一道極坐標(biāo)系下交換積分次序題的思考

簡彩仁 呂書龍 周勇

（1.廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院，福建漳州 363150；2.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350116）

引言

極坐標(biāo)系下交換積分次序在二重積分交換積分次序中有重要的理論地位。許多教材和輔導(dǎo)書都對其進(jìn)行了研究［1-4］.許多考研教輔［2-4］都給出了類似于引例的例題進(jìn)行分析。

引 例［3］交 換I=的積分次序，其中f(r,θ)連續(xù)。

解：r=2acosθ是圓x2+y2=2ax，即(x-a)2+y2=a2，由原積分I可知積分區(qū)域D，如圖1所示，欲將原積分I化為先θ后r的積分，用r=C（中心在原點(diǎn)的同心圓）穿過積分區(qū)域D。

圖1

由表3和表4可知，A，B，C均有顯著性差異，3個(gè)因素對香辣香菇醬感官質(zhì)量影響的主次順序?yàn)椋築>C>A，即黃豆醬>菜籽油>食鹽。最優(yōu)配方為A2B2C2，即每100 g干香菇，加入食鹽10 g、黃豆醬80 g、菜籽油200 mL。

該方法的主要特點(diǎn)是后積變量的上下限是常數(shù)，但由于部分學(xué)生對極坐標(biāo)相關(guān)知識(shí)的不熟悉，不能很好地理解該方法?；趯υ擃悊栴}的研究，并參考直角坐標(biāo)交換積分次序的思想，文章提出一種適合極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算方法。文章對極坐標(biāo)系下二重積分交換積分次序展開討論，利用積分變量符號無關(guān)性，將極坐標(biāo)系下交換積分次序問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下交換積分次序問題，一方面力求達(dá)到數(shù)學(xué)理論方法的統(tǒng)一美，另一方面也為《高等數(shù)學(xué)》課程中關(guān)于交換積分次序的教學(xué)提供參考。

一、理論分析

為敘述方便，不失一般性，將被積函數(shù)f(r,θ)r直接記為f(r,θ).本文研究二重積分的交換積分次序。

根據(jù)積分變量符號無關(guān)性，有

假設(shè)Y型積分區(qū)域{(x,y)|φ1(y)≤x≤φ2(y),α≤y≤β}，也可以看成X型區(qū)域

根據(jù)直角坐標(biāo)系下交換積分次序的理論，有

再根據(jù)積分變量符號無關(guān)性，有

于是得到在極坐標(biāo)系下交換積分次序的公式為

通過以上的理論分析，不難得到在極坐標(biāo)系下交換積分次序，不必研究極坐標(biāo)系下交換積分次序的問題，只需將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸進(jìn)行積分即可。

基于以上討論，極坐標(biāo)系下交換積分次序問題的求解步驟如下：

第一步：將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系，并畫出積分區(qū)域；

第二步：利用直角坐標(biāo)系下二重積分的定限原理確定先積變量θ的積分限，再確定后積變量r的積分限；

第三步：寫出交換積分次序結(jié)果

二、引例求解

本節(jié)利用本文提出的方法求解引例。

解：將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，畫出積分區(qū)域如圖2。

圖2

在積分區(qū)域D1，先積θ再積r得

在積分區(qū)域D2，先積θ再積r得

由此，得到交換積分次序的結(jié)果為

三、應(yīng)用

本節(jié)通過3個(gè)典型的極坐標(biāo)交換積分次序進(jìn)行分析。

解：將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，畫出積分區(qū)域如圖3。

圖3

在積分區(qū)域D，先積θ再積r得

由此，得到交換積分次序的結(jié)果為

例2.交換二次積分的次序

解：將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，畫出積分區(qū)域如圖4。

圖4

在積分區(qū)域D1，先積θ再積r得

在積分區(qū)域D2，先積θ再積r得

由此，得到交換積分次序的結(jié)果為

例3.交換二次積分的次序

解：將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，畫出積分區(qū)域如圖5。

圖5

在積分區(qū)域D，先積θ再積r得

由此，得到交換積分次序的結(jié)果為

四、結(jié)論

文章研究了極坐標(biāo)系下二重積分交換次序的問題.從二重積分的積分變量符號無關(guān)性得出并不需要在極坐標(biāo)系下進(jìn)行交換積分次序，只需將將θ和r視為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，直接利用直角坐標(biāo)系交換積分次序的方法進(jìn)行研究即可。