孫鳳琪, 程佳欣

(1. 吉林師范大學 數(shù)學學院, 吉林 四平 136000； 2. 河池學院 統(tǒng)計系, 廣西 河池 546300)

0 引 言

控制系統(tǒng)中, 兩種常用的控制策略分別為狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制[1]。在工業(yè)生產實際中, 系統(tǒng)的部分狀態(tài)無法測量, 或測量費用非常高, 各種條件的約束使實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制變得很困難, 而輸出反饋源于系統(tǒng)的輸出, 很容易從外部獲得, 技術上易于實現(xiàn), 且具有明確的物理意義, 因而成為一種更容易實現(xiàn)的反饋形式。輸出反饋分為靜態(tài)輸出反饋和動態(tài)輸出反饋[2]。動態(tài)輸出反饋融合了狀態(tài)觀測器和動態(tài)補償器的設計思想。所以, 輸出反饋控制器設計具有一定的理論研究價值, 同時又是控制工程領域的一個熱點問題。隨著數(shù)字信息化技術的飛速發(fā)展, 離散系統(tǒng)的輸出反饋控制取得了許多的研究成果[3-5], 但在時滯, 攝動參數(shù)和不確定性條件下的離散系統(tǒng)控制器設計領域的研究還不是很完善。

Dinh等[6]最先提出的BMI(Bilinear Matrix Inequality)方法, 有效地解決了離散系統(tǒng)時滯條件下的輸出反饋問題, 繼而Chang等[7]對這一思想展開了深入研究, 取得了新的輸出反饋研究成果。李艷輝等[8]通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和增廣狀態(tài)空間法, 對具有時滯和丟包現(xiàn)象的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)設計了離散魯棒H∞控制器。陳健[9]對輸出反饋控制控制器設計中存在的不足做了進一步補充, 并對幾類系統(tǒng)都進行了穩(wěn)定性及靜態(tài)輸出反饋控制器設計, 但并未對這幾類系統(tǒng)進行動態(tài)的控制器設計。目前離散不確定時滯系統(tǒng)的研究成果[10-14], 大多是在控制器能準確實現(xiàn)的前提下得到的[15-19], 只考慮被控對象的不確定性, 并沒有考慮控制器本身的攝動。在奇異攝動系統(tǒng)中加入攝動參數(shù)能有效提高系統(tǒng)模型準確度。目前,在離散系統(tǒng)輸出反饋控制理論研究成果中, 對具有不確定性時滯以及攝動參數(shù)的控制系統(tǒng)的輸出反饋控制器設計不多, 因此, 筆者對離散奇異攝動不確定綜合系統(tǒng)進行輸出反饋控制器設計, 構造新的李雅普諾夫泛函, 采用新的交叉性界定技術以及矩陣分析方法等, 對離散時滯奇異攝動不確定性綜合控制系統(tǒng)進行輸出反饋控制器研究, 給出具體的閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的判據(jù)和控制器增益以及推論, 并且在所選取的樣例中驗證所得結論的可行性, 其結論可作為相關控制系統(tǒng)和工程領域研究的理論參考, 具有一定的理論價值和實際意義。

1 預備知識

考慮如下具有控制輸入的離散奇異攝動不確定時變時滯控制系統(tǒng)

(1)

0≤d(k)≤τ

(2)

其中τ是已知常數(shù),F(k)∈Ri×j是范數(shù)有界不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣, 且有如下條件

FT(k)F(k)≤I

(3)

欲設計動態(tài)輸出反饋控制器

(4)

其中xc∈Rnc是控制器狀態(tài),nc是控制器階數(shù),r≤nc≤n,Ac,Bc,Cc,Dc是控制器的參數(shù)矩陣, 則閉環(huán)系統(tǒng)為

(5)

其中M1=A+DF(k)E1+BCDc。

問題為設計動態(tài)輸出反饋控制器(4), 使離散奇異攝動不確定時變時滯閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定。

2 離散奇異攝動不確定系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制器設計

2.1 時滯依賴情形

(6)

(7)

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定, 其動態(tài)輸出反饋控制器為

證明 定義L-K泛函

V(x(k))=V1(x(k))+V2(x(k))+V3(x(k))

其中V1(x(k))=xT(k)ET(ε)ZT(ε)PZ(ε)E(ε)x(k)

其中P,Q,R是未知對稱正定矩陣, 即PT=P>0,QT=Q>0,RT=R>0。

由引理1以及文獻[20]的引理2.2可知,V(x(k))是正定的L-K泛函, 把V(x(k))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(5)的任意軌跡進行差分, 得

其中

(8)

證畢。

2.2 時滯獨立情形

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定, 其動態(tài)輸出反饋控制器為

證明 定義L-K泛函如下

其中P,R,M是對稱正定矩陣, 其余證明過程與定理1類似, 略。

3 算 例

由工程系統(tǒng)遠距離傳輸問題建模成如下離散奇異攝動不確定系統(tǒng), 下面給出系統(tǒng)在非標準情形下的算例。取

Z1=-20.138 7,Z2=3.394 0,Z3=12.034 8,

Z4=-5.930 4,Z5=1.349 2,η=1.602 1,

Ac=-10.394 0,Bc=-2.383 9,Cc=7.384 9,Dc=9.416 3

動態(tài)輸出反饋控制器為

4 推 論

利用交叉項界定方法, 由引理2對泛函差分結果中的交叉性直接放大去簡化系統(tǒng), 然后對其進行動態(tài)輸出反饋控制器設計, 便可得到如下推論。

證略。

5 結 論

1) 筆者針對離散奇異攝動不確定系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制器設計問題, 給出了時滯依賴和時滯獨立兩種情形下的動態(tài)輸出反饋控制器, 并且已完成對靜態(tài)輸出反饋控制器設計問題研究, 由于篇幅所限, 將在下一篇論文中給出。對所得結論進行處理得到新的推論, 推廣和完善了現(xiàn)有文獻的一些研究結果。最后通過數(shù)值算例驗證了所提方法的可行性和有效性。

今后需要進一步解決的問題如下。

1) 文中對含有不確定性結構的離散奇異攝動系統(tǒng)設計輸出反饋控制器, 雖然在一定的條件下得到了保守性較小的結論, 但在本文中所用到的方法和得出的結論也存在一定的局限性。對離散系統(tǒng)的控制器設計問題還有待進一步研究。

2) 筆者若使時滯離散系統(tǒng)變?yōu)槎鄷r滯離散系統(tǒng), 對模糊離散奇異攝動系統(tǒng), 基于線性矩陣不等式方法, 如何求輸出反饋控制器及奇異攝動參數(shù)的穩(wěn)定上界, 有待進一步研究。當系統(tǒng)更加復雜、 維數(shù)更高時[21], 筆者方法能否推廣到相應的控制系統(tǒng)中, 還須進一步驗證。

3) 在研究離散奇異攝動不確定系統(tǒng)時, 只考慮了系統(tǒng)矩陣A的不確定性, 可以再考慮不確定參數(shù)矩陣B,C, 使所得結論具有更廣泛的適用性[22]。

4) 引進的結構Lyapunov矩陣不同,將直接影響所得結果的保守性, 采用何種泛函形式能更大程度減少這種保守性是一個值得深入研究的問題。