基于能力培養(yǎng)的線性代數(shù)課程內(nèi)容優(yōu)化設(shè)計

劉 焱

[山東協(xié)和學(xué)院基礎(chǔ)部(思政部)，濟南 250109]

1 專業(yè)課與線性代數(shù)的對接

1.1 行列式部分內(nèi)容的優(yōu)化

行列式是線性代數(shù)的重要組成部分，是解線性方程組的重要工具，而線性方程組在經(jīng)濟領(lǐng)域非常重要，比如經(jīng)濟中的成本問題、利潤問題。以成本問題為例，一次投入一批材料會生產(chǎn)出不同的幾種產(chǎn)品，現(xiàn)需要核算每種產(chǎn)品的成本。這種情況可以通過生產(chǎn)幾次進行測驗，比如第一批生產(chǎn)A、B產(chǎn)品分別是20 kg、30 kg，總成本500元，第二批生產(chǎn)A、B產(chǎn)品分別是40 kg、20 kg，總成本600元，求每種產(chǎn)品的單位成本。

解：設(shè)A、B兩種產(chǎn)品單位成本分別為x，y，列方程組如下：

因此，在講授行列式相關(guān)問題時，適當(dāng)加入以上類似的經(jīng)濟類問題，使得學(xué)到的知識學(xué)以致用，能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.2 矩陣計算部分內(nèi)容的優(yōu)化

線性代數(shù)內(nèi)容中最基礎(chǔ)、最重要、內(nèi)容最多的是矩陣。矩陣是線性代數(shù)內(nèi)容中最基本的概念，矩陣的運算是線性代數(shù)非常重要的內(nèi)容。矩陣被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，在物理學(xué)中，矩陣于力學(xué)、量子力學(xué)、光學(xué)和電路學(xué)中都有應(yīng)用。互聯(lián)網(wǎng)背景下，矩陣也在計算機編程、三維動畫制作中起到很大的作用。一些特殊矩陣如稀疏矩陣、準(zhǔn)對角矩陣、單位矩陣、零矩陣有更簡單的計算方法。矩陣的運算在數(shù)學(xué)計算領(lǐng)域具有重要作用，大大提高了矩陣的利用率。在實際生活中，矩陣理論和矩陣的計算無處不在，例如萊斯利人口模型中矩陣冪運算的應(yīng)用，經(jīng)濟管理問題中的生產(chǎn)成本會用到矩陣乘法運算，希爾密碼會用到逆矩陣和矩陣乘法運算等，很多領(lǐng)域都和矩陣密切相關(guān)。

第一，矩陣乘法的應(yīng)用——生產(chǎn)成本問題。

某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的原料費、工資支付、管理費等見表1。每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見表2。

表1 生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本(美元)Tab.1 Cost of unit product(dollar)

表2 每季度產(chǎn)量Tab.2 Quarterly production

用矩陣的方法考慮這個問題，這兩張表格中的數(shù)據(jù)均可表示為一個矩陣，計算MP得：

MP的四列分別表示夏、秋、冬、春四季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本。MP三行分別表示四個季度中每一季度原料的總成本、工資的總成本、管理的總成本。

第二，逆矩陣的應(yīng)用——應(yīng)用矩陣編制Hill密碼。

古代戰(zhàn)爭中，為了避免信息泄露開始啟用暗語，后期軍事信息的傳遞更加謹慎精密。1929年，Lester·Hill通過矩陣理論發(fā)明了非常經(jīng)典的希爾密碼。希爾密碼是利用了基本矩陣原理的替換密碼，主要通過運用矩陣的乘法對所傳輸信息進行加密處理，然后利用逆矩陣進行解密，矩陣的運用在信息加密中得到明顯體現(xiàn)。隨著科技和信息化的高速發(fā)展，密碼學(xué)在各個領(lǐng)域都起著非常重要的作用。

希爾密碼原理：英文中有26個字母，每個字母對應(yīng)一個阿拉伯?dāng)?shù)字，假如向?qū)Ψ絺鬏敗癓OVE”，傳輸者需要先寫出信息對應(yīng)的數(shù)字，即12、15、22、5，然后將這些數(shù)字按列寫成兩行的矩陣A，這是原矩陣即信息源，引入加密矩陣C,該矩陣必須為可逆矩陣,B為加密后的矩陣，即對方收到的信息：

對方接收到的信息即為B矩陣中的四個數(shù)字，然后接收者需要解密。操作過程中只需要將接收到的四個數(shù)字寫成矩陣B的形式，該部分需要用到逆矩陣的運算進行計算：

對照26個字母對應(yīng)的數(shù)字可以知道源信息為“LOVE”。

以上例子只是簡單介紹原理，所以計算量和加密過程簡單，破解難度小，但是在實際應(yīng)用中，加密信息的方式更加豐富，信息量要更大，破解的難度也會相應(yīng)增大，但是可以增加信息傳送的安全性。

2 教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化

2.1 化繁為簡

課程中有很多定理的證明過程比較復(fù)雜，比如克拉默法則在線性方程組的計算中有很大作用，但是其證明過程復(fù)雜難懂，可以刪減該部分，著重加強克拉默法則的應(yīng)用練習(xí)。矩陣秩的性質(zhì)的證明也較為復(fù)雜，后期的內(nèi)容中該部分用處不大，也可省略證明過程等。

2.2 錦上添花

線性代數(shù)教學(xué)中可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化與相關(guān)歷史人物的內(nèi)容，重現(xiàn)問題情景以引起學(xué)生的情感體驗，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時做好線性代數(shù)課程思政的融入。

2.3 增加MATLAB，與實際接軌

線性代數(shù)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)計算冗繁、與現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)科發(fā)展脫節(jié)的問題，將MATLAB引入教學(xué)，能提高學(xué)生解決實際問題的能力。比如逆矩陣的計算是矩陣理論中的難點，學(xué)生普遍反映其計算過程復(fù)雜，有畏難情緒。如果借鑒MATLAB編程，則計算速度很快，操作只需兩步即出答案，大大減少了計算量，同時強化了學(xué)生對MATLAB的掌握，提高了學(xué)生的應(yīng)用能力。

3 結(jié)語

教學(xué)中對線性代數(shù)內(nèi)容進行優(yōu)化設(shè)計能更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，并能大大提升學(xué)生利用知識解決實際問題的能力。