利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

李喜才

摘 要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個最重要的性質(zhì)，沒有之一，也是高考重點(diǎn)考察內(nèi)容，對于熟悉的基本初等函數(shù)單調(diào)性，我們是容易確定的，但對一些超越函數(shù)，特別是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，就不那么容易確定了，這時就需要借助導(dǎo)數(shù)這個工具來研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，本文介紹利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性分三種類型。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);參數(shù)函數(shù);單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）先確定定義域;（2）求導(dǎo)，找出所需函數(shù);（3）確定參數(shù)分類討論的臨界值;（4）分析導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，畫出導(dǎo)函數(shù)圖像。

類型一;導(dǎo)函數(shù)為含參的“一次函數(shù)”類型

例1.（2015年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.

分析：函數(shù)定義域為，，令

決定導(dǎo)函數(shù)符號的部分是，是一次函數(shù)類型，所以分類討論情況分為以下三類;

解：函數(shù)定義域為，，令

當(dāng)時，由，得，

即，則在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，①當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減。

綜上，當(dāng)，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

例2（2012年新課標(biāo)全國卷）已知函數(shù)，（1）求的單詞區(qū)間。

分析：，觀察函數(shù)的圖像，共同點(diǎn)：定義域內(nèi)單調(diào)性明確，函數(shù)最多有一個零點(diǎn)，令，所以可以看成是“一次函數(shù)”類型

解：函數(shù)的定義域為R，，令，則，又因為，所以分類討論的臨界值為0，分類討論情況為以下三類：

當(dāng)時，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)時，若，則.當(dāng)時，，當(dāng)，

所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

綜上，當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

類型二：導(dǎo)函數(shù)為含參的“二次函數(shù)”類型

例3（2018年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性。

分析：函數(shù)的定義域為，，決定導(dǎo)函數(shù)符號的部分是，是二次型函數(shù)

解：函數(shù)的定義域為，，令

（觀察導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式）

當(dāng)時，即，所以在單調(diào)遞減

當(dāng)時

①當(dāng)，即時，有兩個不等實(shí)根，即

①當(dāng)，所以在和單調(diào)遞減;②當(dāng)時，，在單調(diào)遞增。

綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減;

當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

例4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

分析：，

是“一次函數(shù)”類型

故可看成“二次函數(shù)”類型。當(dāng)時，，由，找到分類討論的臨界值為0.

解：函數(shù)的定義域為R，，

當(dāng)時，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)時，時，（比較導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大?。?/p>

①當(dāng)，即時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

②當(dāng)，即時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間。

③當(dāng)，即時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間，

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

類型三：導(dǎo)函數(shù)為含參的“其它函數(shù)”類型，需二次求導(dǎo)轉(zhuǎn)化到前兩種類型

例5.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

分析：，不是“二次函數(shù)”類型，二次求導(dǎo)化為“一、二次函數(shù)”類型

解：函數(shù)的定義域為，，令

當(dāng)時，，即在上遞減，此時，要函數(shù)在區(qū)間上有最值，則只需有零點(diǎn)即可，即，即

當(dāng)時，，

①當(dāng)時，，在時恒成立，即在上單調(diào)遞增，，

即，即在上單調(diào)遞減，不存在最值，舍去

②當(dāng)時，，時，恒成立，即單調(diào)遞減，，

即，即在上單調(diào)遞減，不存在最值，舍去。

③當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即，即在上單調(diào)遞減，不存在最值，舍去。

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

參考文獻(xiàn)：

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2019501186224