胡曉郁,都亞鵬,楚海建,2

(1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所,上海 200072;2.上海大學理學院,上海 200444)

材料的塑性行為是材料的基本性能,對工程結(jié)構(gòu)的可靠性與安全性具有重要意義.如何準確模擬實際材料的塑性行為一直是計算力學研究的重要方向.在傳統(tǒng)上,基于宏觀的實驗現(xiàn)象和假設,人們建立了許多不同的屈服準則,對于金屬材料,比較典型的有最大切應力屈服準則和Mises 屈服準則等.在微觀上,位錯運動和孿晶是金屬材料發(fā)生塑性變形的主要機制.基于此,學者們提出了基于微觀變形機理的晶體塑性理論.有限元方法是分析材料塑性行為的一種有效方法,在一些流行的商用軟件(如ABAQUS、ANSYS 等)中,將宏觀的屈服準則內(nèi)置于程序中,相關應用往往已經(jīng)標準化.然而,在晶體塑性理論的有限元程序化方面則相對滯后,目前還沒有一款通用的晶體塑性有限元軟件.由于晶體塑性理論計及了材料微觀變形機理,能夠更加準確地反映材料實際塑性變形過程,學者們在晶體塑性有限元的研究方面進行了有益的探索.Nakamachi 等[1]開發(fā)了早期的晶體黏塑性有限元程序,研究板材的沖壓性能.Wu 等[2]采用晶體塑性理論,通過比較原始應變片和預應變片之間的流動應力與取向曲線的差異,研究了預應變對材料各向異性的影響.馮露等[3]用ABAQUS 的UMAT 子程序編寫材料的本構(gòu),提出一種有效的求解單晶材料黏塑性模型的方法.需要指出的是,在上述研究報道中,關于孿晶效應往往較少涉及.而孿晶是一種較為常見的塑性變形機制,如盧磊等[4]綜述了納米孿晶金屬材料的塑性變形機制,通過分析納米孿晶結(jié)構(gòu)變形時可啟動的滑移位錯類型,揭示納米孿晶金屬塑性變形的3 種位錯機制.王曉東等[5]基于TWIP 鋼在不同形變溫度下微觀組織的特征和引入的特征溫度的方法,研究孿晶誘發(fā)塑性鋼中的馬氏體相變及高塑性機制.由此可見,在晶體塑性有限元中計及孿晶變形機制具有重要意義.另一方面,孔洞是材料體內(nèi)經(jīng)常出現(xiàn)的一種缺陷,對材料力學性能的影響不容忽視.如Shu[6]使用黏彈塑性晶體理論研究了含孔洞單晶材料的變形,研究結(jié)果表明小孔洞長大的趨勢要小于大孔洞.Orisini 等[7]應用率相關的晶體塑性模型研究了FCC 單晶銅的孔洞長大模式,研究結(jié)果表明晶體轉(zhuǎn)動和塑性滑移區(qū)域主要集中在孔洞附近.O’Regan 等[8]使用傳統(tǒng)的二維有限元模型模擬研究了不同孔洞百分比、加載條件和晶體取向?qū)锥撮L大的影響.對于板材的開孔,王秀麗等[9]對梁腹板上開孔的節(jié)點形式進行反復荷載試驗,探討了梁柱節(jié)點區(qū)域內(nèi)截面應力分布規(guī)律、滯回性能節(jié)點破壞模式及極限承載能力,并利用ANSYS 進行詳細計算和對比分析.全棟梁等[10]對單雙層多孔層板進行流阻特性和冷卻有效性試驗,結(jié)果表明對于多孔層板,流阻的大小和冷卻有效性的高低主要取決于多孔層板的開孔率,開孔率越大,流阻越小,冷卻有效性越高.周艷秋[11]研究了梁腹板特殊開孔引起的應力集中問題,應用有限元法分析了開孔的垂向位置、孔的寬度、孔的長度對強梁整體強度的影響,以及最大應力發(fā)生位置的變化規(guī)律.Li 等[12-13]通過晶體塑性有限元方法(crystal plastic finite element method,CPFEM),研究了變形-微觀結(jié)構(gòu)演變-機械響應之間的相互作用,以及晶界變形對裂紋萌生和擴展的影響.而采用晶體塑性有限元方法開展開孔板材力學行為的研究則鮮有報道,有必要開展此方面的研究.

本工作將位錯運動和孿晶變形機理引入晶體塑性有限元模擬中,基于ABAQUS 仿真計算平臺,通過編寫VUMAT 子程序,實現(xiàn)將微觀尺度上的位錯理論映射到宏觀的塑性變形.運用本方法,對FCC 多晶銅材料進行模擬研究,系統(tǒng)性分析開孔尺寸、雙孔相互作用及其排布方式對板材抗拉強度和延展性的影響.

1 晶體塑性理論

在經(jīng)典的塑性理論中[14-16],材料的變形行為可以分解為彈性變形和塑性變形兩部分,即

式中:F 表示變形梯度,下標e 和p 分別代表彈性和塑性.材料中位錯滑移等行為是塑性變形的主要微觀機理.塑性變形的過程可表示為

相應的格林應變張量為

式中:I 是二階單位張量;Ce為右Cauchy-Green 應變張量.

式中:E 是材料的剛度張量.

已有大量研究[17-20]表明,在位錯的演化機制中,剪切滑移率與剪切應力和位錯滑移阻力密切相關,

式中:τ0表示內(nèi)在晶格阻力;表示位錯網(wǎng)絡引起的硬化效應[21];μ是剪切模量;b 是伯格斯矢量的大小;Ns是滑移系的數(shù)量;Kαβ是位錯的相互作用系數(shù);是在β 滑移系上的位錯密度.

此外,Kαβ可以表示為

式中:φn是位錯硬化系數(shù);ω1和ω2是位錯間相互作用系數(shù);δαβ是克羅內(nèi)爾符號.

由于位錯的演化涉及位錯的增殖和湮滅過程,所以位錯密度的變化需要分為兩個部分進行疊加.根據(jù)已有研究[21-22],位錯密度的演化可以表示為

式中:K1和K2分別對應位錯產(chǎn)生和湮滅.

孿晶是金屬晶體多晶材料重要的塑性變形方式.當孿晶機制被激活時,材料的塑性變形就包含了位錯演化和孿晶演化兩種機制,相應的速度梯度Lp可表示為[23]

式中:Ntwin和Nslip分別是孿晶系和滑移系的數(shù)量;γtwin表示孿晶剪切特征值;fβ是β 孿晶系的體積分數(shù);是β 孿晶系產(chǎn)生孿晶的速率,代表孿晶體積分數(shù)的演化.根據(jù)Kalidindi[24]的研究,孿晶體積分數(shù)的演化可表示為

2 試驗驗證有限元模型

通過ABAQUS 有限元軟件所提供的子程序VUMAT 將上述理論程序化.為驗證合理性,將所得計算結(jié)果和試驗結(jié)果與傳統(tǒng)有限元模擬結(jié)果進行對比分析.試驗所選用的材料為多晶銅,試樣尺寸根據(jù)GBT 34505—2017 標準選取.銅圓柱體為全截面試樣,直徑d=10 mm,長度L=120 mm.銅圓柱體單向拉伸試驗由中機電子萬能試驗機DWD-100A 完成.試件一端固定,另一端施加位移荷載,拉伸速率為0.02 mm/s.

在傳統(tǒng)有限元分析中,材料的失效采用Mises 屈服準則,并且假定材料為各向同性材料.采用雙線性等向強化模型,根據(jù)試驗得到的應力應變曲線設定參數(shù)并進行有限元模擬計算.

在晶體有限元模擬中,采用三維六面體減縮積分單元(C3D8R),共5 096 個.位錯滑移系采用(111)[101],共12 個.材料的初始位錯密度為1.27×1015mm?2,彈性模量為115 MPa,泊松比為0.34.根據(jù)試驗的實際邊界條件,設定有限元模型的邊界條件如下:圓柱模型一端為固定端,限制其6 個自由度;另一端施加位移荷載,拉伸速率為0.012 mm/s.VUMAT 中使用的其他詳細參數(shù)如表1 所示.

表1 合金銅在CPFEM 模型中應用的參數(shù)Table 1 Parameters of alloy copper applied in CPFEM model

多晶模型則由軟件Neper[28-30]建立,共有400 晶粒,晶粒平均尺寸約為2.87 mm,晶粒為隨機取向.如圖1 所示,不同色塊代表不同晶粒.

圖1 Neper 建立的多晶體模型Fig.1 Polycrystal model generated by Neper

有限元模擬結(jié)果與試驗結(jié)果如圖2 所示.一方面,由圖2(a)可以看出,無論是采用傳統(tǒng)有限元方法(Mises 屈服準則)還是采用晶體塑性有限元方法,都能很好地擬合試驗結(jié)果,證明了本工作開發(fā)的晶體塑性有限元方法的可靠性.另一方面,從圖2(b)和圖2(c)的Mises 應力云圖對比中可以發(fā)現(xiàn):①圖2(b)中非頸縮區(qū)域的應力沿軸線分布較為均勻,材料表面也較為光滑,無明顯應力集中區(qū)域,由端面到頸縮區(qū)域的應力分布可看作階梯型分布;②圖2(c)中無論是頸縮區(qū)還是非頸縮區(qū),應力沿軸線分布呈現(xiàn)明顯的非均性,由端面到頸縮區(qū)域的應力分布呈現(xiàn)出云朵狀,材料表面出現(xiàn)一些不平整的區(qū)域.一般來說,材料的各向異性包括兩個方面,一是實際材料或晶粒彈性常數(shù)(如剛度張量)的各向異性,二是晶粒滑移系取向不同引起的各向異性.而傳統(tǒng)有限元分析無法將滑移系引起的各向異性考慮進去.在本工作的分析中,將傳統(tǒng)有限元方法的彈性常數(shù)設為各向同性,因此在非頸縮區(qū)應力分布呈現(xiàn)均勻狀態(tài);而應用晶體塑性有限元方法時,將材料劃分為400 個大小不一的晶粒并賦予隨機的晶體取向,當材料發(fā)生塑性屈服時,部分晶粒由于對應滑移系上切應力過大,位錯容易滑移,而部分晶粒由于滑移系上切應力過小而未開動,這樣就導致材料體內(nèi)應力分布和變形的非均勻性,因此材料表面出現(xiàn)不平整現(xiàn)象.由此可見,兩種有限元方法呈現(xiàn)出不同的應力與變形現(xiàn)象,這是由模型本身決定的.而實際中大塊晶體材料多為多晶材料,其晶粒塑性變形的各向異性是由材料本身微觀機制決定的,因此采用晶體塑性有限元方法更能反映材料實際變形過程.

圖2 多晶銅板單軸拉伸ABAQUS 模擬結(jié)果Fig.2 Simulation results for the polycrystal copper plate under uniaxial tensile load by ABAQUS

3 開孔多晶銅材料性能模擬

在板材的實際應用中,開孔經(jīng)常出現(xiàn)在各種金屬加工中.由于孔洞的引入,容易在孔的周邊引起應力集中,導致構(gòu)件許可荷載的降低,影響結(jié)構(gòu)的可靠性與安全性.而采用計及晶粒取向及其微細觀變形機理的晶體塑性有限元方法研究此問題則鮮有報道.因此,本工作將主要從開孔孔徑的尺度、雙開孔孔距以及雙開孔位置排布三個方面進行分析.

3.1 孔徑對力學性能的影響

模型尺寸為30 mm×10 mm×2 mm,在正中間開不同直徑(D)的圓孔,如圖3(a)所示.邊界條件設為一端是固定端,另一端是拉伸端(拉伸速率為0.01 mm/s).運用晶體塑性有限元方法,使用ABAQUS 軟件平臺進行模擬分析,模擬結(jié)果如圖3(b)所示.

圖3 單開孔板單軸拉伸ABAQUS 模擬結(jié)果Fig.3 Simulation results for the plate with a single hole under uniaxial tensile load by ABAQUS

由模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):①材料的強度極限隨著孔徑的增大而不斷減小;②材料的延展性隨著孔徑的增大而不斷減弱;③當孔徑≤1 mm 時,材料的屈服應力相差不大,但當孔徑為0.5～1.0 mm 時延展性會被明顯削弱,由原來的4%降低為3%;④隨著孔徑的增大(>1 mm),無論是材料的強度(包括屈服強度和極限強度)還是延展性,都有較大的下降.

圖4 給出了孔徑對材料極限強度影響的定量關系,橫坐標為孔徑與板寬的比值(D/H),縱坐標為約化極限強度,即開孔極限強度σD與未開孔極限強度σ0的比值.圖中虛線為參考線,代表極限強度隨孔徑增大而線性下降,如孔徑達到板寬H 的一半時,板的極限承載力降為一半;圓圈代表晶體塑性有限元計算結(jié)果;實線為采用二次多項式擬合計算數(shù)據(jù)得到的結(jié)果,相應表達式為

圖4 孔徑對板強度極限的影響Fig.4 Effect of void size on the ultimate strength of the plate

由圖4 可知,在本工作計算范圍內(nèi),開孔板的極限承載力比線性參考值要高,如當D/H=0.2 時,開孔板的極限承載力比線性參考值要高4.25%,但當孔徑達到板寬一半時,該值降為2%,二者基本接近.因此,當孔徑占比小于50%時,采用線性近似估算是偏于安全的;而超過50%時,由于應力集中的影響,開孔板的極限承載力將低于線性參考值,因工程中較為少見,此處未列出結(jié)果.另外,由圖4 可見,采用二次多項式可以較好地模擬計算結(jié)果,擬合結(jié)果與計算數(shù)值的相關性為0.996.

3.2 雙開孔孔間距對力學性能的影響

為研究雙開孔的孔間距對于材料力學性能的影響,選取板材正中間位置的孔洞直徑為1 mm,沿短邊方向有另一個直徑為1 mm 的孔洞.模擬不同孔間距情況下的材料拉伸試驗結(jié)果如表2 所示.

從表2 可以看出,隨著孔間距的減小,材料的強度極限有所下降,但下降的數(shù)值并不明顯,如孔間距是孔徑2 倍與3 倍相比,二者強度相差不足2%.因此,雙開孔時只要保持兩孔一定的距離(如孔徑的2 倍),雙孔的相互作用對于金屬塑性材料強度極限的影響可忽略.

表2 不同孔間距下強度的比值Table 2 Ratio of strength at different hole spacings

3.3 雙開孔相對位置對板材性能的影響

模型如圖5(a)所示,選取直徑為1 mm 的孔,將其置于板的中間位置,另一孔的位置可變,考慮到邊界的影響,將兩孔間的距離固定為2.5 mm.采用晶體塑性有限元方法分別計算5 種不同的雙孔排布方式對板材性能的影響,結(jié)果如圖5(b)所示.

由模擬結(jié)果可得:①雙開孔排布方式對板材的延展性有重要影響,0?排布時材料的強度和延展性最好,90?排布時強度和延展性最差;②對于45?排布方式,曲線在應變僅約為2.7%時呈現(xiàn)急速下降,這對工程安全是極為不利的.導致出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因是,一方面孔洞間存在應力集中現(xiàn)象,如圖5(b)中的應力云紋插圖所示,紅色區(qū)域為應力較大的區(qū)域,兩孔間應力明顯較大;另一方面,從變形上看,對于45?排布方式,兩孔均發(fā)生了較為明顯的變形,表明孔洞材料發(fā)生了剪切破壞,有大量位錯滑移,從而導致頸縮現(xiàn)象更早發(fā)生.

圖6 給出了上述5 種排布方式對板材名義極限強度的影響,縱坐標為約化強度σ/σ0.由圖可以看出,①排布方式對開孔板的承載力有明顯影響,整個曲線呈現(xiàn)出強烈的非線性特征.隨著角度θ 的增大,板材承載力明顯減小.當開孔沿板材軸線排布時,影響最小,σ/σ0=0.932 8比單孔情形下的σ/σ0=0.938 1 略小(見圖4);當雙孔沿軸線垂直方向排布時,影響最大,σ/σ0降低的幅度約為0.932 8 的兩倍.②排布方式可分為3 個類型:當θ ≤30?時,為影響較小的排布方式;當60?≤θ ≤90?時為影響較大的排布方式;而當30?≤θ ≤60?時為過渡區(qū).由此可見,板材開孔時應盡量沿板材軸線分布.③采用反正切函數(shù)對模擬計算結(jié)果進行擬合,可得

如此簡潔的反正切函數(shù)形式可以很好地擬合計算數(shù)據(jù),其相應的相關系數(shù)為0.997.

4 結(jié)論與討論

本工作基于ABAQUS 二次開發(fā)平臺VUMAT,實現(xiàn)了計及位錯運動和孿晶效應的晶體塑性有限元理論程序的二次開發(fā),并首次將這一方法應用于對多晶銅板材開孔問題的力學模擬研究中,主要結(jié)論如下.

(1) 對多晶銅模擬計算結(jié)果與試驗結(jié)果以及傳統(tǒng)有限元方法的結(jié)果吻合很好,驗證了本工作二次開發(fā)的晶體塑性有限元程序具有良好的可靠性與實用性.與此同時,相較于傳統(tǒng)有限元方法,CPFEM更能反映多晶材料的實際變形過程.

(2) 孔徑對開孔板材的極限承載力有明顯影響,呈現(xiàn)非線性特征,當孔徑小于板寬一半時,以線性參考值作為設計標準是偏于安全的;而超過一半時,則不能以線性參考值作為設計標準值;二次多項式可以很好地模擬孔徑與承載力間的非線性.

(3) 在孔距較小的情況下,孔徑排布方式對開孔板材的極限承載力具有重要影響,且呈顯著的非線性特征.排布方式可分為3 類,分別為弱影響區(qū)、強影響區(qū)和過渡區(qū).對于承受單向拉伸荷載的板材,開孔時應選擇沿軸線排布的方式.通過數(shù)值擬合發(fā)現(xiàn),反正切函數(shù)可以很好地擬合孔徑排布方式對開孔板材極限承載力的影響.

需要指出的是,實際板材失效與外部荷載有很大關聯(lián),上述分析的結(jié)論僅適用于板材沿軸向單向拉伸的情形,對于其他方式的荷載或復雜荷載,可以采用類似方法進行分析.因此,本工作一方面可為板材開孔提供有益的指導,同時也可為采用晶體塑性有限元方法研究缺陷孔洞對材料性能的影響提供理論依據(jù).