以 “不變”應(yīng) “變化”，構(gòu)建模型解決問題

徐婉婷

摘 要：在小學(xué)階段，解決問題能體現(xiàn)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和技能的能力，體現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)。本文以人教版五年級(jí)下冊(cè)《排水法解決體積問題2》為課例研究，探索抽出問題本質(zhì)構(gòu)建解題模型在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐。通過提煉不同問題中蘊(yùn)含的模型，在練習(xí)中夯實(shí)模型思想，最后再拓展深化模型思想。

關(guān)鍵詞：排水法;體積問題;解決問題;構(gòu)建模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)中明確寫出：要求學(xué)生具有解決問題的能力，能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。而在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，解決問題一直是學(xué)生的難點(diǎn)，也是老師們的心頭之癢——明明覺得自己講得很清楚，怎么學(xué)生就不會(huì)做呢？筆者認(rèn)為，出現(xiàn)這樣的情況很大原因是因?yàn)閷W(xué)生只是做一題會(huì)一題，不理解問題之間“不變”的實(shí)質(zhì)，因此老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，構(gòu)建模型，夯實(shí)模型?，F(xiàn)以人教版五年級(jí)下冊(cè)《排水法解決體積問題2》為課例展開研討。

一、以“多變”問題提煉“不變”模型

《排水法解決體積問題2》課例是“求不規(guī)則物體的體積”中的一種有效方法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了長方體、正方體這兩種規(guī)則的立體圖形的體積計(jì)算方法后的學(xué)習(xí)，其核心思想是將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體后再求體積。這一內(nèi)容注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法。排水法解決體積問題變化方式非常多，但都離不開三種情況：水體上升、水體下降、水體溢出。

利用電腦動(dòng)畫分別演示三種情況，引導(dǎo)學(xué)生觀察，不管是水體上升、下降還是溢出，浸沒物的體積其實(shí)就是水體變化的體積，再變化情況，引入干擾項(xiàng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確“浸沒物”和“水體變化”的意思，讓學(xué)生初步構(gòu)建解題模型。

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過“多變”情況后，對(duì)排水法解決體積問題中的核心規(guī)律已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，這時(shí)需要老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，以構(gòu)建模型。利用情況三中鐵球的不同情況引導(dǎo)學(xué)生明確：物體必須是浸沒在水中的才需要考慮。再歸納：不管是水面上升、下降還是溢出，其實(shí)都是水體發(fā)生了變化。從而得出“不變”的規(guī)律：浸沒物體的體積=水體變化部分的體積。再利用以下步驟進(jìn)行解題，這一類問題就能迎刃而解了。

①浸沒物體是（ ? ? ? ? ? ? ?），水體變化部分是（ ? ? ? ? ? ?）;

②能直接求出（ ? ? ? ? ? ? ?）的體積;

③問題解決了嗎？

二、以“變化”問題夯實(shí)“不變”模型

當(dāng)學(xué)生理解了這一問題的不變規(guī)律后，還需要在“千變?nèi)f化”的問題中運(yùn)用，以夯實(shí)初成的模型。因此我順勢(shì)提供部分?jǐn)?shù)據(jù)，讓學(xué)生在應(yīng)用中進(jìn)一步感悟模型的魅力。

我根據(jù)情況一給出相關(guān)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生根據(jù)圖示，提煉成問題后，引導(dǎo)他們先準(zhǔn)確判斷浸沒物體和水體變化分別是什么，再根據(jù)已知條件求出直接體積，從而解決問題。同時(shí)給出干擾條件：整個(gè)水面高度，讓學(xué)生在思辨中更明確解決問題的核心是水體變化的部分，而不是整個(gè)水體。

而情況二中，我變化了問題，學(xué)生能直接求的是小方塊的體積，從而得知水面下降部分的體積，但問題并沒有解決，還需要利用體積、長、寬，求出下降的高度。只要緊抓浸沒物體體積=水體變化部分體積這一不變規(guī)律，再根據(jù)三部解題模型，不管是多么變化多端的問題都能解決。

當(dāng)學(xué)生嘗到模型解題條理性帶來的便捷，正興致高漲時(shí)，我馬上又呈現(xiàn)變形題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不變規(guī)律，利用模型進(jìn)行解題。

【例題1】在一個(gè)長20dm，寬10dm，高5dm的水池中注入水，水高4dm，然后把一條石柱橫臥完全浸入池中，水池溢出了40L水。石柱的體積是多少？

在學(xué)生們判斷浸沒物體和水體變化部分時(shí)發(fā)生了小分歧，因此我組織了同桌討論。隨著匯報(bào)分享，大家都逐漸明晰了本題中水體變化的部分包括水上升部分+水溢出部分，這時(shí)浸沒物體的體積應(yīng)等于水上升部分+水溢出部分，進(jìn)一步理解了水體變化部分的意義。適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)根據(jù)題目準(zhǔn)確找到浸沒物體和水體變化部分（即不變規(guī)律），才能正確解題。

在解決問題中，只要我們指引著學(xué)生在各種繁雜的問題中抓好不變的規(guī)律，構(gòu)建解題模型，學(xué)生解起題來就能水到渠成了。

三、以“改變”問題拓展“不變”模型

在試教過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，隨著學(xué)生掌握了解題模型，其做題速度明顯提高了，于是我設(shè)置了兩道改變較大、難度更大的題目，以提高學(xué)生對(duì)解題思路的理解。

在例題2中我設(shè)置了物體并沒有完全浸沒的情況，讓學(xué)生展開討論，浸沒物體和水體變化部分分別是什么。經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生們很快得到了一致的結(jié)論——浸沒在水中的兩根石柱才能算浸沒物體，露在水面上的部分不算，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解浸沒物體的意義。

【例題2】在一個(gè)長12dm，寬10dm，高5dm的水池中注滿水，然后把兩條長4dm，寬2dm，高8dm的石柱立著放入池中，水池溢出水的體積是多少？

到此，學(xué)生們對(duì)于用排水法解決體積問題已經(jīng)有了較深的認(rèn)識(shí)了，于是我讓學(xué)生嘗試做例題3，作為拓寬學(xué)生思維的提升題。

【例題3】在一個(gè)高6dm的長方體水池中注入3dm高的水，然后把一條高15dm，底面積是4dm2的石柱立著放入池中，這時(shí)水面高5dm。求長方體水池的底面積。

學(xué)生在讀題后很自然的去尋找浸沒物體和水體變化部分分別是什么，他們很快就準(zhǔn)確找到水體變化部分（水面上升部分），但對(duì)于浸沒物體部分產(chǎn)生了非常激烈的討論，一部分同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該是長方體原浸沒的部分，另一部分同學(xué)則認(rèn)為應(yīng)該包括水面上升后浸沒的部分。老師讓同學(xué)們暢所欲言，最終同學(xué)們根據(jù)他們對(duì)“浸沒物體”的理解，同意第二種想法：從黃線到藍(lán)線的部分也是被水浸沒的，也應(yīng)該屬于浸沒物體，因此本題中的浸沒物體應(yīng)該是藍(lán)線以下的部分。

通過多變的題目，改變不同的條件，形成多樣的問題，讓學(xué)生們理解并深刻認(rèn)識(shí)到，只要抓緊不變的規(guī)律，構(gòu)建模型就能順利解決問題。解決問題的本質(zhì)是萬變不離其宗的，只要我們帶領(lǐng)著學(xué)生抓緊不變規(guī)律的這條線，同學(xué)們就一定能釣到解決問題這條大魚的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)【M】北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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