一道省質(zhì)檢試題的八種解法

蔡海濤

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

(1)求f(x)的極值；

(2)若exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解(1)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的極小值為f(a)=1-2lna，無極大值；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極小值為f(a)=1-2ln(-a)，無極大值．(過程略)

(2)解法1 由(1)知，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-lnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因?yàn)閑xlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以

所以當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0；

因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為

所以當(dāng)00，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(1)=1，所以h(x)≤1，即所以當(dāng)時(shí)，成立，即原不等式恒成立．

所以H(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增，所以

由(1)知，lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．

(ⅱ)當(dāng)x>1時(shí)，由lnx≤x-1得(1-x)lnx>(1-x)(x-1)=-1+2x-x2，

又因?yàn)閗′(1)=0，所以當(dāng)00，當(dāng)x>1時(shí)，k′(x)<0，所以k(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，所以k(x)max=k(1)=0，所以k(x)≤0，所以exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為

在解題教學(xué)中，教師要善于挖掘數(shù)學(xué)問題的深層本質(zhì)，尋找題目條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生準(zhǔn)確審題、獲取解題思路，通過一題多解拓展學(xué)生的思維．