憶阻的特性曲線和憶導(dǎo)關(guān)系曲線如圖7 所示：

圖7 二次非線性磁控憶阻特性曲線與憶導(dǎo)關(guān)系曲線

圖8 三次非線性磁控憶阻特性曲線與憶導(dǎo)關(guān)系曲線

從圖7（b）可以看出，憶導(dǎo)有負(fù)值，因此二次非線性磁控憶阻為有源磁控憶阻，可以等效為一個(gè)無(wú)源憶阻和負(fù)電阻。

設(shè)ζ=0.5mS，γ=30S/Wb2，憶阻內(nèi)部初始條件φ0=0Wb，驅(qū)動(dòng)電壓為V=Vmaxsin(ωt)，其中Vmax為電壓振幅，ω為角頻率；當(dāng)Vmax=2V，ω=2π時(shí)，因?yàn)榇磐坑蓱涀鑳啥说碾妷簺Q定，利用Matlab 代換出磁通量的時(shí)間函數(shù)從而模擬得到二次非線性磁控憶阻電壓與時(shí)間圖及電流與時(shí)間圖，見(jiàn)圖9:

圖9 二次非線性磁控憶阻電壓時(shí)間圖和電流時(shí)間圖

從圖9 可以看出，電流與電壓頻率相同，但是電流時(shí)間圖的波形發(fā)生改變。

當(dāng)電壓振幅或者角頻率改變，其余參數(shù)保持不變時(shí)，利用Matlab 數(shù)值仿真得到二次非線性磁控憶阻的V-I 圖，見(jiàn)圖10：

圖10 二次非線性磁控憶阻不同條件下的V-I 圖：（a）電壓振幅恒定 Vmax=2v，角頻率不同時(shí)的V-I 電壓時(shí)間圖；（b）角頻率恒定 ω=2 π，電壓振幅不同時(shí)的V-I 圖

從圖10 可以看出二次非線性磁控憶阻V-I 圖為一條在原點(diǎn)緊縮的磁滯回線，且磁滯旁瓣面積隨著驅(qū)動(dòng)電壓頻率的增加而減小，符合前面所闡述的憶阻通性；不僅如此，當(dāng)改變驅(qū)動(dòng)電壓振幅時(shí)，磁滯旁瓣面積隨著驅(qū)動(dòng)電壓振幅的增加而增加。

選用參數(shù)：ζ=0.5mS，γ=30S/Wb2，憶阻內(nèi)部初始條件φ0=0Wb，驅(qū)動(dòng)電壓Vmax=2v，ω=2π時(shí)，利用Matlab 數(shù)值仿真得到三次非線性磁控憶阻電壓與時(shí)間圖及電流與時(shí)間圖，見(jiàn)圖11：從圖11 可以看出，電流頻率仍然與電壓頻率相同，電流的波形發(fā)生改變，且對(duì)比圖9（b）與圖11（b）發(fā)現(xiàn)三次非線性磁控憶阻的電流圖波形與二次非線性電流圖波形類似，但又有稍許不同。

圖11 三次非線性磁控憶阻電壓時(shí)間圖和電流時(shí)間圖

當(dāng)電壓振幅或者角頻率改變，其余參數(shù)保持不變時(shí)，利用Matlab 數(shù)值仿真得到三次非線性磁控憶阻的V-I 圖，見(jiàn)圖12：

圖12 三次非線性磁控憶阻不同條件下的V-I 圖：（a）電壓振幅恒定 Vmax=2v，角頻率不同時(shí)的V-I 電壓時(shí)間圖；（b）角頻率恒定 ω=2 π，電壓振幅不同時(shí)的V-I 圖

因此三次非線性磁控憶阻V-I 圖與二次非線性磁控憶阻V-I 圖具有相似性質(zhì)，同樣三次非線性磁控憶阻仍然具有憶阻共性。

在這三種理論模型中，非線性憶阻最能簡(jiǎn)單表達(dá)電荷與磁通量之間的非線性關(guān)系，因而廣泛被學(xué)者認(rèn)同和應(yīng)用。

4 結(jié)論

憶阻是近年來(lái)一個(gè)新興的研究方向，由于發(fā)展歷史相對(duì)較短，許多理論不成熟、不完善、不系統(tǒng)。本文參考大量的外文文獻(xiàn)，對(duì)憶阻的諸多理論進(jìn)行歸納、綜述，并對(duì)憶阻的重要性質(zhì)進(jìn)行程序模擬仿真重現(xiàn)。將憶阻模型歸納為三種數(shù)學(xué)理論模型：分段線性函數(shù)、二次非線性函數(shù)和三次非線性函數(shù)，并對(duì)這三種理論模型進(jìn)行詳細(xì)闡述，模擬得到每種理論模型的特性曲線以及憶導(dǎo)關(guān)系曲線。對(duì)其中性質(zhì)較為復(fù)雜的二次和三次非線性磁控憶阻性質(zhì)進(jìn)行研究，數(shù)值仿真了其電流時(shí)間圖、電壓時(shí)間圖以及參數(shù)變化時(shí)的V-I 圖；從仿真圖可以看出，二次和三次非線性磁控憶阻的電流頻率都與電壓頻率相同，電流的波形類似且都發(fā)生改變，V-I 圖的磁滯旁瓣面積都隨著驅(qū)動(dòng)電壓頻率的增加而減小，符合憶阻通性，不僅如此，磁滯旁瓣面積還都隨著驅(qū)動(dòng)電壓振幅的增加而增加。