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      一道“零點”習題的探究教學

      2021-03-11 23:37:35龍明旺王芳
      天府數(shù)學 2021年9期
      關(guān)鍵詞:零點核心素養(yǎng)探究

      龍明旺 王芳

      摘 要:探究式教學容易激起學生的好奇心,并使學生發(fā)揮創(chuàng)造力,讓學生用自己的思考方式和方法解決問題,切實體會探究帶來的成長與進步,有利于學生必備品格和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).本文以一道“零點”習題的教學為例,對探究式教學作了有益嘗試,學生達到的高度讓人驚嘆.

      關(guān)鍵詞:零點;探究;核心素養(yǎng)

      傳統(tǒng)的講授式教學是通過大量的習題講解,教學生模仿、套用,卻不利于培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,不利于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng),不利于學生的長遠發(fā)展.筆者經(jīng)常會借助一些典型的問題情境,開展探究課堂,激發(fā)學生的好奇心,引導學生自主發(fā)現(xiàn),深入思考,積極探究,并總結(jié)反思,創(chuàng)新命題,學生能達到的高度讓人驚嘆,現(xiàn)舉一例如下.

      1.問題提出

      學生已經(jīng)學習了零點的概念和二次函數(shù)根的分布的基礎(chǔ)知識,于是,筆者提出了一道思考題:關(guān)于x的方程在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      這道思考題留給學生回家做一做,第二天課堂一起探究.

      2.探究過程

      老師先是詢問學生,經(jīng)過昨天的思考和討論,大家有哪些切入點和轉(zhuǎn)化方向.

      生1(方向一):可以用二次函數(shù)根的分布.展示過程:

      記,則

      ①解得

      ②,解得

      (課堂上有學生討論了,有不同的看法)

      生2:做的不完整,你怎么知道一定是二次函數(shù)?萬一怎么辦?所以應該分情況討論.接著,陳述過程:

      當時,,解得,不合要求;當時,為二次函數(shù),才是生1所說的情況.

      (課堂上還是有部分同學討論,感覺有不同的理解.)

      生3:老師,生2沒有考慮邊界,因為或也有可能,應該把改成.(課堂有學生說有點道理,但是也有學生感覺不對,提出了異議.)

      生4:如圖1,這樣也滿足,但是不符合題目唯一實根的條件.

      (課堂上有學生討論說,生4說的是對的,那怎么處理呢?學生陷入沉思,但是臉上的表情反映內(nèi)心的迷茫,看來還需要一些點撥)

      師:剛才幾位同學提出和發(fā)現(xiàn)問題,表現(xiàn)得很好.現(xiàn)在這里碰到了難度,

      還是討論不清楚.難在端點怎么處理?那同學們想一想,把和

      合在一起討論,有困難,怎么辦?

      生5:可以把單獨討論!

      師:生5說的非常好.逆向思維,退一步,海闊天空.接下來,如何討論呢?

      生5:可以把或1代入方程,求出另一個根,看是否符合要求.過程如下:

      當x=0時,帶入方程得,原方程化為,即,解得另一個根,符合要求.

      當x=1時,帶入方程有,解得,原方程化為,即,解得另一個根,符合要求.

      師:生5解得很好.在求另一個根時,除了把k帶入原方程,解出另一個根之外,還有沒有求另一個根的更簡便方法?

      生6:(反應很快)可以用韋達定理,過程如下:

      ①當x=0時,帶入方程得,設(shè)的另一個根為,由韋達定理有,解得,符合題目要求

      ②當x=1時,帶入方程得即時,設(shè)的另一個根為,則由韋達定理可知,解得,符合題目要求.

      師:時的情形,為什么不用?

      生6:如果用用,這樣要么無解或有無數(shù)個解,還得通過來確定,這樣麻煩多了.

      師:生6說的太好了,選擇有講究,細節(jié)處理非常到位. (生6喜悅之情溢于言表)本題的答案應該為四大類情況的并集,即.本題如果把閉區(qū)間改成是開區(qū)間,又如何做?答案還是一樣的嗎?

      (接著學生看前面的討論過程)

      生6:只需在前面的討論過程稍作修改就可以了.時的情形,把對稱軸改成.另外,把當和時的情形,符合題目要求改成不合題目要求就可以了.

      畫成圖形為圖2,

      故答案應該為

      師:生6講的完全正確,非常好.我們把剛剛幾位同學的發(fā)言和探究成果做一個總結(jié):

      若二次函數(shù)在區(qū)間上有唯一實根,則分哪些情況討論?

      生7:分三大類討論:

      (1) ? ?(2)

      (3)由或求出對應的參數(shù),結(jié)合韋達定理求出另一個根,看是否符合要求.最后(1)(2)(3)求并集得到最終的答案.(教師黑板上板書成果)

      師:生7歸納的很好.當然,開區(qū)間也是類似的處理.如果沒有告知是二次函數(shù),還要對二次項系數(shù)為0時,單獨進行討論.回到原題,除了用根的分布這種代數(shù)方法求解,還有什么方法可解?或什么方向可以切入?

      生8:可以用幾何方法,畫圖象來求解.具體為:

      由得,問題轉(zhuǎn)化為左邊的函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

      師:切入點很好.那左邊函數(shù),,還是呢?如何處理?

      生8:分情況討論,畫圖象,如圖3,

      由圖可知,,k = 0兩種情形,兩個圖像均沒有交點,所以k<0

      師:生8數(shù)形結(jié)合得到k<0,做得很好,思路也很自然.同學們還有沒有別的方法,能直接看出k<0?

      生9:可從函數(shù)值域上考慮.由于,所以,,故.

      師:生9從代數(shù)上來看問題,非常好.兩位同學都講得很對,接下來請生8繼續(xù)講一講的情形又如何處理?

      生8:還是畫圖象.如圖4,記,則由圖可知,只需滿足且,解得.

      圖4

      師:生8的幾何方法很直觀,也非常簡潔,解得很漂亮.掌聲鼓勵一下.本題是否還有別的解法或切入方向?

      生10:能不能參變分離做?由得,已知,故參變分離得:,但到這一步,右邊的圖象不會畫,我做不下去了.

      師:同學們考慮右邊函數(shù)能不能整式部分離?

      生10:分母比分子次數(shù)高,沒辦法分離整式部分.

      師:生10一語中的,那能不能化歸為分母比分子次數(shù)高呢?

      生10:(反應很快)可以取倒數(shù).

      (有同學靈機一動開始動筆嘗試,有同學陷入沉思)

      生10:,右邊的圖象還是不會畫?

      師:當我們遇到困難時,憑空跨越是不現(xiàn)實的,應該努力思考,看是否見過形式類似的問題?如果與某一熟知的問題類似,我們?nèi)绾卫靡郧暗姆椒▉斫鉀Q眼前的問題?

      生6:可類比以前求過的函數(shù)的值域的方法,換元,令x+1=t,則1≤t≤2,x=t-1,于是,把右邊函數(shù)的圖象畫出來,數(shù)形結(jié)合就很好做了.

      生10:生6的做法只是求出常數(shù)函數(shù)與關(guān)于t的函數(shù)交點個數(shù)問題,并不是與關(guān)于x的函數(shù)y=的交點個數(shù)問題?

      生6:x+1=t,這說明x與t是一一對應的關(guān)系,一個x對應著一個t,反過來,一個t對應著一個x.所以關(guān)于t的方程:有多少個解,原方程就有多少個解.

      生10:(豁然開朗)有道理.

      生9:老師,取倒數(shù)后,為什么不直接換元呢?直接換元,跟前面求函數(shù)值域一樣,乞不是更簡單嗎?(學生一下子進入興奮狀態(tài))

      生9:令x+1=t,則,x=t-1,.

      師:剛才幾位同學經(jīng)過思維的碰撞與討論,把問題討論的很透,很了不起.接著請同學們畫圖,看不能把答案做出來?

      (學生動筆很快,也有同學好像有所頓悟,似乎在思考能不能更簡單一點)

      生9:(幾分鐘后黑板展示解答)由圖5可知,,畫圖6解得.

      師:(沿教室查看一圈)我發(fā)現(xiàn)只有一半的同學正確畫出了圖象,很多同學平移時畫錯了,也有少數(shù)幾個同學沒有畫漸進線.能不能避開平移這個步驟,減少平移帶來的畫圖錯誤?關(guān)鍵是表達式中的減2如何處理?

      生:(反應很快)很多學生齊聲說:移到等式的左邊去.

      師:同學們說的非常好,這樣,等式就變成,右邊變成了雙曲函數(shù).

      生8:老師,還可以再簡單一點,把等式分母中的2也可以去掉,左右兩邊同乘法以2,從而等式化為.其實,在這里里,就可以把2去分母處理掉,然后換元,更簡單.

      師:很好的發(fā)現(xiàn),了不起.(班里同學對生8投來欽佩的目光)請同學們再畫圖,能不能快速做出來?

      生8:(黑板上解答)如圖7,由得,解得

      圖7

      (教師環(huán)顧一周,發(fā)現(xiàn)學生基本上都做出來了)

      師:同學們基本上都做對了.總結(jié)一下,通過本題,利用參變分離來處理函數(shù)零點問題,函數(shù)通過代數(shù)變形如取倒數(shù)、換元等方法化歸到什么程度會比較理想?有沒有什么標準?

      生11:參數(shù)和常數(shù)放一邊,另外一邊化歸為熟悉簡單的函數(shù),就可以了.

      師:生11歸納得非常好,簡單通俗易懂.所謂熟悉簡單的函數(shù)就是我們教材上出現(xiàn)的基本函數(shù)如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等,講過的基本函數(shù)如雙曲函數(shù)等.陌生的函數(shù)通過代數(shù)變形如取倒數(shù)、換元等,化歸為簡單的函數(shù),實現(xiàn)復雜問題簡單化,簡單問題通俗化,數(shù)學道理至精至簡,體現(xiàn)數(shù)學的簡約之美.

      3.創(chuàng)新命題

      學生通過探究上述的思考題,掌握了函數(shù)零點常用的方法:代數(shù)方法、幾何方法和數(shù)形結(jié)合方法.教師提問:能不能根據(jù)本題,自己命出新的函數(shù)零點試題?哪位同學能夠拋磚引玉一下?

      生9:系數(shù)變一變,由,其中,代入得:

      ,化簡得.故命出新題為:

      已知關(guān)于x的方程在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      生8:能不能把中的t換成別的函數(shù)呢?

      師:兩位同學的思維都非常好,切入點也做得不錯.請同學們自己嘗試當一次命題人,題目命好后可按生9這樣,把命題的過程寫在黑板上.

      (學生都躍躍欲試,在課堂練習本上開始命題.)

      接著黑板上學生成果展示如下:

      生12:由,其中,代入化簡得.

      新題為:已知關(guān)于x的方程在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      生13:由,其中,代入化簡得

      .于是,新題呈現(xiàn)為:

      已知關(guān)于x的方程在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      生8:由,其中,代入化簡得.故新題為:已知關(guān)于x的方程在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      生6:將改成,其中,代入化簡得

      .于是,新題為:已知關(guān)于x的方程

      在上有唯一實根,求實數(shù)k的取值范圍.

      師:同學們太厲害了,命題有寬度,都成 “命題專家”了.現(xiàn)在站在如此高度回頭俯視前面的思考題,應該看得更加透徹.請同學們同桌相互檢查命出的新題,然后做對方的新題,并請對方批改指正.

      4.總結(jié)反思

      在整個討論、探究過程中,學生注意力專注,配合積極,探究的興趣也比較濃厚,臉上洋溢著對知識和探究的渴望,也有獲得的喜悅與自豪.

      整個探究過程按照學生先行、交流呈現(xiàn)、教師斷后的步驟在進行,教師只是引導與協(xié)助,把課堂還給學生,讓學生自主發(fā)現(xiàn)與探究,找到解決問題的方向與步驟,最后,教師協(xié)助學生進行歸納總結(jié)與評價反思.

      思考題的探究方法有三種,方法一常規(guī),最容易想到,能培養(yǎng)學生嚴密的邏輯推理能力,但學生容易錯解或漏解,通過探究,學生能深刻的感受思維的嚴謹性,有助于好的思維習慣和品質(zhì)的培養(yǎng)。方法二利用幾何直觀,借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法,感受函數(shù)的幾何之美,利于激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維. 華羅庚教授說得好,“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛?數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系,切莫分離.”華老這些話對我們的數(shù)學解題具有極深刻的啟示.數(shù)形結(jié)合解題常使我們的思維豁然開朗,視野格外開闊.方法三正是數(shù)形相輔相成的產(chǎn)物.但是,方法三中最難的是代數(shù)變形與化歸. 美籍匈牙利著名數(shù)學家波利亞說:“不斷地變換你的問題.”他認為,解題過程主要是問題的變換過程,“我們必須一再地變換她,重新敘述她,變換她,直到最后成功的找到某些有用的東西為止.” 化歸的實質(zhì)是把所需要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題,或容易解決的問題.同原問題相比,化歸后的新問題必須是已經(jīng)解決或較為熟悉、簡單的問題,它是數(shù)學最重要、最基本的思想之一. 化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎(chǔ),將未知的化為已知的,復雜的化為簡單的,抽象的化為具體的,一般的化為特殊的,非基本的化為基本的,從而得出正確的答案.方法三中,學生歸納總結(jié)得到:通過取倒數(shù)、換元和移項的代數(shù)變形,最終化歸為簡單熟悉的雙曲函數(shù),而且化歸的目標就是簡單熟悉的函數(shù),大道至簡,十分難得.通過方法三,可讓學生理解題目解答的動機和步驟,并需要學生嘗試去主動探索這些動機和步驟,從而理解和品味數(shù)學.最后命制新題,可進一步激發(fā)學生的好奇心,高屋建瓴的看待函數(shù)零點問題,也有利于學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

      課堂教學中,數(shù)學題目只是學習的載體,題目可能本身很平常,但是若它能激起學生的好奇心,并使學生發(fā)揮創(chuàng)造力,而且讓學生用自己的思考方式和方法解決了問題,那么學生就能切實體會到一些進步和成長,而且享受發(fā)現(xiàn)的喜悅又會促進學生探究和思考的熱情與興趣,這樣的經(jīng)歷過程有利于培養(yǎng)學生對智力思考的愛好和習慣,對學生的思想和品格也會留下深刻的影響,終身受益,從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng),實現(xiàn)數(shù)學的育人價值.

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